N.-^N':--^, ' 2COS
etréquation (i) se réduit approximativement à la suivante :
La pression sur Taxe 0 ou la résultante du poids q et de la force égale et contraire à la force N, dont la valeur est donnée par Téquation (4)> » pour expression
ou, en se rappelant le théorème de Poncelet,
\- q\ -^o,4o— tang7 = (o,48-+- o,aotang7) ^-+-0,96(7.
284 QUÀTRiftMB PABTIB. — CHAPITRE IV.
On a, par suite, pour Téquation des moments relative à la roulette considérée, en remarquant que sa vitesse angulaire
est w ^ j
Comme on obtient une équation complètement identique à la précédente pour la roulette 0', on a T=:T', et l'équation (i') devient, par l'élimination de ces composantes,
(«) (A-.I^)^=Q.R.-AAp,-..9a-^ii,
en posant, pour abréger,
^^^ ^" ïûôTv^ R (o»96-t-o,4otang7).
Si maintenant on remplace, dans l'équation (6), Si par sa valeur (2), on trouve
= Q,R,-Ap,(2Q-4-Q,-r-y,)-i,92
/pp. y
On voit ainsi que les termes qui dépendent du frottement de glissement sont multipliés par la petite fraction -^*, de sorte
MX
que, en résumé, en considérant que le frottement de roulement donne des termes très-petits, les résistances au mouvement de la poulie sont beaucoup plus faibles que si elle reposait directement par des tourillons sur des coussinets.
110. Engrenage sans glissement de Hoocke ou de Whyte. — Considérons deux cylindres circulaires extérieurs, en contact suivant une génératrice, tournant autour de leurs axes, de manière que par leur adhérence le mouvement de rotation de l'un détermine celui de l'autre. Comme nous l'avons vu, on est ramené à supposer que l'un des cylindres roule sur l'autre regardé comme fixe.
Si sur ces cylindres on a tracé deux hélices de même sens et également inclinées sur les génératrices, et si à un instant quelconque elles ont un point commun, elles seront tangentes en ce point et rouleront l'une sur l'autre.
Fig. i49-
Concevons maintenant qu'un profil se déplace sur chaque cylindre, de telle manière que son plan reste normal au cylindre, que l'un de ses points décrive l'hélice et que la tangente au profil en ce point soit normale au cylindre. Nous obtiendrons deux surfaces que Ton peut matérialiser et qui, pourvu qu'elles ne se pénètrent pas (et nous supposerons que les profils remplissent les conditions voulues pour qu'il en soit ainsi), rouleront ainsi Tune sur l'autre suivant les hélices directrices.
Si nous répétons ici, en substituant les hélices aux génératrices rectilignes, ce que nous avons dit pour les engrenages cylindriques, nous constituerons un engrenage à dents hélicoïdales symétriques [fig. 149 )> en nous arrangeant de manière, ce qu'il est facile de réaliser, que le contact commence au plus tard entre un couple de dents lorsqu'il est sur le point de cesser pour le couple précédent.
La réaction d'une dent sur l'autre passera en un point de rhélice situé à une petite distance 8 du point de contact géométrique et sera comprise dans le plan tangent au cylindre, qu'elle ait ou non une composante suivant la tangente à Thé-
lice. On voit ainsi que le moment de cette réaction par rapport à l'axe de l'autre cylindre sera le même que si 6 était nul, de sorte que l'engrenage est sans frottement, dénomination qu'on lui donne souvent d'ailleurs.
On pourrait établir de la même manière un engrenage conique sans frottement en prenant pour directrices des dents des lignes géodésiques des cônes primitifs.
111. Du tirage des voitures. — Nous supposerons d'abord que le sol est horizontal, et, en employant un raisonnement semblable à celui dont on a fait usage aux n^« 106 et 107, on est ramené à considérer une seule roue.
Soient {Jig. i5o)
Fig. i5o.
F l'effort de traction horizontal qu'il faut exercer pour arriver
au mouvement uniforme ; Q la charge ; q le poids de la roue ; R son rayon ; p celui du moyeu ;
/ le coefficient du glissement du moyeu sur la fusée; à le coefficient de roulement de la roue sur le sol.
