j satisfont à la relation 0 a

à laquelle les réduites doivent leur propriété fondamentale, toute fraction comprise entre elles aura nécessairement des

termes plus considérables; mais, comme t — -^ jouit, par rap-

(t c port à ^9 ^9 de la propriété exprimée par l'équation précédente, elle est la plus simple des fractions comprises entre ces dernières. En partant de là, M. Brocot a donné une Table où flgurent toutes les fractions dont les termes sont inférieurs à 100, avec leurs valeurs en décimales, classées par ordre de grandeur. Un rapport quelconque tombe nécessairement entre (feux fractions contenues dans la Table, et qui sont les plus simples parmi celles entre lesquelles le rapport est compris. En ajoutant ces fractions terme à terme, on en aura une moins simple, mais plus approchée du même rapport, et l'on continuera ainsi de proche en proche, jusqu'à ce qu'on ait obtenu une fraction satisfaisante.

Lorsqu'on veut arriver à une exactitude rigoureuse, il faut renoncer aux équipages de roues tournant autour d'axes fixes, et avoir recours aux équipages épicycloïdaux, dont nous allons nous occuper.

23. Des trains épicycloïdaux. — Un train épicycloïdal se compose : i"" d'une roue dentée A fixe ou mobile autour de

son axe; 2*> d'une pièce B (levier ou châssis, suivant les cas), mobile autour de cet axe, et qui porte un équipage d'engrenages dont la première roue engrène avec A, et dont nous désignerons la dernière par la lettre C.

Soient, en grandeur et en signe, a, 6, c les vitesses angulaires de Â, B, C, le sens positif des rotations étant défini à l'avance; si nous concevons qu'on imprime à tout le système une rotation égale et contraire à celle de B, qui se trouve ainsi ramené au repos, nous rentrerons dans le cas d'un équipage ordinaire d'engrenages, dont on déterminera en conséquence la raison e en grandeur et en signe; mais les vitesses angulaires de A et C sont devenues a — b, c — 6 ; on a donc pour la raison

Dans cette formule on peut considérer a, b, c comme étant les rapports des vitesses angulaires de A, B, C à celle w de l'arbre qui communique le mouvement au train, et la même formule permettra de déterminer l'un de ces rapports, connaissant les deux autres.

Ldi Jtg. 4^ représente un premier spécimen de trains épicy-

Fig. 43.

cloïdaux; la roue dentée extérieure A, la roue intérieure C et le levier B peuvent se mouvoir autour du ménve axe 0; la

TRÀlVSFORMAnON BU HOUmBirr 0IAGULA.1EE goutuvu, btc. 71

roue D montée sur le levier établit la communication en ire les roues A et C. Si A est fixe, on a a = o ; par suite

et D est animé d'un mouvement épicycloïdal.

Dans le train de Fergusson (Jig» 44 )> ^^ roue A est fixe, ou n = o, de sorte qu'on a encore la relation (a); mais, au

lieu d'une roue C, on a trois roues indépendantes, de même diamètre, montées sur le même axe, engrenant avec la roue intermédiaire D; ainsi les e, pour ces trois roues, sont proportionnels aux nombres de dents correspondants. Si pour la première roue C on a e >> i, pour la deuxième e = i, pour la troisième ^<^i, en faisant tourner le levier B, les deux rouages extrêmes tourneront en sens contraires, tandis que l'intermédiaire ne sera animé que d'un mouvement de translation.

Dans le train représenté par la fig. 4^» A est fixe et est

Fig. 45.

monté sur le même axe que B et C, qui ont le même diamètre; un pignon D établit la communication entre A et C. Supposons que C et A aient respectivement /i — i et /i dents; nous aurons

- et n

Si n == loo, le rapport des vitesses angulaires est -^ ; on voit ainsi comment les trains épicycloïdaux se prêtent à la réalisation des rapports très-petits entre deux vitesses angulaires.

Nous donnerons plus loin d'autres applications des trains épicycloïdaux.

§ II. — Les axes de rotation sont concourants,

24.. Engrenages coniques. — Proposons-nous de transformer une rotation w' autour d'un axe 0^' en une autre w autour d'un autre axe 0^, qui rencontre le premier au point O, de

&)' manière que le rapport — soit constant, et désignons par (S')

et (S) les systèmes matériels qui tournent respectivement autour des deux axes ci-dessus.

