CHAPITRE IL

DES VOLANTS

66. Généralités. — Lorsque, dans la composition d*une machine, il entre des pièces oscillantes, ces pièces ne correspondent généralement qu'à un ensemble d'organes à rotation continue dont les vitesses angulaires restent dans un rapport constant. Si, par exception, il y a d'autres organes gyratoires, leur force vive est toujours assez faible par rapport à la force vive de l'ensemble ci-dessus pour qu'on puisse en faire abstraction; de sorte que l'on peut considérer une machine à pièces oscillantes comme ne renfermant qu'un seul système d'organes à rotation continue.

On s'arrange toujours de manière à réduire autant que possible la masse et la vitesse des pièces oscillantes, de sorte que leur force vive reste toujours une petite fraction de celle des pièces tournantes.

Pour restreindre dans certaines limites les variations des vitesses angulaires des organes gyratoires, on établit sur l'un des arbres une roue appelée volant {fig. io5 et io6).

Afin de ne pas donner à un volant, pour un moment d'inertie déterminé, un poids trop considérable, on dispose les éléments de sa masse à la plus grande distance possible de l'axe de rotation, et c'est ainsi que l'on est conduit à donner à la pièce la forme d'une couronne circulaire reliée à l'arbre par des bras dont l'axe de figure est généralement rectiligne.

On nK>nte généralement le volant sur l'arbre animé du mouvement le plus rapide, afin que, pour une valeur donnée de sa force vive, son moment d'inertie et par suite sa masse soient portés à leur plus faible valeur.

Dans son Cours de Mécanique appliquée aux machines,

DBS YOLANTS.

Poncelet fait remarquer que les résistances ont pour effet, en général, de diminuer les plus grands écarts de la vitesse ou la valeur qu'il serait nécessaire de donner au moment d'inertie

Fîg. io5.

Fig. io6.

du volant si elles n'existaient pas, et par conséquent, en les négligeant, on doit être certain d'obtenir pour le volant des dimensions plus que suffisantes.

l66 QUATRifeMB PARTIE. — CHAPITRE II.

Soient

6)iy 0)2 les vitesses angulaires minimum et maximum de Tarbre du volant;

Q = — ' la vitesse angulaire moyenne de cet arbre {vitesse

de régime), qui est une donnée de la question;

- une fraction également donnée, et qui sera d'autant plus

pelite que l'on voudra obtenir une plus grande régularité dans le mouvement (').

La condition que Ton se propose de remplir est que l'écart maximum de la vitesse angulaire soit au plus égal à la fraction - de la vitesse angulaire moyenne ou que

d'où, en prenant le signe inférieur»

' \ in) ' \ m)

Soient

B l'angle décrit par un rayon de l'arbre à partir d'une position

déterminée de ce rayon ;

dB w = -77 la vitesse angulaire correspondante;

&), la valeur de cette vitesse pour 6 =: o;

S le travail des forces extérieures monrices et résistantes développé à partir de 6 = o ;

I le moment d'inertie du volant, qu'il faut déterminer de manière à satisfaire aux conditions (i).

La force vive des pièces tournantes est de la forme aw', a étant une quantité connue, et, en posant

( ' ) Les limites entre lesquelles n est généralement compris dans la pratique sont 3o et 80.

DBS YOLàNTS. 167

la force vive des pièces tournantes et du volant est

On peut maintenant considérer À comme l'inconnue de la question, puisque sa détermination entraîne celle de I.

La force vive des pièces oscillantes sera de la forme 89(6)01)% B étant l'équivalent d'un moment d'inertie, qui est une quantité connue , et 9(6) une fonction également connue, ne renfermant que des constantes sans dimension.

Nous supposerons que la force motrice et les résistances utiles, par suite €, sont des fonctions continues ou discontinues de 6.

On a, d'après le principe des forces vives, en faisant abstraction des résistances passives, comme nous en sommes convenus,

Le mouvement de la machine devant être périodique, il faut qu'au bout d'un nombre déterminé / de tours @ ait la même valeur pour 6 = 271/ et 9 = o, ce qui détermine une certaine relation entre les forces qui agissent sur la machine.

