TRANSFORMATION DO MOUYBMENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC
D'autre part, on trouverait comme plus haut, en remarquant que l'angle AOm est égal à t^f,
taDgÂ<J/7i = i- î .
a fx a
Il faudra donc satisfaire à l'inégalité
7 ^tangpçl a),
qui permettra de déterminer le maximum de 9 et le minimum de n pour des valeurs attribuées à /x, a et t..
On déduira facilement de la formule (7) celle qui serait relative au cas où la roue serait conduite par le pignon.
{g). Limite du nombre des dents dans l'engrenage à flancs intérieurs. — Il est facile de s'assurer que les formules relatives à cette question se déduiront des équations (i), (6), (7 ) , en y changeant le signe du cosinus qui entre dans la dénomina tien du premier membre; mais, comme l'engrenage intérieur est peu employé, nous n'avons pas cru devoir faire Tapplicalion de ces formules.
(A). Relations entre le pas, la saillie et l'épaisseur des dents dans l'engrenage extérieur. — Soient
a, acLy av le pas, les arcs d'approche et de retraite ; e, e' et «I , e'j les épaisseurs du pignon et de la roue à la circonférence primitive et à l'extrémité; /„ fj les saillies de ces dents.
Occupons-nous d'abord de la roue 0' {Jig. Sg). On a
puis
= — >- = a. d'où R= — j R'= — ;
n n aTT air '
AOm = j AOA. = — 7-,
• aTT
^-^. = aF,A',= — B'.O'A^,
48 QUATRIÈME PÀHTIB. — GHAPITRB III.
Mais on voit facilement que
O'm = 4 /r'^ -h Am' -h aR'A/w sin AO
et, comme plus haut^
. <<N n sm -^^ —
tangOO'/w = ^ ^^ = ^,
a -hf* — fACOsaAO/w 2/2'-4- /i — /icos-^
d'où, en remarquant que l'angle B',0'A', est généralement assez petit pour que Ton puisse le considérer comme égal à sa tangente,
FjO'A; = tangF.aA'. = tang(AOA\ - OO'm)
(a/i'-hw — «cos-^— ) tang — ; /tsin
2« -h « — /? cos -^^ h n sin -î — tang —
par suite
/.\ J / / 4'f«'\ * îi'f^ • 4^^
(i) \ , , (2« 4-/Î — /icos-^^ — )tang— ; /îsin-—-
f «'« ~ . 4^*' • 4'f*' ^ îi^*'
a/2 -H/2 — /?cos-^^ h/2Sin-=^ — tang — r-
On obtiendra des formules semblables pour le pignon en changeant dans ces dernières t^ en a et n en n'y et inversement.
Ces formules sont trop compliquées pour qu'on puisse les discuter facilement; mais dans les cas ordinaires de la pratique, que nous allons maintenant examiner, on peut leur faire subir sans erreur appréciable des simplifications importantes.
1° Cas des petits arcs d'approche et de ra/mi7a.— Supposons que n, n! soient assez grands pour qu'on puisse négliger les
puissances supérieures à la seconde des angles — > ^« La
TRANSFORMATlOlf DU MOUYEMBlfT GIRGULAIIB CONTINU^ ETC. 49
première des formules (i) donne, en conservant seulement les termes du second ordre,
(2) l'. — an j — v\
On trouverait de même
^ ' ^ nn'
En admettant un jeu de -^ du pas pour le creux, ou à trèspeu près i^t on a, pour la longueur tolale des dents des deux roues,
l^l^^l^^^ay —, H-^J.
La seconde des formules (i) donne, en continuant l'approximation adoptée,
/ e'—e\ aTTt»
(3) { d'où On trouverait de même
•ip -H l
Nous remarquerons que, dans les cas ordinaires où a=tt=: i , on a
2*» Cas d'un pignon d'un petit diamètre. — Lorsque le
rapport |^ = -7 est petit et descend au-dessous de | par n
exemple, on peut, sans grande erreur, négliger le carré de /x
5o QCATRlftMB PAKTIE. — CHAPITRB III.
devant l'unilé, et la première des formules (i) donne
OU
/. ^ — i-h ^ )sm* •
On peut aussi écrire
^.-^ asm . , , .
tangOO'/Ti = ^ - fxsin . |^2 ~ p h- t* cos -^ j,
ft cos
OO'/w = tangOO'w - tang'^^— !^
= f sm - — 2 — fx 2 — cos -^ h - sin ) i
4 '^Lx ^ ^ '^ ) A
et enfln
. 47rt'
sin
(9) -^^=:av--^-[^a-p(^,-cos— -sm— )J.
