III. a
354 QUATRIÈME PAETIB. — CHAPITRE Y.
6 = AOB l'angle que forment les manivelles avec la direction ci-dessus;
P l'angle aigu formé par la bielle motrice avec la même direction ;
TT
6 H — 5 P' les angles semblables aux deux précédents pour la
position contemporaine de l'autre système mobile; e, e^ les distances au plan méridien des attirails d'un piston et d'upe bielle d'accouplement.
Nous prendrons pour origine des trois axes rectangulaires Qx, ûj, QZf respectivement parallèle, perpendiculaire et transversal à la voie, le milieu û de l'axe projeté en 0; le plan xy définit ainsi le plan méridien.
132. Conditions relatives aux oscillations normales et au tangage. — D'après la figure on a
(a) sinp=j8in0, OB = rcosô-h /cosp.
Les ordonnées des points p ei b parallèles à Taxe des j sont respectivement
— (/? -h OB) sin/ =— (/? -h r cosô -h l cosP) sin/, — ^sin(« + P)~rsin(Ô — /)=~^fsin«cosp4- jsin0œs/j--/'sin(0--/).
La somme des moments des masses du système par rapport au plan xz est par suite
— bI 6 (sin/cosp-h ysinôcosn -+-rsin(ô — i) 1 — P (/?-+- r ces 0 H- /cosp)sin/-hsin(0 — /)(^a-h n^^ci ^ B'r),
ou, en réduisant.
l — (B^4-P/)cospsin^^-sinôcos^j — Br( i-h j Wfxa ■+-/ifAVH-B'r 1 ( — cos9 sin/[(B'— B -h P)r -h pa -h «pV].
£n ajoutant cette expression à elle-même, après y avoir rem-
placé 0 par 0 -I- - et p par P', on aura la somme des moments
des pièces mobiles (à pari les roues et les essieux dont le centre de gravité est fixe) par rapport au plan j^. Or, pour qu'il n'y ait pas d'oscillations normales à la voie, il faut que cette somme soit constante, quel que soit ^, ce qui exige que les
coefficients des termes en sin 9, COS0, cosp= t/ I— j^ sin^ô, cosP' = i/i— -p cos^S soient séparément nuls. On a ainsi
B^-+-P/=o, — Br ( iH- j\ -j-B'r-h \t.a -+- n'u.'a' = o,
(B' — B-h P)r -+- fAû -h n'iL'a'= o.
Or, comme en retranchant l'une de l'autre les deux dernières de ces égalités on retombe sur la première, on voit qu'il suffit de satisfaire aux deux conditions
(2) (B'— B -H P)r -H fAû -h nif-'a' = o,
pour qu'il n'y ait pas d'oscillations normales.
Les moments par rapport au plan jz des masses B, P, |x s'obtiendront en remplaçant dans les équations que nous avons obtenues ci-dessus relativement au plan xz^ i par 90" 4- /, ceux des massesB', /i/jL'parB'[6'-f-rcos(0 — /)], n'ij/[d -hrcos{9 — /)]. Or on peut faire abstraction de la somme WV -\- n^x! d qui est constante, de sorte qu'en définitive les conditions pour qu'il n'y ait pas d'oscillations horizontales s'obtiendront en remplaçant/ par / -H 90*» dans celles qui sont relatives aux oscillations normales, ce qui conduit naturellement aux résultats ci-dessus.
Ainsi donc, si les conditions (i) et (2) sont satisfaites, il n'y aura ni oscillations normales, ni oscillations longitudinales; on pourra en général supprimer ces deux mouvements nuisibles en disposant, en conséquence, des contre-poids sur la grandeur et la position desquels nous reviendrons plus loin.
356 QUATRlÈaiE PARTIE. — CHAPITRE V.
Remarque. — Supposons que les conditions (i) et (2) ne soient pas satisfaites. La partie variable de la somme des moments des masses mobiles^par rapport à Tun ou l'autre des plans xy^ zy^ sera de la forme
F cosp -H r cosp'-h G cos9 -h G'sinô
^Fà/i- ^sin^ô-f-P'â/i— ^, cos'ô-hGcosO-HG'sinô,
F, F', G, G' étant des constantes.