67. Première approximation du calcul d'un volant. — Lorsqu'une pièce oscillante, telle qu'un balancier de machine à vapeur, a une masse considérable, on s'arrange de manière^ que la vitesse maximum de chacun de ses éléments matériels soit relativement faible; de sorte que, dans tous les cas, le maximum de B(p(d] est toujours une très-petite fraction du moment d'inertie A qu'il s'agit de calculer. On peut donc, dans une première approximation, négliger les termes en B dans l'équation (2), qui devient

Soient ^2» ^1 la plus grande et la plus petite valeur de 6 dans la périodeMe 1 révolutions; 09, di les valeurs correspon-

l68 QUATRIÈMB PARTIS. — GHAPITRB II.

dantes de 6 ; nous aurons

d'où, par soustraction,

et, en vertu des relations (i),

En substituant cette valeur dans Tune ou Tautre des équations (3), la première par exemple, en ayant égard à la valeur (i) de (ùi, on déterminera la vitesse angulaire 6)o.

Si ^ est une fonction continue de 0, les angles Ot et 6t seront donnés par l'équation

Supposons que deO = ok6 = <Xy^ spit une fonction continue/( 6), et de 6=<x hi 6=^ lin une autre fonction yi( 6). Traçons deux courbes Oa, cp, ayant 6 pour abscisse, et respectivement/( 6), /,(0) pour ordonnées, et soit m leur point

Fiff. 107.

d'intersection qui correspond à l'abscisse a. Dans le cas de la Jig. 107, le point maximum n de Oa se trouve en deçà, et le

BBS TOLAlfTS. 169

point minimum p de cp au delà de m; les valeurs de di et Ot seront, par suite, respectivement données par les équations

Dans le cas de la^îg". io8, où n et p sont au delà de m, 6s sera

Fig. io8.

évidemment l'ordonnée de m, c'est-à-dire que Ton aura 9, = a, et $1 sera donné par l'équation f[{6)z=o.

Si le cas de \^fig* 109 se présente, on aura di = a et /|(8) z=z o pour déterminer 02, etc.

Fig. 109.

Ainsi donc, lorsque 6 sera une fonction discontinue de d, il faudra se livrer à une discussion appuyée sur des tracés de courbes pour déterminer les valeurs qu'il faut attribuer à 9, et ô|.

Remarque. — Supposons, comme on le fait d'habitude dans cette première approximation, que l'on donne au volant le moment d'inertie A, supérieur à celui I, qui est nécessaire pour

Wa — Wi

assurer le degré de régularité proposé; l'écart relatif-

sera réduit à moins de -9 et Ton se trouvera dans des condi-

lions très-favorables. Pour le même motif, nous ferons encore abstraction des bras du volant, de sorte que, si P est le poids de Tanneau, p son rayon moyen, et si l'on remarque que Tépaisseur de l'anneau dans le sens du rayon est toujours une petite fraction de p, on a à très-peu près

En désignant par Y la vitesse Qp du volant à sa circonférence moyenne, la formule (4) devient

(5) PV= = /ig^(S,-S.).

68. Deuxième approximation, — Proposons-nous maintenant de calculer le moment d'inertie du volant en tenant compte delà première puissance de B. Supposons que Ton ait obtenu une première valeur approchée de A au moyen de ^ formule (4); soient A(i -+- x), w; 4- dù^l les valeurs corrigées

de A et wj ; posons y = -j-ei négligeons les termes du second

ordre en x, y et iwj. Au lieu de l'équation (2), nous aurons la suivante :

d'où

(6) "^--";"^"-- = f[i--^-yyW]-^7[y(Q)-y(o)],.

Nous ne considérerons que le cas qui se présente le plus généralement oîi S, est le maximum d'une fonction de 0, et 5, le minimum de la même fonction ou d'une fonction différente,

de sorte que nous aurons ^ = 0 pour ô = ôj, 0 = 9t.

La valeur de Q qui rendra minimum &> sera donnée par l'équation

DES YOLANTS. I71

et sera de la forme 0 = 9, -+- 50„ ô0, étant de Tordre de y et ^;

mais on a

réqualion ci-dessus devient par suite

îlS).,".-!"'".'-^"'!'.'-».

et permettra de déterminer dOi; mais il nous est complètement inutile de connaître cette valeur, car le minimum du second membre de l'équation (6) sera le même que pour 9=6i, puisque S conserve la même valeur, aux termes du second ordre près. On a donc

mais la seconde des équations (3) peut se mettre sous la forme

<l'où, par soustraction.

on a de même

d'où, en égalant ces deux valeurs de — -9

pais, en substituant à A sa valeur (4j>

17^ QUÀTRIÈMB PARTIE. — GHAPlTtB U.

