II.27r -7po, ou a écrire

f- - sinacosa — sin^a

Ainsi donc, étant donnés la vitesse moyenne d'un volant i sa circonférence et son moment d'inertie calculé en vue d'ob tenir un degré de régularité déterminé, on devra donner ^ l'anneau et aux bras des sections, et des formes à ces sections, telles que les conditions (i) et (2) soient satisfaites.

2*» Proposons-nous maintenant d'étudier l'influence que doll avoir, sur la résistance d'un volant, une variation plus ou moins rapide du mouvement, en faisant abstraction de la force centrifuge.

Nous nous occuperons spécialement de la flexion des bras supposés rectilignes, et nous négligerons l'angle e, ce qui est permis sans erreur sensible, comme l'indique la suite des calculs; nous conserverons les notations précédentes, aux exceptions suivantes près : i® au lieu de représenter l'angle aiOa\ par 2a, nous le désignerons par a; 2? nous représenterons la vitesse angulaire variable par &>, en supposant qu'elle ait lieu de la gauche vers la droite; 3® les composantes des

DES VOLANTS. 189

actions élastiques dans les sections méridiennes en ai et a\ n'ayant plus ici la même valeur, nous les représenterons par les mêmes lettres que plus haut, mais en accentuant celles qui sont relatives à la seconde de ces naissances.

En projetant sur les directions de N' et Q' et prenant les moments par rapport au point 0, on obtient, pour les conditions d'équilibre des forces qui sollicitent Tare «la,,

Neosa — N'— Qsina ^Po jT / cos^df = o,

^ ^/ XT . n ,//w /•« . QcosaH-Q'-+- Nsina ^P» 7~ / sinffl(p=:o,

x-r XT/ n - cfo>

Si Ton pose

n - rfw

ces équations prennent la forme

■ N'= N cosa — 0, sina,

r^, XT . r\ n , r/«

Q'= — Nsma— Q, cosa -h - <^Po ^ ' d'où

(p) N(i - cosa) H- Q.sina = -aplx£.

On a pour Téquation relative à la flexion de û,^,

\P Po/

- j ^pl £j [i - cos {^^ - y )] rf^^ -4- const.

OU, en désignant par C une constante,

(q) Efi-. i'\ = -Ncos(a-<p)-^Q,sin(a-«J))-^-C. Po \P PJ

L*angle «,0a', restant égal à a, et les tangentes en «» et a\

igO QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

ayanl la même inclinaisoD sur Oa„ Oa\ après comme avan la déformation, on doit avoir

ou

(r) Nsina — Q,(i — cosa) — Ca= o.

En opérant comme plus haut, on tire de Téquation ( q )

— ^ (<p — a)cos(ç — a) -hMcos(ç ~a) -h M'8in(<p— a) J,

M et M' étant deux constantes arbitraires.

Nous ferons remarquer maintenant que les éléments ma^ tériels de chaque bras n'étant sollicités que par des forces

en -jji toutes très-sensiblement perpendiculaires à son axe

de figure, la dilatation de cet axe est uniforme et ne dépend que de Q H- Q', résultante qui, d'après la nature même de la question, doit être très-faible, ce que, d'ailleurs, nous pourrons vérifier ultérieurement; de sorte qu'il nous sera permis de négliger la dilatation dont il s'agit, ou de supposer que u = o pour 9 == a, cp == o, ce qui donne les conditions

(s) — C(i— C0Sa)-h^Nasina-4- -^acosa — M'sina = o.

D'autre part, les tangentes en a„ d^ devant être également

inclinées sur Oui, Où,, la dérivée -7- doit avoir la même va-

acp

leur pour <p = a, <p = o, ce qui s'exprime par

\ — (sina-4-acosa)

/ — -^ (i — COSa-t-asina) — C sina -4-M'(i — COSa) — o.

L'élimination de M' entre les équations (s) et (/) conduite

DBS YOLàNTS. 191

la suivante :

r V N . 0, , . aC(i — cosa)

[U] — sina — :îii (i — co8<3t) : = o.

Il résulte de la comparaison des formules {r) e\{u) que C est nul et que Ton a tout simplement

[v) N sina — Q^ (i — cosa) = o

De cette équation et de la formule {p) on tire

N=-<rpJa^,

et enfin

Q.= -ap;atang-^

0 = napj(itang^-i), XT/ 3 n , </«

Ainsi donc Teffort Q -H Q', qui agit longitudinalement sur chaque bras, est nul, ou plutôt de Tordre des quantités que nous avons négligées, comme nous l'avons admis a priori.

Soient maintenant

r le moment de la section du bras par rapport à la perpendiculaire au plan de la figure passant par son centre de gravité;

p le rayon de courbure du point de la fibre moyenne déformée situé à la distance rde Taxe de rotation;

^e' l'épaisseur du bras.

Fï'

<l'où pour le maximum de —

— ï7— (po-'-o);

la tension ou compression élastique maximum développée est, par suite,

et doit être au plus égale à F; on satisfera a fortiori à cette condition si Ton satisfait à la suivante :

I > n ^èL? f^

e"= g r di'

En désignant par P le poids de l'anneau, par n le nombre des bras, et remarquant que Ton a à peu de chose près

a = — 5 l'inégalité ci-dessus peut se mettre sous la forme

suivante :

e' = ngV dt '

qui est d'une application plus facile.

DBS RÉGULATEURS. igS