Soient M la masse de la partie fixe des roues et des essieux de la machine; Ç la distance de son centre de gravité à sa position moyenne estimée perpendiculairement au plan des moments. Si la machine est isolée, nous aurons
MJ; = F4/ 1- 2^sin'0 -i-P'â/i— ^' cos'0 4-Gcosô -hG'sinÔ.
Dans le cas d'un mouvement uniforme correspondant à la vitesse angulaire o), on a 0 ==&)/, et l'équation précédente, qui donne Ç en fonction de t, définit complètement le mouvement oscillatoire dont il s'agit.
133. Conditions relatives aux mouvements de lacet et de roulis.-- Les résultantes, estimées suivant ûj, des quantités de mouvement des masses B, P, [jl, B', nix' ne seront autre chose que les dérivées par rapport au temps t des termes correspondants de l'expression (b). Si, pour abréger, nous désignons par©
, . de , , -
la vitesse angulaire -tt et si nous remarquons que la première des formules (in), élevée au carré, donne r/cos3 r* sinsiÔ
la somme des moments des quantités de mouvement des pièces mobiles par rapport à une parallèle quelconque à Qx, comprise dans le plan méridien, sera
__ B — I -, g hcosôcosi)
/ \ 2/ cosp j
+ (Br +,txfl)cos(0- 0 -t- Pr (^sinô -f- -^ -^^ j 8in/J
-H w£?'cos(ô — /)(«piV-hB'r)
STABILITÉ DES UAGUINES. 357
ouy en développant,
^ ^ ^ -+-WCOSÔCOS/ — Ber( i-h j )H-fx^^-*-(//fAV-HBV)6''
-h wsin0sin/[(PrH-fxrt — Brje-f- (//f*'»'-}- Wr)e''\,
Or, en ajoutant cette expression à celle qui en résulte et y
changeant 0 en 0 4- - et p en (3 , on doit obtenir, pour qu'il n'y
ait pas de roulis, un résultat indépendant de 6, ce qui exige, comme il est facile de le reconnaître,
B^4-P/ = o, — BeW iH- T ) -+- \»'ae-^[n]L'a'-^h'r)e':= o,
(3) (Pr-hfxfl- B/')e-t-(«wV-HB'/')éf'=o,
conditions dont la première a déjà été obtenue plus haut et sur laquelle on retombe en faisant la différence des deux autres. Nous ne trouvons ainsi qu'une nouvelle condition exprimée par l'équation (3), et qui suffit avec la condition (i) pour qu'il n'y ait pas de roulis, et par suite de lacet, puisque, pour passer des équations relatives au premier de ces mouvements à celles du second, il suffit d'y changer i en i -\- 90".
Pour qu'il n'y ait simultanément ni tangage, ni oscillations normales, ni lacet, ni roulis, il faut qu'il y ait compatibilité entre les équations (2) et (3). Or, si l'on retranche de la seconde la première multipliée par e', on trouve
(4) [p«H-(P-B)](e-e') = o, condition qui peut être vérifiée, soit en posant
(5) e=^e' OU
OU encore, en vertu de la formule (3), (6') /ifxVH-BV=o.
Dans les machines à cylindres extérieurs on a sensiblement e = e', de sorte que, pour éviter les quatre mouvements précédents, il suffit de satisfaire aux équations (i) et (2).
Dans les machines à cylindres intérieurs, la différence e'— e est notable, de sorte que, pour annuler simultanément ces quatre mouvements, il faudrait que la condition (6') fût vérifiée, ce qui conduirait à adapter des contre-poids en sens inverse des manivelles.
Laissons de côté cette dernière condition, pour ne nous occuper que des équations (i) et (2). Pour qu'elles soient vérifiées, il faut placer des contre-poids sur le prolongement des bielles motrices et des manivelles, ou suivant les manivelles, selon que P -f- B' — B sera positif ou négatif. Si nous appelons ///,, i/.\ les masses de la manivelle /x' et de son contre-poids; a,, a\ les distances de leurs centres de gravité à Taxe de rotation, il vient, en attribuant à B,, B3, 61, 6, des significations semblables,
d*oii
( fil^',^ = {V -^B' -B) r H- lia -h nii\a!^,
formules dans lesquelles on pourra considérer les masses comme représentant les poids correspondants.