Des équations (à) on tire i

—^^-h iB„

*d'oiiy en remplaçant o,, o). par leurs valeurs (i), négligeant l| carré de -> qui est toujours une petite fraction, et ayant égarj à la valeur (4) de A,

l'équation (7) donne par suite

( ^i[6,(/i-i)-e.(/i-M)][y(e,)-7(ej]j.

Dans les cas joii le système oscillant est une simple bie11< ou l'ensemble du balancier, parallélogramme, etc., de Watt 9(6), en négligeant l'obliquité de la bielle, est de la formi sln'd, et Ton a alors

69. Application aux manivelles dans V hypothèse d'un puissance et d'une résistance constantes. —-.Nous négligeron l'obliquité de la bielle, qui sera ainsi censée se mouvoir pa

Fig. 110.

V~?V ::-r-AA

rallèlement à une droite déterminée 0^ (Jig. iio) passant pi le centre de rotation 0 de la manivelle

DBS TOLANTS. 178

Soient

Rie rayon OA de la manivelle;

jQ la résistance constante, supposée tangente à la circonférence de rayon OA ; STeffbrt moteur, parallèle à 0^, agissant en A; A„ K\ les points morts extérieur et intérieur;

9 l'angle AOAo.

I» Manivelle simple à simple effet. — Pendant la durée d'une révolution, la force S n'agit que de A, en A',, de sorte que, (K)ur exprimer que le mouvement est périodique ou que le travail total est nul dans la période considérée, on a

SX2R = Qx27rR, d'où S = 7rQ.

On a évidemment

Le maximum et le minimum de S correspondent aux valeurs de 0 données par l'équation

^=QR(tr8ine-i) = o,

d'où

sinô = -j n

Ô.= X^OA; = i8°33'36'', ô,= A^0A;=7r--Ô,.

0ndéduitdelaformule(9)^=: — y; de sorte que l'on peut s'en tenir à la première approximation, puisqu'elle donne pour A une valeur un peu trop forte, ce qui est avantageux à la régularité en mouvement.

L'équation (5) donne maintenant, en vertu des valeurs cidessus,

(lo) PV'= 17,2802 X 2 7rRQ/î.

On appelle cheval-vapeur un travail de 75 kilogrammètres exécuté dans une seconde. Si N est le nombre de tours de

Tarbre par minute, le travail effectué par seconde est, en kilogrammèlres,

et en chevaux

..rqI^,

p^ 2 7rRQN 60 X 75 '

En remplaçant, dans Téquation (10), QR par sa valeur tirée de cette relation, on arrive finalement à la formule pratique

(11) PV*= 24300^.

2® Manivelle simple à double effet. — Lorsque A est arriva en A',, S en conservant son intensité change de sens, de manière à rester une force motrice, de sorte que son travail esl double de ce qu'il était précédemment pour une révolution entière. On a donc

S.4R = Q.27rR, d'où S = -Q;

par suite,

S=:QRr^(i-cos0)-ôl.

De réquation ^ = o on tire

sinô= -, d'où

L'équation (9) donne, comme dans le cas précédent, ^z-r — y, de sorte qu'il suffit encore de s'en tenir à la première approximation.

En opérant comme plus haut, on trouve

(i^) PV»=4645Ç^.

Le moment d'inertie du volant, toutes choses égales d'ailleurs, est ainsi inférieur au -^ de ce qu'il doit être dans le cas du simple effet.

DBS T0LÀ1IT8. 1^5

3« Manivelle double à angle droit et à double effet. •— Supposons que l'angle d se rapponeà la manivelle OA; pour avoir les termes correspondants relatifs à la manivelle OB, il faudra changer 6 en 9 -f- 90", el Ton a ainsi

S =^ S (i — C08Ô)R -H S (iH- sinô) — QRG.

Le travail des deux forces S pour une révolution étant PxSRy on a, pour la condition de périodicité,

8RS = a7rRQ, d'où S = k9.,

par su lie y

L'équation donne

OR S= ^ r(2— C0SÔ-i-sillô)7r— 4Ô].

fl^ • A A 4

-^^ =- o ou smô -4- cosO = -

e.= 19^12', e, = 7oM8'.

