III
4o2 QUATRIÈME PAETII. — CHAPITRE II.
réquaiion (5) nous donnera
ds = -^rz:
yjc v/i-+- acosÔH- psinô par suite, en vertu des deux premières des relations (i),
^c Jo i/i ■
^c Jo /i-*-«cos6-r- f»8inô
__ j. i^ r^ sinBdB
y/c Jo v^i-!-acosÔ-+- fJsinÔ
v/c «/o y/i -^- acosô H- p sinô
- rf5
On peut supposer que sjc -^ soit développé en une série indéfinie de sinus et cosinus d'arcs multiples de d, et poser
(8) (i -t-acosflH-psine)"' = 2^ (A,C08«9-t-B,8inw9),
A.. B„ étant des fonctions de x, |3, n que nous déterminerons ultérieurement; nous aurons alors
' / = -J^ [A.e + 2" 7, (A.8in«ô - B. co8«9 ^ B.)],
.-R.= - -L (a. (. - cosO) ^ 1^ sin'9 -. |(e !!^)
■^Î2, j^^[A.«>s(«-')9 + B.sin(«-i)e-A.]
»9)/ -^^[A„C08(«-4-i)9H-B.8in(n-f-i)9-Aj|)
• <'.•» A, /. 8ina9\ Yi. . ,. r=^(A.8m9-^^(^9H--^JH.^sm'9
DU MOTBOR. ^oZ
Pour déterminer les A« el B„, nous remarquerons d'abord que l'on a
(i-4-aCosô-hPsinô)"'
Jê^ \ 2/ 1.2.3. .,m ^ ^ ' '
//imo
mais, en représentant V— i par /, on a
cosmB :
-mîtt
par suite,
(acosÔH- psinO)*"
(ïa) ^ 1 ^m(m — i)...(m'-pH'i),
=,4 2:"<"-;;a"'.7"''(c.-p/r-Ma^p/)>^<---'^>'.
Dans cette formule il conviendra de grouper les termes également distants des extrêmes avant de remplacer les exponentielles imaginaires par leurs valeurs en sinus et cosinus, etdistinguer, par conséquent, chacun des cas où m est pair ou impair; les „, Bu se déduiront ensuite d'un calcul plus ou moins laborieux; mais, comme il nous suffit d'avoir le moment moteur, nous laisserons de côté la recherche précédente considérée dans toute sa généralité.
Admettons donc maintenant que le point M correspond à un encastrement perpendiculaire au rayon OM, que l'on peut faire tourner à volonté autour du point 0; soient / la longueur de la lame et R le rayon OM, qui sont des données de la ques^ tion; <p la valeur de 6 correspondant au point M; nous aurons pour ce point
x = Reosf,
y ^•RsiiKp;
4o4 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE 11.
par suite,
^-^^[^•f-^2x ^(A„sin/ia)-B„cos/2^-hB„)J,
T> n » ^4 / N A, . , B, / sin2îp\
Rco8(p-R,==- — |^Ao(i-cos<F)+-^sin'ç-:-^(^^----^]
(i3) ( — ^^[A„cos(//-M)«ï>-+-B„sin(//-hi)f-A„]
u • ' ^A • A, / srnacpN B, . , Rsiny— --l AjSin<p-h ~1 «p h ) h — ^sin'cp
■^^2. L^ [*^ sin(/i - i) <p -H B„cos( /?-!)? -BJ
\ H- ^-^^ [A„sin ( /? -h i) <p — B„ cos(/? -+- 1) <p ^- BJ
condilions auxquelles correspondent, en fonction de cp, des valeurs de a, (3, c qu'il s'agirait maintenant de trouver; mais, considéré à ce point de vue général, le problème paraît présenter des difficultés insurmontables : c'est pourquoi nous nous bornerons à calculer ces quantités dans le cas où 9 est un multiple de 27:, ce qui nous suffira pour nous rendre compte de la manière dont varie le moment moteur avec le nombre de tours du barillet.
Dans cette hypothèse, les formules (i3) se réduisent aux suivantes :
\ Aj = o.
La formule (12) ne donne un terme indépendant des imaginaires ou de sin et cos0 que si m est pair; et, en posant m = 2q, ce terme est
d'où
Le développement (la) ne renfermera des termes en e'* et e~'' qu'autant que m sera impair, et ces deux termes seront ceux du milieu. Supposons donc
et successivement p = q^ p = ? -t- 1 ; nous obtiendrons, pour Tensemble des deux termes ci-dessus,
OU, en faisant displaraître les exponeniielles au moyen des valeurs de sinô et cosô.
