I -h tang
Ino» — ■
i-tang-
Or s est généralement inférieur à 3o degrés, et pour e = 45**
on a déjà très-approximativement
i4-tang-^
log î ^ 2tangi(i-4-^tang'^ h
I — tang 1 ^ '^
D'autre pari, ^ est une petite fraction qui atteint rarement Yô ; d® sorte que l'on a très-sensiblement
(7) /W6(i-hi£') = ^-+-Re.
. L'autre brin donne de même, en accentuant les lettres.
Nous avons maintenant
/ntangg -h m'tange'-+- R (tt h- e' — g) = \ OU
(9) mi\\-\' ^ j -H/w's' n-H yj -^-R(7r-t-6'--6) = X.
Nous avons maintenant, pour la condition d'équilibre relative à la poulie C,
COSS' COSe ^
OQ
En éliminant m et m' dans les équations (9) et (10), au moyen des relations(7) et (8), on obtient les suivantes :
(12) g(,+ l£'^)-g'(l+le')=^^S6'.
Lorsque le câble est au repos ou que Q est nul, e et z' ont m. 18
la même valeur eo> qui est donnée par et Ton peut mettre (ii) sous la forme
(il') a'-¥-e"=2el.
En posant (.3) , = ^,
l'équation (12) devient
et peut, comme première approximation, se réduire à la suivante :
(12") es'=q(e--s').
Les équations (n') et {12") donnent
( s-e'=-.7 4-v/y-H2sJ,
d'où l'on déduira e et e. En se reportant ensuite à l'équalion (12'), on obtiendra facilement une seconde approximation de ces valeurs, en ne négligeant plus que les termes du second ordre devant l'unité.
L'équation (8) donnant
la tension maximum du câble est
Soient (7 h somme des sections des fils qui composent le câble ;
r Tefforl maximum que Ton veut faire supporter aux fils par
unité superficielle de la section ; n le poids spécifique de la matière.
Nous aurons
(16) et
ou
îTcr
v (,/Rs'){i-hig'^) r
En substituant la valeur de e' dans cette formule, nous aurons une équation qui fera connaître q et par suite p et a*. Mais cette solution est presque impraticable. Il sera préférable de dresser des Tables faisant connaître les valeurs de e, e', par suite celles de F, correspondant à une suite de valeurs données de £©, q et V.
Supposons maintenant que l'on place l'origine des coordonnées sur la droite CCi; les ordonnées des brins supérieur et inférieur seront respectivement données par
r= Rcoss'-H/n'( ;)i
\C0Sa COSS y
r " — Reose -i- m {— ),
•^ \cosa C0S£/
et leurs flèches seront
^ \C0Se' / a^ '' ''
-^ \cose ) a ^ •' ^
Après avoir traité la question au point de vue où nous nous sommes placé, il sera facile de déterminer les corrections qu'on devra faire subir aux résultats obtenus pour tenir compte du frottement.
276 QUàTBIÈME partie. — GBAPITRB IV.
§ II. — Frottement de roulement.
105. Nous avons vu que la résistance au mouvement éprouvée par un corps (S), qui roule sur un autre corps (S'), est due à ce que la réaction du second corps sur le premier passe à une petite distance en avant du point de contact géométrique des deux surfaces, mesurée sur le lieu géométrique des positions successives de ce point sur la surface de (S' ).
Cette distance, que nous continuerons à désigner par d, pour un cylindre de rayon R roulant sur un plan, serait, suivant Coulomb et M. Morin, indépendante deRet paraîtrait aller en diminuant quand la longueur du cylindre augmente. Parmi les résultats obtenus par M. Morin, nous citerons les suivants :
Chêne sur peuplier (longueur du rouleau o",ioo).. ^ = 0,000876
Fer sur planches de chêne brutes 0,010200
Roue à jante en fer sur chaussée en empierrement
à l'état ordinaire o, 041400
Roue à jante en fer sur chaussée en empierrement
en parfait état o,oi5ooo
Roue à jante en fer sur chaussée en pavé bien entretenu au pas o,oi85oo
Roue à jante en fer sur chaussée en pavé bien entretenu au trot o, 028800
Roue en fonte sur fer non graissé o,oo35oo
» sur fer avec graissage continu ^ 0,001100
D'après Dupuit, 8 serait de la forme 0= k^y k étant un coefficient qui dépend uniquement de la nature des corps en contact, et Ton aurait :
Pour le bois roulant sur le fer k =0 ,001 1
Pour le fer roulant sur le bois humide 0,0010
Pour le fer roulant sur le fer 0,0070
Pour les roues sur les chaussées en empierrement. . o,o3oo
Mais les formules que nous allons établir sont indépendantes de toute hypothèse sur la dépendance qui peut exister entre d, le rayon et la longueur du cylindre.
