III. ag
45o QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
l'angle dièdre mr de Tangle Irièdre formé par les droites m G, mp, mr est égal à a; el Ton a dans ce même angle trièdre
COSy = COSP COSa, d'où ep' = a'-+- p^
sin p = sin«p cosO ou p = ^ coâ 0 ; on tire de là
(3) P=«ï»cos9, a = YsinO.
Comme j est une petite fraction, nous pourrons négliger
le terme de Tordre des quantités -7-» f*
Soient 31t„ DïLj., Oïi, les moments, par rapport aux parallèles aux axes ox, oj*, oz, menées par le point m, du poids et de la force d'inertie du pendule; X, Y, Z les composantes des mêmes forces parallèles à ces axes.
Le moment, par rapport au point {x^x) de 1^ l^me oa, du poids et de l'inertie du pendule est
mais on peut négliger dans X la composante de la force d'inerlie qui est de l'ordre <p el supposer X = Mg*. La masse /x ne donnera aussi que le moment
car sa force d'inerlie est du second ordre en a et X. On a donc
avec les conditions j = o, -~ = o pour x = o. Si Ton néglige d'abord les termes en X, on a
el pour x = 'kf eu égard à la seconde des relations (3), EI>i=^'0R;„ EIa = EIysin0 = )^arO,;
DBS RÉGULÀTBUBS. 4^1
d*oii, par rélîmînation de dIV, au moyen de la seconde de ces dernières formules
et enfin
En portant ces valeurs dans Téquation (4)> nous ne ferons que nous conformer au mode d'approximation adopté et nous aurons
Elg = 3It..-Y(>-x) + ^[^'(M^,)-M>].
En intégrant successivement entre les limites ^=ro et a? = X, on trouve
,...(?. !^-e|i).»..iv,
Pour l'autre lame, nous aurons
dx
EI^=-^, + Z(^-x)~M^(Ç-z),
dz avec les conditions z = o, ;t- = o pour j; = o, et avec les va
dz leurs z = Ç, ^ = (3 pour j? = X. En opérant de la même manière que plus hauty on trouve
Des deux premières des équations (5) et (6) on tire
/El M^X u.^\ . ,A
.=:3Tl/5sin0--3TL'^cos0H- - (YsinÔ-hZcosÔ), — gg'>î8in0cosG = 3Tl'.cosÔH-3Tl/ySinÔ-+- - (YcosÔ — Zsine).
Cela posé, soient
mq la parallèle à ojr, menée par le point m;
mr^ la trace du plan vertical Gmp qui renferme Taxe du pendule, sur le plan qmr;
mq' la perpendiculaire en m au plan Gmp;
DÏLqfy DïLrf les moments par rapport à mq', mr' des forces d'inertie du pendule;
Y', Z' les composantes de ces forces suivant ces deux directions.
Le moment du poids du pendule par rapport à mq' étant — Mglc^, les formules ci-dessus deviennent
j fi|^8i„ecos9=31V^--Y'.
Si nous négligeons les termes en X et fi, les équations (7) deviennent
et sont les mêmes que si le pendule tournait librement autour du point m considéré comme fixe, en supposant que son
El
poids se trouve augmenté ^e =-t5 la suspension n'altère donc
pas l'isochronisme.des révolutions et l'on a pour la durée de chacune d'elles
\/«,Lf
d'où l'on déduit les mêmes conséquences que pour le pendule ordinaire. Les formules (5) et (6) donnent, au degré d'approximation convenu, par l'élimination de 3ÎL, et 311/^,
-ysmô, Ç= -cpcosô;
d'où l'on déduit facilement que la direction de la tige rencontre la verticale du point fixe en un point situé à la dis-
tance - de ce dernier^ et qui est par conséquent le centre
de gravité du système des quatre lames.
Nous nous arrêterons à cette approximation; si Ton voulait la pousser plus loin il faudrait remplacer 31tj/, Olty, Y', Z' par leurs valeurs en fonction de 9 et 0, et de leurs dérivées premières et secondes par rapport au temps.
164. Modérateur à ailettes. — Nous ne ferons que mentionner le modérateur à ailettes, exclusivement employé dans les sonneries des chronomètres, et dont il a été question au n" 125. Comme nous l'avons déjà fait remarquer, ce régulateur offre l'inconvénient d'absorber un travail moteur considérable, comparativement au résultat que Ton veut obtenir, et d'acquérir une vitesse qui dépend de l'intensité de la force motrice; mais cet inconvénient n'est pas sérieux pour les sonneries qui ne fonctionnent en totalité, dans une journée, que pendant un temps très-restreint et pour lesquelles une grande régularité de mouvement n'est pas de première nécessité.
QUATRIÈMB PARTIE, — CHAPITRE Y.