La valeur et la position des contre-poids des bielles motrices, comme celles des contre-poids des manivelles, ne sont soumises qu'à une seule condition. Il y a donc, dans la solution du problème, une indétermination dont on profitera dans chaque cas pour faciliter pratiquement l'adaptation des contrepoids.
Pour les machines à cylindres extérieurs, on devra supposer fjL = Oy puisque la bielle motrice est articulée à une manivelle d'accouplement. On fera
n = I pour une machine non couplée,
n = i » à quatre roues couplées,
« = 3 » à six »
Généralement le contre-poids u.\ est compris entre le cercle
intérieur de la roue ei deux rais consécutifs ou non et se termine par une surface cylindrique de même axe que la roue. L'essentiel est que le rayon moyen du profil mixtiligne ainsi déterminé passe par le centre de gravilé de la manivelle. Soient
R le rayon intérieur de la roue;
X le rayon intérieur du contre-poids;
2 a l'angle formé parles deux rais qui limitent le contre-poids;
p le rayon vecteur d'un point quelconque de cette masse;
^ l'angle qu'il forme avec la bissectrice de l'angle aa;
£ l'épaisseur de la roue;
A le poids spécifique de la niatière.
On reconnaît facilement que
' d^ j p'C0S^^^p = A6|(R^— ^) Si0^t',
comme [ijat est censé connu, cette équation permettra de déterminer Xy et par suite la masse du contre-poids.
Si, pour une machine à cylindre extérieur, où a = e', le contre- poids /x'^ a été calculé d'après la formule (7), en d'autres termes s'il a satisfait à la condition (3), le coefficient du terme en cosO du groupe (A) se réduit à
-a)sin/y (B/^-t-P/).
Si donc on change i en 1-1-90® dans ce groupe pour avoir celui qui correspond au lacet, qu'on l'ajoute à lui-même après y avoir remplacé 9 par 6 -\- 90®, on trouve, pour le moment de lacet,
to(B^-H ?l)e\ -^cos/sinaôf — ^ ^) — Çsin/(cosG — sinô) :
^ L^( \cosJi cosfîV ^ J
mais, en s'arrêtanl aux secondes puissances de -' on a
j / r^ \"^ r^ u = ( I — T2 sin'ô ) = iH- -7^ sin'0,
vr, = I I — 7^ COS'O ) = IH Ta COS'Ô,
36o quatri6m£ partie. — • cuàpitrb y.
et le moment de lacet devient
— w(B^H-P/)ej — g-Tj sin40co8/-+-8ini(cosô — sinô) .
Comme i est toujours nul ou petit, que j ne dépasse pas 7,
ce moment sera toujours une très -petite fraction de û)(B6 + P/)e, et, par suite, la condition (3) est surtout celle qu'il importe de remplir, en vue de réduire les amplitudes du mouvement de lacet.
Soient maintenant I le moment d'inertie de la partie fixe de la machine, y compris les roues et essieux, par rapport à la parallèle à ûj passant par son centre de gravité; 9 l'angle décrit autour de cet axe par le plan méridien, mesuré à partir de la position moyenne de ce plan.
Si l'on fait abstraction du frottement développé par le lacet sur les rails, et si Ton suppose que la machine est animée d'un mouvement uniforme depuis assez longtemps pour que les conditions initiales du mouvement aient disparu, on a
I^ — we(B^H-P/) j i^cos/sin4ô — (cosô — sinO)sin/ =0
^ = e(BZ»-f-P/)jri^'cos/sin4Ô-sin/(cos0-sinÔ)l et <ï» = — ^ j — '— 7 M" ~i^ 7T cos/ COS20 -h smi(cosô -H sinô) ,
en n'introduisant pas de constante par suite de l'intégration, puisque nous avons supposé que les conditions initiales du mouvement ont disparu.