En se reportant au n^ 67, il est facile de voir que dans le cas actuel

y(e)=sill'0-HCO8'ô = I,

el réquation (8) donne encore, comme plus haut, x = — y, de sorte que Ton n'a pas non plus à se préoccuper de la deuxième approximation, et l'on a

PV' = 468^.

On pourrait multiplier ces exemples et reprendre notamment les précédents, en supposant que l'on établisse sur le prolongement de chaque manivelle de l'autre côté de l'axe de rotation un contre-poids maintenu à une distance constante de cet axe.

70. Calcul du volant d'une manivelle à double effet dans un cas particulier où la force motrice est variable. — Supposons que la force motrice S soit constante à partir de 9 = o jusqu'à une valeur déterminée a de l'angle d; que ded = aàd=7r

la force motrice suive la loi exprimée par S -^ — '— et que la

*^ ^ I — cosa ^

même chose se reproduise dans l'oscillation inverse : nous

nous trouverons dans les conditions d'une machine à vapeur

à détente, en admettant que la détente ait lieu suivant la loi

de Mariotte et que Ton néglige la contre-pression, ce qui ne

peut être qu'avantageux au point de vue de la régularité du

mouvement (65).

Nous aurons

S'=SR(l-C0Sa)H-SR(l-C08a) Ç J^îi^— QRG

= SR (i -cosa) -f- SRlog ' "" ^^^^ - QRO, pourG = *. ^ ' '='1 — cosa ^ » f <^

Pour que le mouvement soit périodique il faut que 6' = o pour 9 == TT, ce qui donne

(l — COSa)( i-hlog I

^ ' \ *^ 1 — cosa )

On a, par suite,

^ I — cosO 0

^ 2(1 —cosa) ( I -+- log )

^ ' \ ^ I — cosa/

(la') { . ./ . I-CO80\ » a-, (l — cosa) ( I-+- log I

^ a(i— cosa) ( i-f-log )

^ ' \ ° 1 —cosa/

Le minimum 6 correspondra à la valeur 9 de d donnée par

(l3) 8ill(ï>= —, r|l-+-l0g |)

^ ' ^ 7r(i— COSa)\ '^^i— cosa/

et son maximum à 0 = tt — 9.

DES YOLANTS. I77

On peut maintenant écrire

S 1 — cosQ ô ^ ' aTrQ "" aTTsiny aw

En désignant, par des indices, les valeurs de ^ correspondant aux valeurs 9 et $ de 6, on a

/ I -. I — cosy f^

) 27rQ ? ^TTsin^ 27r

J ï -. ï-hCOS* I <p

U seconde des équations (i) peut se mettre sous la forme

,-x I -., 1 — COScp/ , I— COS0\ 0

16) 7c S'= : ^1 I-f-IOg )

La fonction ^' n'est susceptible que d'un maximum correspondant à la valeur $' de 0 donnée par

, . ■ ^ ^' I — ces a 17 lang — = — : ,

ei, en désignant par @^ ce maximum, on a

W rrrï K

î ^» I — COSa / , 2 1*'

-S^, = ; I H-«ilOg I •

En faisant croître « de 10 en 10 degrés à partir de a=:io" jusqu'à 180 degrés, et dressant un tableau, nous avons reconnu que l'on a constamment 6, = 6^, et 6,= ç;^. entre a— io« et a = i4oS et ^2 = ^l> entre a = ï4o*» et a = i8o*> ( ' ).

En appelant A Y admission ^— et posant PV»= /x -rr'>

(') Voir, pour plus de détails, mon Mémoire sur les Tolants des machines ù Tapeur à détente et à condensation, inséré au tome I*' des Annales des Mines,

nous avons Tormé le tableau suivant :

Nous avons reconnu également que le terme correctif Xj dû à Tinfluence de Tinertie des pièces oscillantes, est dans tous les cas négatif, de sorte que nous n'avons pas à nous occuper de la seconde approximation dans le calcul du moment d'inertie du volant.