Considérons deux portions correspondantes de ces axes pour lesquelles les rotations w', w sont de sens contraire pour l'observateur couché successivement suivant Ox'y Ox^ en ayant les pieds en 0, et concevons que l'on imprime au système des deux corps (S') et (S) une rotation égale et contraire à celle du premier, qui se trouve ainsi ramené au repos; (S) sera animé d'une rotation û autour d'un axe Oj, dont l'inclinaison sur 0^' etO^ est constante et est celle de la diagonale du parallélogramme, construit sur des longueurs proportionnelles à 6)', ck), portées à partit» du point 0 sur les deux axes.

Concevons deux cônes circulaires (o-'), (d), engendrés par la droite Oj, tournant autour de 0^', 0^; le second cône, dans son mouvement relatif, roulera sur le premier; mais en revenant à la réalité, s'il y avait entre eux suffisamment d'adhérence, ils réaliseraient la transformation de mouvement dont il s'agit, et c'est ce qui leur a fait donner le nom de cônes primitifs.

Comme, en général, l'adhérence est insuffisante pour obtenir l'effet voulu, on munit chaque cône de saillies où dents, ayant une forme conique dont le sommet est en 0, séparées par des intervalles ou creux: dans chaque creux pénètre, dans une certaine région, une dent de l'autre cône, qui pousse

TRANSFORMATION BU HOUTEHBNT GIRCULAIRI CONTINU, ETC. 78

une dent de la seconde roue de manière à établir la continuité du mouvement.

Une sphère d'un rayon quelconque R ayant pour centre le point O déterminera : i® dans les deux cônes {</), {c) deux cercles (s'), (s) roulant Tun sur l'autre; a^ dans deux dents en contact de (S'), (S) deux courbes (a'), (a), dont la première sera Tenveloppe des positions de la seconde.

En faisant sur la sphère le même raisonnement qu'au n<^i2, sur le plan, on reconnaît que l'arc de grand cercle normal au point de contact m de (a') et (a) passe par le point de contact A des deux cercles {s'), (s), que {a) étant donné, on déterminera {a') par la construction du numéro précité, en substituant aux expressions de centre et de rayon celles de pôle et d'ouverture de compas sphérique.

Mais comme le contact, en vue de réduire l'influence du frottement, est toujours peu étendu de part et d'autre de la génératrice de contact des cônes, on peut substituer approximativement à la construction précédente, qui présente des difQcultés pratiques, celle qui suit.

I Soient (J/îg-. 46)OA = R le rayon de la sphère déterminé

Fig. 46.

P» la direction de Oy; B, B' les intersections de la perpendiculaire en A à OA avec 0^, 0^',

74 QUATEiÈMi PAmra. — cBAinmE m.

CoaceTODS deux cônes, engendrés par It révolation de{ BK, Bk' auloar de O^r, 0 j/ ; ces deux cônes» qae nous sappo*| serons matérialisés, seront tangents à la sphère en A, et déter-i mineront, dans les dents, des courbes que l'on peut considé^i rer comme se confondant avec les profils sphériques dans rétendue du contact à partir du point A.

Soient &>(, ob les composantes de &> suivant BB' et sa perpendiculaire dans le plan des axes; (ù\y (ù\ les composantes semblables de <ù\ Des rotations a>,, &>', ne résultent, aux environs du point de contact, que des vitesses de l'ordre de l'étendue du contact et qui peuvent, par suite, être négligées. Les rotations a>3, 6>2 donnent lieu au déplacement des profils dans le plan tangent dans lequel on peut supposer que les deux cônes ont été développés; on obtient ainsi deux secteurs dentés engrenant l'un dans l'autre à une faible distance de la ligne des centres et dont les vitesses angulaires sont respectivement (ùty Cl)', . Or on a

«, = »cos(x,v),

w sinfa::',^)

d'où

w' sin(x,j-) w, tang(jr\.r) AB'^

Il suit de là que les dents des secteurs doivent être tracées comme celles d'un engrenage cylindrique dont les rayons des circonférences primitives seraient AB, AB'.

L'épure, faite et découpée en patron, sera appliquée sur le double cône (B, B') sur lequel on tracera le profil des dents.

En nous plaçant maintenant au point de vue pratique, le double cône sur lequel s'effectue le tracé est celui qui termine l'engrenage dans la région la plus éloignée du point 0; les dents tracées, on coupe les cônes B, B' par des plans CD, CD', perpendiculaires aux axes 0^, 0^', de manière à ne laisser subsister que les zones correspondant à l'épaisseur transversale des deux roues, qui sont limitées à l'intérieur par les cônes de sommet 0, ayant pour bases les cercles détermi-