106. Usage des roulettes pour diminuer la résistance des pièces frottantes. — Supposons qu'une pièce pesante MM' (fig. i45) repose par une face plane sur deux roulettes iden-
Fig. 145.
tiques dont les axes sont parallèles et compris dans un même plan horizontal ; proposons-nous de déterminer Feffort horizontal, de direction perpendiculaire à celle des axes, passant parle centre de gravité de MM', qui ferait équilibre aux résistances passives.
Soient
R le rayon des roulettes; p celui de leurs tourillons;
/ le coefficient du frottement des tourillons sur leurs coussinets; q te poids de chaque roulette.
On peut supposer la charge totale et l'effort toial respectivement décomposés chacun en deux autres de même direction, se rapportant Tune à la roulette 0 et l'autre à la roulette 0'.
Désignons par F l'effort moteur et Q la charge verticale, qui sont relatifs à la roulette 0.
Comme il y a roulement relatif de la roulette 0 sur MM> la résultante de F etQ doit passer à la distance AÂ, = ddu point de contact géométrique A, mesurée de la droite vers la gauche ; la pression totale de MM' sur l'axe 0 a donc pour composantes horizontale et verticale P et Q, dont la résultante avec le poids q détermine, sur les coussinets, un frottement ayant
pour moment 7^==^ VF h- (Q-f-g)^ = o.
L'équation des moments est par suite
FR - Q J - -^L^= »/F -^ ( Q ^ y )' = o.
D'après celte équation, F est du même ordre de grandeur que les rapports très-petits jr?/^» de sorte qu'on peut, sans erreur appréciable, négliger F sous le radical ; on a ainsi, pour la valeur de l'effort cherché,
Cette formule, étant linéaire en P et Q, s'appliquera à l'ensemble des deux roulettes, en appelant F l'effort total, Q la charge totale et q le poids total des deux roulettes. Il suffit de jeter un coup d'oeil sur les Tables du n**87 pour se convaincre que F est bien inférieur à l'effort qu'il faudrait exercer pour vaincre le frottement de glissement de MM' sur un sol formé de la même matière que les roulettes dont l'emploi présente ainsi un avantage incontestable.
107. Emploi des rouleaux pour transporter des matériaux solides sur un sol horizontal.— Supposons qu'une pièce solide pesante M' M {Jig. 146) soit supportée suivant une face plane
Fig. 146.
par deux rouleaux 00' de même diamètre à axes parallèles et reposant sur un sol horizontal NN', et proposons-nous de déterminer l'effort horizontal, perpendiculaire à la direction des axes, passant par le centre de gravité de MM', nécessaire pour faire rouler d'un mouvement uniforme des rouleaux sur NN' et MM'. .
Comme dans le problème précédent, on est ramené à considérer l'un des rouleaux 0.
Soient
A', A les points de contact géométriques de ce rouleau avec MM', NN';
CALCUL DES RfiSISTÀNCBS PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 27g
A',, Â^ les points par où passent les réactions sur le rouleau de MM', NN', le premier situé à gauche de A et l'autre à droite de A ;
i'=A'A',, 5 = AA, les coefficients de frottement de roulement du rouleau sur MM', NN';
/', / les coefficients du frottement de glissement correspondants;
R le rayon du rouleau;
q son poids;
Q la position du poids de MM' agissant sur le rouleau ;
F l'effort horizontal nécessaire pour vaincre le frottement.
Les composantes horizontale et verticale de la réaction de MM' sur 0 sont respectivement égales à Q et F; la réaction en Ai devant faire équilibre à la précédente et au poids q a pour composantes horizontale et verticale deux forces —F et — (Q -f- jf ) de sens contraire à F et Q.
En prenant les moments par rapport au point A, par exemple, des forces qui agissent sur le cylindre, on a
d'où
Celte formule s'applique également au système tout entier, en appelant Q la charge totale, q le poids des deux rouleaux ei F l'effort de traction total.
Pour qu'il n'y ait pas glissement, il faut que les réactions horizontales F en A et A' soient inférieures aux frottements de glissement Q/', (Q 4- g)/, ou que Q soit supérieur à la plus
/., 0-hO ~ 0 + 0^
108. Plaques tournantes des chemins de fer, — Une plaque tournante [Jig. 147) est soutenue vers sa circonférence extérieure par des galets identiques également éloignés de Taxe de
28o QUATRIÈME PÀETir. — CHAPITRE IV.
la plaque; les galets, qui ont la forme de cônes tronqués dont les sommets se trouvent sur cet axe, sont adaptés à une monture indépendante de la plaque et formée de tiges de fer qui rayonnent autour d'un collier enveloppant la crapaudine. Ces
Fig. 147.
galets reposent sur un chemin de fer circulaire fixe, et la forme tronconique qui leur est donnée a pour objet de leur permettre de rouler sur le chemin de fer et sur la face inférieure de la plaque suivant toute la longueur de la génératrice de contact.