71. De r influence de V obliquité des bielles sur la régularité du mouvement. — Le chemin parcouru par l'extrémité de la bielle à partir du moment où le bouton de la manivelle se trouvait au point mort extérieur étant (Si') *

COS0 sin'ô 1

à la troisième puissance près de l'obliquité e, on peut poser

F et/ étant des fonctions connues de B. Les angles 9i et 9a seront donnés par l'équation

Soit d'i la valeur qui rend F[d) minimum; si nous posons 0,= 9',-}- ô9,, nous aurons, en nous arrêtant aux premières puissances de e et dd,, qui sont du même ordre de grandeur,

Si l'on porte la valeur de 0 = 6', -i- 59, dans l'expression de S, et que l'on appelle 6', = F(6',) la valeur de G, résultant d'une

DBS VOLANTS. • 1 79

première approximation dans laquelle on aurait négligé Texcentricitéy il vient, en s'arrêtant aux termes du second ordre,

En augmentant l'indice d'une unité, on aura une expression semblable pour le maximum 5,, et il sera facile de trouver la valeur de la correction que Ton doit faire subir à une première valeur approchée du moment d'inertie A du volant, résultant de l'hypothèse de e = o, lorsque l'on voudra tenir compte de la seconde puissance de l'obliquité.

Comme exemple, reprenons la question d'une manivelle simple à double efifet du n'^eS; nous avons, pour la condition de périodicité,

4SR = 27rRQ;

par suite

= qr[^(,-

= esinô',,

cosô)

6sin^0',

Si nous écrivons l'expression des C» de la même manière, en nous rappelant que les angles 9\y ff^ sont supplémentaires (68), nous trouvons

e^ S'^ :== ^^ r,-h —5 g»cos0'. sin'ô',.

Nous voyons ainsi que, dans le cas actuel, l'obliquité de la bielle exige, pour arriver au degré de régularité voulu, une légère augmentation du moment d'inertie du volant. En effectuant les calculs numériques, la formule précédente prend la

forme

o,42ioRQ(n-i,i68s').

11 arrive rarement que e atteigne ~, et dans ce cas limite la première valeur approchée de A devrait être augmentée deo,o8 environ de celte même valeur. Il n'est donc pas superflu, dans certains cas, de faire entrer en ligne de compte l'obliquité des bielles.

l8o QUATRlfi^E PARTIE. — CHAPITRE II.

72. Remarque relative à rétablissement des volants. — M. Krelz a faii observer à juste litre que, lorsqu'il s'agit de faire fonctionner des machines outils, il ne suffit pas de limiter les écarts de vitesse à une certaine fraction de la vitesse moyenne : il faut encore, au double point de vue de la qualité et de la quantité de l'ouvrage produit par unité de temps, et de la conservation de l'outil, que l'accélération de ce dernier ne dépasse pas une certaine limite; ce qui revient à assigner une limite maximum ^ à TacCélération an-

. . d(ô gulaire-^.

En négligeant l'inertie des pièces oscillantes, et différentiant l'équation (2') du n*» 66, on obtient

d'où

"de

ÂdB'

dÎD On déterminera la plus grande valeur A de -^>

et l'on devra

s'assurer que le moment d'inertie A, calculé comme on l'a indiqué plus haut, satisfait à la condition

73. Conditions de résistance à la rupture d*un volant. — La^g". 1 1 1 représente une section faite dans un volant par son

plan moyen perpendiculaire à l'axe de rotation 0.

DBS yolànts. i8i

Nous appellerons circonférence moyenne de l'anneau à Télal naturel le lieu géométrique des centres de gravité de ses sections méridiennes, et nous désignerons son rayon par p».

I** Nous considérons d'abord le cas où le volant possède une vitesse angulaire û sensiblement constante.

Soient

OA,, OA', les axes de figure de deux bras consécutifs; a,, a, leurs naissances respectives comprises dans l'angle A',OA' ;

2a et e les angles a,Oa^,, û,OA, = a\Ok\ ;

OA la bissectrice des angles A,0 A', , û,Oa, ;

A', A A, la portion de la circonférence déformée déterminée par

les directions de OA,, OA', ; p le rayon de courbure de la courbe Aû, en un point M dont

les coordonnées polaires sont r = OM, AOM = cp;

7 la section méridienne de l'anneau ;

I le moment d'inertie de cette section, par rapport à la perpendiculaire au plan de la figure passant par son centre de gravité;

q' la section transversale des bras que nous supposerons constante jusqu'au moyeu;

0, N les composantes élastiques développées dans les sections méridiennes aux naissances a„a', des bras, dirigées respectivement suivant le rayon et sa perpendiculaire;

E le moment d'inertie de la matière;

n son poids spécifique;

r l'effort maximum de compression ou de traction qu'on doit lui faire supporter par unité de surface.

