TBÂNSFORMATION DU MOUVEMENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC
nés par les plans CD, CD'. Soienl AAi l'épaisseur que Ton veut donner à l'engrenage dans la direction de OA; Ci, C^ les intersections de la perpendiculaire en Ai à AO avec OC, OC; on termine l'engrenage dans la région la plus rapprochée du sommet par les troncs de cône engendrés par les droites Ai Ci, A',C,, tournant respectivement autour de Ox, Ox' {fig. 47).
Fig. 47.
Les profils sphériques des dents des engrenages coniques jouissent de propriétés géométriques intéressantes, pour l'élude desquelles je renverrai à mon Traité de Cinématique
fure,
25. Trains épicycloldaux, — Lsijig, ^8 représente un train épicycloYdal à engrenages coniques. La roue A fait corps avec son arbre; la roue C est mobile sur l'arbre qui la traverse et <loni l'axe se trouve sur le prolongement de celui du précédent; l'arbre de C est relié à angle droit au levier B, autour ^uel tourne le pignon B, qui met en rapport A et C.
La formule (1) du n" 23, qui peut se mettre sous la forme
^6 QUÂTHIÈME PÀRTlB. — CHAPITRE III.
s'applique au cas actuel, a, 6, c étant les rapports des vitesse angulaires de A, B, C à celle de l'arbre qui produit le mouvi
Fig. 48.
ment, et e la raison des engrenages C et A, supposés dévc loppés dans un plan (2&]. Si les roues A et C sont identique! on a
et
Cette disposition permet d'établir entre les vitesses angi
laires de deux arbres un rapport j=rî dont l'un des termes a
moins renferme des facteurs premiers trop considérables poi que les équipages ordinaires soient suffisants.
En multipliant, si cela est nécessaire, les deux termes d cette fraction par un nombre choisi convenablement, on pei
toujours la mettre sous la forme --r-> (Xf^,y étant trois fac
teurs dont deux au moins, a, p par exemple, sont premlei entre eux.
L'équation
ax -H 6j = P
admet une infinité de solutions entières, positives ou néga lives. Supposons que l'on ait trouvé des valeurs convenable pour X ely; nous pourrons identifier l'équation (2) à la sul
vante :
TRÂlfSFORHATION DU HOUTBMBlfT CUGULÂlRIt GOKTINU, ETC. 77
poser
9rj
bn est donc ramené^ au moyen d'engrenages, à transformer la N)tation c dans la rotation a autour de l'arbre A, situé dans le brolongement de celui autour duquel la transformation doit pire opérée,
I 26. Joint universel. — Pour transformer l'un dans l'autre peux mouvements de rotation autour d'axes concourants, dont il est nécessaire de faire varier l'angle à volonté, pourvu qu'il n'atteigne pas 90 degrés, on emploie le joint universel, ^ui consiste dans la disposition suivante.
Les arbres se terminent chacun vers le point de concours de leurs axes par une fourche {fig. 49) dont les branches sont
Fiff- 49-
percées d'ouvertures circulaires; l'axe de ces yeux rencontre celui de l'arbre auquel il est perpendiculaire. Dans les yeux des deux fourches pénètrent les extrémités des branches d'un croisillon formant, d'une seule pièce, deux tourillons rectangulaires. Le centre du croisillon coïncide avec le point de concours des axes de rotation.
Il est visible que les axes de figure des croisillons sont con-
78 QUATtlÈMB FàATIB. — CHA.PITRI III.
stamment compris dans deux plans perpendiculaires à l'axe d rotation passant par le centre du croisillon, et dont la direc tion de l'intersection est complètement déterminée. Soient [fig. 5o )
Fig. 5o.
PQ l'intersection de ces deux plans ;
A l'angle aigu qu'ils comprennent;
0 le centre du croisillon;
Oa, Oa' les positions, à un instant quelconque, des portion de l'un et l'autre axe du croisillon, situées respectivemen dans deux régions des plans faisant entre elles l'angle A;
Xy x' les angles formés par Oa, Ocd avec OQ.
Le triangle sphérique déterminé par les droites OP, Oa, Oc donne, en se rappelant que l'angle aOa' est droit,
cosx 003 j/ -h sinx sin j:' ces A = o,
tangx = r cotJ?'.
° cosA
Les vitesses angulaires &>, o)' de Oa, Oa' ou des deux arbre
dx dx^ étant respectivement égales à -7-) -^j on déduit par la dif
féreniiation de l'équation précédente w I cos*^
w' cosA sin'jc"
TRANSFORMATION DU HOUYBMBNT GIRCULAIRB CONTINU, ETC. 79
d'où, par l'élimiDation de x\ au moyen de la même équation,
6/ cosA
6) ~ I — sin^xsin^A
Le rapport des deux vitesses angulaires varie ainsi entre les
limites et cosA; ces limites diffèrent d'autant moins
cosA
l'une de l'autre, ou la transformation est d'autant plus régulière que l'angle A est plus petit. On voit aussi que la transformation est impossible lorsque A = cflf* ou que les axes sont à angle droit, ce qui est visible a priori.