Si / = o, on a
La demi-amplitude
(Bb-hVl)e r* 1 16/*
est tres-petite, d abord parce que le rapport ^ 1
ou
STABILITÉ DES MACHIMBS. 36 1
Test lui-même, et ensuite parce qu'il est multiplié par le facleur -^j^y qui ne dépasse pas -—n.
134. De la tendance au mouvement de galop. — Le mouvement de galop tend à se produire en vertu du moment des quantités de mouvement des pièces mobiles par rapport à la parallèle à Qz menée par le centre de gravité Gt de la partie ûxe de la machine.
0*>.peut considérer ce moment comme résultant :
I" Ird moment semblable par rapport à Qz;
2? Du moment par rapport à la parallèle en G à il-z de la résultante des quantités de mouvement supposées transportées parallèlement à elles-mêmes en û, dont nous avons les expressions des projections sur Hx et ûj, et qui serait nulle s'il n'y avait ni oscillations normales ni oscillations transversales.
Le tout se réduit donc à trouver l'expression du moment des quantités de mouvement par rapport à Qz.
Il n'y a pas lieu d'avoir égard aux quantités de mouvement des roues et essieux et de la manivelle motrice, puisqu'elles ne donnent lieu qu'à des moments indépendants de 6.
Le moment de la quantité de mouvement de la manivelle d'accouplement CI>, par exemple, se compose de son moment par rapport au point C, qui est indépendant de 9, et du moment, par rapport à i2z, delà quantité de mouvement /xVw de son centre de gravité où toute la masse serait concentrée, supposée appliquée en C. Toutes les quantités de mouvement lifa'(ù se composent en une seule nix^a^cù perpendiculaire à CiD„ appliquée en C„ et dont le moment par rapport à ùz est
(^) /îpVwrf.cosQ.
Le moment de la quantité de mouvement de la bielle d'accouplement B', animée de la translation w.EFsinô, est
(d) B'«rsinOx>sinQ = B'a)r'L=l^??^.
Il nous reste maintenant à calculer le moment des quantités de mouvement de la bielle motrice.
362 QUÀTRiftMB PARTIS. — CHAPITRE Y.
Soient u la distance au point B d'un élément matériel de la bielle; x> ^î les coordonnées de cet élément parallèle et perpendiculaire à OB en prenant le point 0 pour origine, on a
;^ =r rcosô-h/cosp — f/cosp, >i=Msinp,
Le moment cherché sera
^ / dn dy\
V^ dt dt )
Si Ton substitue les valeurs précédentes, en remarquant que
on trouve pour résultat
— w[Ib~B^(/ — ^)] -JT -f-Bwr^ fsinSsin0-r-cos0cosP ^ j ,
ou
/ \ TT ni i f i\-i dS Boir^b
(e) -co[lB-B^(/-^)]-^^-h -^j-'
La partie variable des expressions (c), (rf), (e) ou du moment total relatif aux pièces mobiles est donc, abstraction faite du facteur 0),
- [Ib - Bb(l- 6)]^ H- n'iiWd.cosB - BV' ^5!^.
En y changeant 0 en 6 -t- - et p en P', on a, pour l'autre piston,
- [Ib - *(^~ ^)] ^' - ^'pV^.sine + BV 52|i?;
on a donc enfin, pour la partie variable du moment relatif aux deux attirails de pièces mobiles,
-[lB-B6(/-6)]^|H.§')H-«pW.(co8Ô-sin0).
^ d& r s\r\9 dâ'
Or -~ = y — _______ et — - ne pouvant pas s exprimer
sin*^
linéairement en fonction de sin0, il faut, pour que cette expression soit constamment nulle, ou qu'il n'y ait pas simultanément de mouvement de galop, de trépidations normales et parallèles à la voie, que
(8) Ib = ^(^-^),
Cette dernière condition n'est pas remplie que dans les machines simples ou à six roues couplées.
L'équation (8) exprime que, si l'on considère la bielle motrice comme un pendule oscillant autour d*un axe perpendiculaire à son plan moyen passant par le centre de l'une de ses articulations, le centre d'oscillation doit coïncider avec le centre de l'autre articulation.