Comme généralement, dans le cas qui nous occupe, on s'arrange de manière que l'arc d'approche soit toujours trèspetit, il suffira d'appliquer les formules (3') pour les dimensions des dents du pignon.
16. Engrenage à développante de cercle. — D'après ce que nous avons vu (12), si le profil de l'une des dents de l'une des roues est la développante d'un cercle qui lui est concentrique, le profil des dents de l'autre roue sera également la développante d'un cercle qui lui sera concentrique, et dont on effectuera facilement le tracé.
Pour rendre l'engrenage réciproque, on forme chaque dent de deux parties symétriques, et on limite les faces de manière que, lorsqu'un couple de dents est en prise sur la ligne des centres, le contact cesse pour le couple suivant en même
TRANSFORMATION DU MOUTBMBNT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. 5l
temps qu'il commence pour le couple précédent. Si le cercle qui limite les extrémités des dents de Tune des roues coupe le cercle enveloppe du profil des dents de l'autre roue, on complète les dents el les creux de cette dernière par deux rayons et une circonférence qui lui soit concentrique [Jig. ^o).
Fig. 40.
Pour éviter que les dents ne soient trop affaiblies à leurs extrémités par suite du rapprochement des développantes, on donne à la normale commune au point de contact la plus grande inclinaison possible sur la ligne des centres. Considérons, par exemple, le cas de l'engrenage extérieur, le même raisonnement s'appliquant à l'engrenage intérieur, et abaissons du point de contact A des circonférences primitives la
Si QUÂTRIÈMB PARTIE. — CHAPITRE III.
perpendiculaire AC sur le rayon du pignon limitant Tare AB pris égal au pas. Soit G le pied de la perpendiculaire abaissée du point 0' sur la direction de la droite qui joint les points A et C; on satisfera à la condition que l'on s'est imposée en prenant pour circonférences enveloppantes celles qui ont pour rayons OC, O'C. Il est clair, en effet, qu'une dent du pignon parvenue à une distance égale au pas du point A sera poussée par son premier élément, et qu'elle ne pourra plus l'être au delà. Toutefois il faudra prendre l'inclinaison CC' sur 00' un peu au-dessous de la Jimite précédente, pour faire la part de légers défauts de pose.
L'engrenage intérieur est réciproque, mais il offre l'inconvénient de conduire à des dents concaves pour la roue, inconvénient que l'on ne peut atténuer qu'en multipliant suffisamment le nombre des dents.
Si, par un défaut de pose ou l'usure des coussinets, la distance des axes vient à varier, les dents continueront à agir suivant une normale commune, mais différente de celle qui avait été fixée, et les efforts transmis continueront à rester dans le même rapport qu'auparavant,, puisque le rapport des rayons des circonférences primitives est égal dans tous les cas à celui des rayons des circonférences enveloppées; de sorte que l'usure des dents sera beaucoup plus régulière que dans tout autre système d'engrenage.
Le tracé du profil des dents du pignon ne dépendant que de son rayon et de l'inclinaison de la normale sur la ligne des centres, on voit qu'une même roue pourra conduire à la fois des pignons de diamètres différents. On déterminera le profil relatif à la roue pour le plus petit pignon et l'on en déduira ensuite les profils des autres pignons.
Malgré cet avantage, l'engrenage à développante est peu employé, en raison de la convergence des profils qui affaiblit beaucoup les dents, surtout pour les pignons d'un faible diamètre par rapport à celui de la roue.
(a). Tracé par un arc de cercle. — Si le contact est peu étendu de part et d'autre de la ligne des centres, on peut remplacer approximativement les deux développantes par deux arcs de cercle de centres C, G et de rayons AC, AC.