Soient
R le rayon moyen ;
q le poids d'un galet;
Q la portion de la charge qu'il supporte;
a la distance à l'axe de la plaque du plan parallèle aux bases du tronc de cône et équidistant de ces bases;
F l'effort horizontal compris dans ce plan qui doit faire équilibre aux résistances éprouvées par le galet;
d\ à les coefficients de frottement de roulement du galet sur la plaque et le chemin de fer.
L*équalion(i) du numéro précédent s'applique dans le cas actuel, attendu que les réactions de la plaque et du chemin de fer forment deux couples qui ne donnent aucune pression et par suite aucun frottement sur l'axe du galet, et Ton a, pour le moment de F par rapport à Taxe de la plaque,
Cette formule donne également le moment total qu'il faut produire pour faire mouvoir la plaque, abstraction faite de tout frottement latéral du pivot de la plaque sur son guide, en y
CALCUL DBS RÉSISTANCBS PASSITBS DANS LBS M ACHINBS9 BTG. 281
supposant que Q représente le poids de la plaque et de sa charge» q le poids total des galets.
Si le moment est celui d'un couple» il n'y a pas de frottement latéral du pivot de la plaque sur son guide; s'il est produit par une force P, elle développe un frottement sur ce
fp
guide dont le moment sera P
=> p étant le rayon du
iourillon,/le coefficient de frottement de glissement. En appelant b le bras de levier de P, on aura
^1, = ? -rÛ=^.
Q{$^d')^gS^
ce qui fera connaître la valeur de P.
109. Tourillons à roulettes. — Machine dAtwood.— On peut réduire dans une proportion notable la résistance au mouvement d'un arbre, en faisant reposer ses tourillons sur les jantes croisées de deux couples de roulettes identiques, montées deux à deux et d'un couple à un autre sur un même axe parallèle à celui de l'arbre. La machine d'Aiwood dont nous allons nous occuper offre un exemple de celte disposition.
Fig. 148.
q+QiT
Nous pourrons» par la pensée» réduire les deux couples de roulettes en un seul, dont le plan moyen coïnciderait avec
celui de la poulie, en supposant chaque roulette de ce couple * sollicitée par la résultante des forces extérieures agissant sur les deux roulettes montées sur le même axe. Soient (/îg". 1 48)
0, le centre de la poulie;
Ri son rayon ;
pi celui de son tourillon;
Il son moment d'inertie par rapport à son axe;
0, 0' les centres des rouletteç sur lesquelles reposent les tourillons de la poulie;
R le rayon de chacune d'elles;
p celui de ses tourillons;
q son poids;
I son moment d'inertie par rapport à son axe ;
/ le coefficient de frottement des tourillons sur les coussinets;
ay l'angle OOiO';
Q -+- Qi> Q deux poids accrochés aux extrémités de droite et de gauche du fil qui passe sur la poulie, poids qui déterminent un mouvement de rotation de cette dernière, dont nous représentons par w la vitesse angulaire ;
A, A' les points de contact géométrique des roulettes 0, 0' avec le tourillon de la poulie ;
Ai, A', les points de leurs circonférences où passent leurs réactions sur le tourillon ;
ô = AA,= A'A\ le coefficient du frottement de roulement;
N, T les composantes normale ettangentielle de la réaction de la roulette 0 sur le tourillon de d;
N', T' les composantes semblables relatives à la roulette 0'.
Nous négligerons dans ce qui suit les termes du second ordre en â et/.
L'équation des moments par rapport à l'axe de la poulie considérée comme libre est, en remarquant que la vitesse de Q-+-Qi et Q est wR„
CALCUL DES RfiSISTANGSS PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 283
En posant
elle prend la forme plus simple
La résultante Si. des forces extérieures qui agissent sur les poulies est verticale et a pour valeur
OU
(2) a^,,Q^Q,^^,^|LR,J;
et comme elle doit faire équilibre à N, N/, N', N'/, on a R ^ (N -+- N') C0S7 -+- (T - T') sinv,
^' ' o = (N--N')sin7 ~(T -+-!') CO87.
En négligeant le frottement, par suite T et T', on a