Les équations (i) et (8), quoique exigeant toutes deux que chaque bielle motrice soit prolongée au delà du boulon de la manivelle, sont cependant incompatibles, parce que d'après l'une b doit être positif, et négatif d'après l'autre; de sorte qu'il est complètement impossible mathématiquement de faire disparaître simultanément les tendances aux cinq mouvements nuisibles d'une locomotive.
364 QUATRift» PARTIE. — CHAPITRB Y.
NOTE
SUR LE aOUVEXEIlT ONDULATOIRE b'uII TRAIN DE WAGONS DU A UN COOC.
Nous supposerons que le train est placé sur une voie droite, que les centres de gravité des véhicules se trouvent situés dans un même plan vertical, et que la percussion a lieu dans ce plan.
Soient M,, M,,. . . , Mj les masses des i véhicules qui composent le train , en y
comprenant la machine et le tender ; jc,, ^„..., ^^ les distances, en projection horizontale, de leurs centres de
gravité G,, G^,...,Gi à un point fixe 0; a,, <7j, . . . , a.^ les distances G, G,, G, G^, . . . , G,, G^, lorsque les tampons
sont au simple contact ou que les ressorts sont à Fétat naturel.
L'action mutuelle , entre le premier et le second véhicule, développée par les grands ressorts , est proportionnelle à leur déplacement relatif £7, — (x, — X,) et peut être représentée par /, [/?, — (j^,— j:,)], /', étant un coefficient qui dépend de la nature des ressorts. Appelons de même /•,, ^j,..., /,, les coefficients semblables relatifs au deuxième, au troisième, . . . , au (/ — i)^"** véhicule.
Pendant le mouvement il se développera des résistances que Ton peut considérer, pour chaque véhicule, comme proportionnelles à sa masse; cette résistance peut donc, pour le j^^^ véhicule, être représentée par — ^'jbj, bj étant une constante qu'on prendra positivement ou négative-
ment, selon que la vitesse —^ sera positive ou négative.
Nous aurons ainsi
M, -^^ = - X-, (/7,- .r, -H J^,) -H K[a,-x.^ -H xj - kA,
telles sont les équations qu'il s'agit d'intégrer.
MOUVEMENT ONDULATOIRE d'uN TRAIN DE WAGONS, ETC. 365
Posons à cet effet
nous aurons
et les équations (i) deviendront
fP
Posons, eu vue de faire disparaître les ^\ ^„
/w,, Wj,..., /w^,, étant des constantes qui sont déterminées par équations
(4) { - ^^/'A = ^'if^i- Ki^2-^ ^l)^
Les équations (3) deviennent alors I . fP
M, jp (r, -+-.-. -^ Xi) = ^\Xi - ^',^1
On satisfera à ces équations en posant
' j, = (l^Xcosn(t-h s), jr, = a,Acos/î(r-he), • ••
I jri., = ai, A cos/i(r-+- 6 ), j,. = Aco8/?(;-he),
fl,, ^2, . . . , a,.„ A, /i, « étant des constantes, et, en substituant, on trouve
— M,/î'(a, -ha, H-. ..H- «., -4- i) = — X-, a,),
— M, /i'(a, -+- a, -h . . . -h a., -f-i) = .— /-, aj, >
En éliminant entre ces équations les / — i coefiBcients a,,..., a.,, on obtiendra une équation du i^"*' degré en «% et qui admet nécessairement la racine «' = 0, comme on le reconnaît à l'inspection des équations (7), qui sont vérifiées par w = o, a, = o, . . . , a,^ = o.
A chaque racine positive de cette équation correspondront un système d'intégrales de la forme (6) et des valeurs déterminées pour a,, . . . , «.„ et à une racine négative ou imaginaire la somme de deux exponentielles multipliées respectivement par des constantes.
Comme, dans tous les cas, l'équation finale en n^ est du degré / — i, nous n'obtiendrons que z* — i intégrales particulières renfermant chacune deux arbitraires, soit en tout 2(1 — i) arbitraires, de sorte qu'en faisant leurs sommes pour 7» , jk, , . . . , jr,, nous n'obtiendrons pas les intégrales générales des équations (5).
Mais, si l'on observe que ces équations sont vérifiées par r, = o,