î-a force centrifuge agissant sur a,Aa', faisant équilibre aux forces élastiques développées en û„a,, il vient, en projetant sur OA,

2Qc08a-H aNsma = i a'p^,co8<p.porf<p = - -<rii pj

En posant

sina.

l82 QUÀTRIÈMB PARTIE. — CHAPITRE II.

réquation précédente se met sous la forme

(a) N, sina-4-Qcosa= o.

Si Ton prend, par rapport au point M, les moments des forces qui agissent sur Ma,, on a, en appelant 4» l'angle formé avecOA par un rayon quelconque Om de Tare ai M,

El G - f) =" NPo b - C08(a - y)] -f- Qp, 8in(a ~ y)

«y^'pj / sin(>]/ — ^)rf"i]/H-con8t.

La constante étant le moment du couple élastique développé dans la section normale en ai ou a,, on tire de là, en désignant par Cpo une autre constante qui comprend la précédente,

(^) 5i(i-i')=-N.cos(a-(p) + Qsin(«-(p)-C.

L'influence du bras sur l'anneau en Aia, doit, à très-peu près, produire l'effet d'un encastrement; de sorte que, après comme avant la déformation, OA, Oai sont des normales qui font entre elles l'angle a. On a donc

en négligeant la dilatation de la circonférence moyenne; d'où la condition

[c) N, sina — Q (i — cosa) — Ca = o.

En posant r=:p^[i'\- m), nous aurons, d'après le n** 188 de la deuxième Partie,

p p« ~~ pi W ^ /'

L'équation (6) devient par suite

(d) g(^-^«)=N,cos(y-a)4-Qsin(^-«)-C

DES YOLANTS. l83

et a pour intégrale

Ch-^N, ((p-a)sin(<p-a)

— - (q>— a)cos(«p— a) H- McOs(f — a)-t- M'sin(Y— a) h

H et M' étant deux constantes arbitraires. Mais, comme OA, Oai sont deux normales après comme

avant la déformation, on doit avoir -7- = o pour <p =^ o, 9 = «, ce qui donne les conditions

(e) — -N, (sina-hacosa)— - (cosa — a8ina)H-Msina-f-M'C0Sa = o,

Soient aa la naissance du bras OAi extérieure à Tangle na, F l'effort de traction exercé par ce bras sur Tanneau. Comme Tangle û,0a,= 2e est toujours petit, on peut sans inconvénient en négliger le carré.

En exprimant que F fait équilibre aux deux forces — Q, aux deux forces — N développées dans les sections normales en ûi, «2, ainsi qu'à la force centrifuge de la portion de Tanneau limitée par ces sections, on a

Soient

r la distance à Taxe d'une section quelconque du bras; i la dilatation dans cette section ; r, la valeur de r à la naissance.

Nous pourrons, sans'grande erreur, faire abstraction de la déformation du moyeu ou anneau central par lequel le volant est monté sur Tarbre. En considérant Téquilibre d'une trancbe du bras, d'épaisseur Jr, on établit facilement l'équation

Eff'-7- dr-{- tr'-a^rdr = o; dr g

l84 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

d*oii, en désignant par K une constante^ L'allongemeni total du bras sera, à peu de chose près,

comme cet allongement est égal à la valeur de p^u pour 6-=^a, on a la relation

On déduit de là la valeur de K qui, reportée dans l'expression de S, donne

d'où, pour r = p09

if) E^ = ^û»(-.p;H-p.r,-^rnH-(M~C)^^|^

Mais celle dernière valeur n'est aulre chose que celle de —•,

on a donc

IM-C=^-^&V^U(Q-+-N'6) n + iL a»[24^sp; -^ (t' (ap; -p,r. - r; )] j .

En éliminant M, M' entre les formules (e), {e') et {g), on arrive à la suivante :

(-. r sina-4-acosa 2l(p,— rj . 1

/ La pi"' J bg pi<r'

l x[a4«fj -i-<T'(2p; — p,r, — r;)]sma-i-C8ii

sina =0.