§ III. — Les axes de rotation ne se rencontrent pas.
27. Emploi des engrenages et des courroies. — Nous avons ici à transformer une rotation oi en une autre w' ^dont l'axe n'est pas compris dans le même plan que celui de la première, de
manière que le rapport — reste constant.
Soient {Jig. 5i )
A, A' deux points respectivement pris sur les deux axes;
kx, \! ûc' deux portions de ces axes pour lesquelles les rotalions sont de sens contraire pour l'observateur couché successivement suivant ces deux droites en ayant les pieds en A, A'.
Considérons la droite AA' comme l'axe d'un arbre intermédiaire et établissons dans l'angle ^AA' un engrenage conique
8o quàtmèiu Partis. — ghapitrb m.
donnant lieu autour de AA' à la vitesse angulaire ct)., définie par la relation
kx étant une constante ; les rotations (ù et 6)1 seront de sens contraire, la première de la gauche vers la droite, la seconde
de la droite vers la gauche, pour Tobservaleur couché suivant kxy kk'y en ayant les pieds en A; mais Wi aura lieu de la gauche vers la droite si l'observateur a les pieds en A'.
Montons également en A' un engrenage conique qui puisse transformer cot dans la vitesse iangulaire o)', dont le sens aura lieu de là droite vers la gauche. Si hi est la raison de ce dernier engrenage, on a
En multipliant cette relation par la précédente, on trouve
et par suite
On peut se donner arbitrairement Tune des deux raisons lu et A2, de sorte que la transformation peut se réaliser d'une infinité de manières pour un même arbre intermédiaire.
Lorsque les circonstances le permettent, il est avantageux de prendre pour A A' la perpendiculaire commune aux deux axes pour réduire à son minimum la longueur de l'arbre intermédiaire.
TRANSFORMATION DU MOUTEMKNT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. 8l
La transformation peut encore s'eflfecluer (fig. 5a) en prenant pour intermédiaire une parallèle kjr à k'x'y menée en un point A de A^; un engrenage conique permettra de transformer (ù en une rotation », que l'on peut se donner arbitrairement> et Ton est ramené à transformer les rotations oi,»' dont les axes sont parallèles, ce que Ton sait réaliser.
On peut employer encore d'autres dispositifs, auxquels nous ne nous arrêterons pas, pour produire la transformation proposée, à l'aide d'engrenages coniques et cylindriques et de courroies.
28. Fis sansjin. — Ce mécanisme a pour objet de transformer l'un dans l'autre deux mouvements de rotation autour d'axes perpendiculaires non concourants, de manière que le rapport des vitesses angulaires reste constant.
La vis sans fin se compose : i** d'une vis à filet rectangulaire qui reçoit un mouvement de rotation autour de son axe ; 2» d'une roue dentée montée sur un axe perpendiculaire au précédent; le filet déplace successivement les dents de la roue, dont il détermine le mouvement de rotation, et la transformation est opérée.
Soient (Jig. 53 et 54 )
r le rayon du noyau de la vis;
/ l'inclinaison de l'hélice sur l'axe du noyau;
z la distance d'un point a de l'hélice à une section droite déterminée du cylindre;
B l'angle compris entre les plans méridiens passant par a et le point ao de l'hélice compris dans le plan de la section cidessus;
Il le pas de l'hélice.
On a la relation connue
[i] z = Brcoii= — ô.
Supposons d abord que la roue soit réduite à son plan
moyen (P) mené par Taxe 00 de la vis perpendiculairement
à l'axe O'O' de la roue, et soient maf la section déterminée dans
l'une des dents en contact avec le filet; ma la génératrice cor-
iii. 6
respondante de la surface hélicoYde^ a le point de Thélice situé sur la génératrice du cylindre.
Fig. 53.
Si Tangle d qui se rapporte au point a est celui dont a tourné la vis, à partir du moment où a se trouvait dans le plan (P), la génératrice am sera remplacée, au bout du temps dty par une autre axtri^y mais on voit que Ton est ramené à considérer le mouvement d'une droite am dont la vitesse de translation parallèle à 00 est
,, dz h d^ h
de 'lit dt 'It:
(ù étant la vitesse angulaire de la vis. Si Ton désigne par w' la vitesse angulaire de la roue, la con-
dition que doit remplir Tengrenage est que le rapport — reste
Cr)
constant, et par suite qu'il en soit de même dc:^-, mais on
voit alors que Ton est ramené au problème que nous avons résolu pour la crémaillère, et que le profil des dents doit être la développante de la circonférence primitive de la roue. Dans la réalité, les dents sont des cylindres dont les gêné-