La force qui agit sur le moyeu étant la résultante de F et de Q, on a, pour le momeijt du frottement correspondant pris par rapport à l'axe de la roue,
La réaction du sol passant au point Ai situé à la distance d
et en avant du point en contact géométrique A, faisant équilibre à F et Q et au poids g, a pour composantes horizontale et verticale — F, — (Q -f- ^ ) de sens opposé aux précédentes; on a donc pour l'équation des moments
d'où
Mais comme» d'après cette formule, F sera toujours petit par rapport à Q, on peut négliger son carré devant Q^ et écrire simplement
Cette formule étant linéaire s'applique à un couple de deux roues montées sur un même essieu; il suffit, en effet, de fractionner en deux parties la charge et l'effort, d'écrire pour chaque roue l'équation (i) et d'ajouter les deux équations obtenues. Ainsi donc cette équation donne l'effort de traction pour un couple de roues dont le poids total est q et qui supporte la charge Q.
Considérons le cas d'une voiture à quatre roues ; supposons que l'équation (i) s'applique à l'un des couples de roues, et qu'en accentuant les lettres on obtienne l'équation semblable pour l'autre couple ; nous aurons
d'où, pour l'effort total de traction.
On déterminera Q et Q' en décomposant la charge totale en deux forces parallèles à sa direction comprises dans les plans verticaux passant par les axes.
Si la voiture est placée sur un sol incliné sur l'horizon de
288 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
Tangle i, l'effort F étant censé parallèle à sa direction, la réaction tangentielle du sol sera, pour la descente,
[F^(Q-4-ry)sini],
la réaction normale — (Q -H^f) cosi; de sorte que Ton a, en continuant à considérer le frottement sur la fusée comme étant dû à la charge Q,
[F ^ { Q ^ y) 8in/] R - (Q + q) ^cosi - -/L= Q = o,
d'où
F.(Q^„(|cos,-si„,).-^.
Cette formule s'applique à la montée en y changeant le signe de i.
112. Résultats de V expérience sur le tirage des voitures. — Nous croyons devoir donner ci-après les principaux résultats de l'expérience sur le tirage des voitures.
Rapport da tirage Nature de la TOie supposée borizontale. à
la charge totale.
Terrain naturel, non battu et argileux sec 0,260
» siliceux et crayeux o, i65
Terrain ferme battu et très-uni 0,040
Chaussée en sable ou caillou tis nouvellement placé., o, 126 ^ Chaussée en empierrement à l'état d'entretien ordinaire 0,080
Chaussée en empierrement parfaitement entretenue
et roulante o,o33
Chaussée pavée à la manière ordinaire { au pas o , o3o
et la voiture étant suspendue. . . . . ( au grand trot. 0,070
Chaussée pavée en carreaux de grès ( au pas o,o25
bien entretenus (au grand trot. 0,060
Chaussée en madriers de chêne non rabotés 0,022
Chemms à ornières plates en fonte de fer ou en dalles
très-dures et très-unies 0,010
Chemins de fer à ornières saillantes en bon état
d'entretien 0,007
Chemins de fer à ornières saillantes parfaitement entretenues et les essieux continuellement huilés. . o,oo5
113. Généralités sur T adhérence des locomotives. — Pour simplifier, nous ne considérerons que le cas d'une voie horizontal e, de deux pistons horizontaux et de deux roues portantes non couplées avec les roues motrices, et nous négligerons les frottements des articulations» des tiroirs, stuffing-box^ qui sont relativement faibles.
Considérons Tune des parties de la machine déterminée par son plan méridien et soient (Jig. i5i)
Fig. i5i.
P l'effort horizontal développé sur le piston, qui est transmis intégralement au bouton M de la manivelle, en négligeant l'obliquité de la bielle ;
r = OM le rayon de la manivelle;
6 l'angle qu'elle fait avec le point mort extérieur;
R = OA, R' = O'A' les rayons des roues motrice et portante;
S = AA„ è' = A' A', les coefficients de frottement de roulement pour ces deux roues;
N, N' les réactions normales du rail en A„ A', et T, T' les réactions tangentielles correspondantes ;
q, q' les-poîds des roues 0, 0' ;
F l'effort de traction ;
Q, Q' les charges que supportent les fusées 0, 0' ;
S, S' les réactions horizontales des boîtes à graisse correspondantes;
f le coefficient de glissement des fusées dans les boîtes à graisse;
p, p' les rayons des fusées 0 et 0' ;
On a d'abord, en projetant sur l'horizontale les forces qui sollicitent le système et remarquant que les actions mutuelles disparaissent, (i) F H- T -+- T' = o.