DBS VOLANTS. l85

L'élimination de C entre les équations (c) et (A) donne

N, sin'a (sina -+- a cosa) h ^''. , sa sina

I 'L 2i pi*' J

-.Q|-(x-COSa)-.a[^-.^IigZ^

elles équations (a) et (1) permettront de déterminer Ni et Q; mais, comme -7—7 ( i ^ | et — sont toujours de petites frac-

<^9o \ Po/ Po

lions, on peut, sans erreur sensible, réduire l'équation (/) à la suivante :

iN, sin'a— -(sina -+- a cosa) H-Q — (i — COSajn 1 sina -4--r-IilMi |a4-7£-h2 |asina = o, ^g \ PoA ^ Po/ .

d'où

I „ (' ^] \^ ^ -*-24 — , s I a sinacosa

[t,-^ lu' '^ P'{^ P' '—l .

I ' ôfi' a-* a . 2

I ° h - Sina cosa — sm^ a

(i-^) (2--"-i-24-, e)asin^«

I bff a^ a . .5

° 1 — sina cosa — sina

par suite, en vertu de l'équation (c),

(i C2\ fa- -« -+. 24 -^ e\ sin'a

(*) C = - -?- ui^ ^-pdl Po ^1

bg a^ a . . ,

** ! — smacosa — sin^a

11 est facile de s'assurer que la fonction de a qui forme le dénominateur de ces trois expressions reste positive pour des valeurs de la variable croissant à partir de zéro.

On voit, d'après la formule (6), que le maximum de E ( )

l86 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

correspond à

tang((p-a) = ^,

ou à 9 = o en vertu des valeurs de (j); ce maximum a poui valeur

(l^i\^JLa^p^V PoA P, ^Lll

\9ti ?] ^S Cf? CL . . , -

-Sina)sina

/I 1\ Il \ rt#\ n ' IT' I ^

■Sinacosa — sin^a

Soit X la composante élastique normale à la section méridienne au point M; en donnant à ij^ la même signification que plus haut, réquilibre de MA| exige que

5'^ = Ncos(a— ^) — Qsin(a — (j>) a'pja / sin(i^ — f ) ^>t,

S Jo

5'^= N,cos(<p-- a) -î-Osin(y — a)H — ^'pjc,

expression dont le maximum correspond à

tang(y-a)=^ ou à 9 — o, et a pour valeur

n T02 y Po/ V Po ^ /

(m) ^ = ^ia'^ — ^^^-^ ^-^ —^ H-~a»p;(T.

'^ r- - sina cosa — sm'a °

Si l'on appelle 2^ l'épaisseur de l'anneau dans le sens du rayon, la tension élastique maximum développée sera

a \p Po/

«Kl) etE( 1 ayant les valeurs données par les for-

mules (/n) et (/); et, comme elle doit être au plus égale à T,

BBS YOLANTS. 187

^ faut que Ton ait

[n > ('"" k) ('"" i'^''^^') [^ ^^^'^ -^ P»M« - Bina)] sma

** h - sina cosa— sin'a

Celte condition sera satisfaite a fortiori, si celle que Ton obtient en supprimant ~ Test elle-même^ ou si Ton a

f 1-+-12-7 s) I - acosa-+- p„<?(a — sina) j

2 / f^T ^ A a^-i-«sing — 28in'a ^ 3 \na' ^'J sina

On pourra, sans inconvénient, supposer que, dans cette inégalité, 2a est l'angle formé par les axes des deux bras consécutifs. La même inégalité suppose nécessairement que son second membre soit positif ou que Ton ait

ce qui donne une limite de la vitesse de Tanneau du volant dont il faut se tenir suffisamment éloigné.

Occupons-nous maintenant des conditions de résistance des bras. D'après la formule (/), le maximum de E$ correspond à r=: r, et est égal, à peu de chose près, à

bg '^ \ p./ 1 (Pa-'-o)

OU, en vertu de la formule {g),

^^ = S^^'pî {^^ ^ ^ ') ^ } (Q^^>')-

N 0 Comme -/ et -^> en raison du facteur 1 dont sont affectées

leurs expressions, sont petits par rapport au premier terme

l88 QUATRlfeME PARTIE. — CHAPITRE II.

de celte valeur, on peut écrire simplemenl

n^,r,/ . (7 \ il asin'a "1

** I ^ ^ h - SinaCOSa — Sin'a 1

- Sina COSa — Sin'a

Nous avons négligé dans ce qui précède l'action de la pe santeur; pour plus de sécurité, il convient de calculer le éléments d'un volant de telle manière que chaque bras puissi résister aux efforts que nous venons de calculer, augmenté du poids total du volant, tandis qu'il n'en supporte jamai qu'une partie, ce qui revient à retrancher de F l'expressioï