TRANSFORMATION D*ON MOUTEMENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC
Nous appellerons points morts intérieur et extérieur les positions de A sur OB et sur son prolongement.
Fig. 73,
Le centre instantané de rotation de AB se trouve évidemmeni au point de rencontre S de OA prolongé avec la perpendiculaire élevée en B sur 06. La vitesse du point A étant ci)R, la vitesse angulaire instantanée autour de S est
SA
ei la vitesse V du point B
SA
Si H est le point de rencontre de AB avec la perpendiculaire en 0 sur OB, cette expression devient, par la similitude des triangles AOH et OSB,
V=wOH.
On voit que la vitesse Y, nulle aux points morts, est égale à celle du bouton de la manivelle, lorsque cette dernière est perpendiculaire à la direction du mouvement rectiligne.
Théorie anal/tique. — Soit K la projection de A sur 06; on a
AK = Rsin9=:r Lsin/, III. 7
98 QDiTntn rinu. — cainni t.
d'où
sin/ = «sinO, cosi = y^i — i* sin*9 = 1 sîn'S h — r-r sin*Q -h —
Mais comme dans les applications e est égal à 7 , nous pourronSy avec une approximation bien suffisante, négliger devant Tunité les puissances de cette quantité supérieures à la troisième et écrire tout simplement
cos/ = 1 sin^ô.
Maintenant nous avons (i) OB := L 008/ — R cosô ^-- L
d'où
— R(co8Ô-h - sin'ôY
V=^ = «R (sin0--sin2ôV
Si le mouvement de rotation est sensiblement uniforme, 00 a
et
(A) V = wR f sinwï — - siiiawf !•
Dans ce cas, la vitesse moyenne est
W = - r''v^ = -a>R = o,637wR.
35. Excentrique circulaire. — Le noyau de cet excentrique est un disque circulaire, souvent évidé à Tintérieur pour en diminuer la masse^ monté normalement sur Tarbre, mais
Fig. 74.
dont le centre a (Jig, 67 et 78) ne se trouve pas sur l'axe de rotation 0. Un anneau {collier de Vexcentriqae) enveloppe à
TRANSFOIHATIOH I>'CN HOUTEMUIT CIRCULAIM CONTINU, BTG. 99
frottement doux le noyau et fait corps avec une tige ou un châssis triangulaire (la barre de l'excentrique) dont Textrémité b est articulée à la tige, guidée, en conséquence, de la pièce à mouvement alternatif.
Comme Oa, ab sont des longueurs constantes, on voit que l'excentrique joue le même rôle qu'une manivelle 0^ dont la bielle serait ab. On peut dire aussi que l'excentrique circulaire n'est autre chose qu'un système formé d'une bielle et d'une manivelle dans lequel le bouton aurait un diamètre supérieur à celui de l'arbre.
36. Manivelle et coulisse, — Lorsque l'on n'a que de faibles efforts à transmettre, on peut supprimer la bielle ; le bouton de la manivelle s'engage alors dans une pièce parallélépipédlque ou coulisseau {fig. yS), qui peut se mouvoir dans une
Fîg. 75.
coulisse normale à la direction du mouvement rectiligne et faisant corps avec la pièce à mouvement alternatif.
En conservant les notations du n** 3fc, on voit sans peine que la loi du mouvement rectiligne est donnée par la formule
V = wRsind.
37. Des excentriques en général. — Le système d'une bielle et de sa manivelle, et l'excentrique circulaire transforment un mouvement de rotation en un mouvement alternatif dont le
lOO QUATElftlB PARTIE. — CHAPITRE T.
rapport delà viiesse Y à la vitesse angulaire a> est une fonction déterminée de l'angle 6 que forme, à un instant quelconque, un rayon OA fixe dans l'arbre, avec la position 0A« qu'il occupe dans la direction du mouvement rectiligne, par exemple, de l'autre côté de l'arbre par rapport à la tige.
Mais il arrive souvent que l'on ait à effectuer la transformation de manière que la dislance à l'axe de la tète de la tige à mouvement alternatif soit une fonction donnée de l'angle 6 : I® soit pour une oscillation complète; 2® soit seulement pour une partie de l'oscillation, la fonction changeant de forme pour une partie suivante, et ainsi de suite. On monte alors, normalement sur l'arbre, une plaque à laquelle, par une certaine analogie, on a donné le nom d'excentrique, dont le pourtour, taillé d'une manière convenable, doit s'appuyer contre la tète de la tige. L'excentrique agit naturellement sur la tige pour l'éloigner de l'axe de rotation, ou pour produire son mouvement direct; mais, pour la conduire en sens inverse, il faut que la tige soit ramenée au contact par des ressorts disposés en conséquence. Dans certaines circonstances, on peut munir la tète de la tige d'un châssis enveloppant l'excentrique qui agit pour produire le mouvement rétrograde; nous indiquerons plus loin une disposition de cette nature.
Soit en 9 l'angle que forme un rayon déterminé OA de l'excentrique avec la direction du mouvement rétrograde; r=f{0^ la loi du mouvement rectiligne entre les valeurs ri, Ts de la distance r de la tète de la tige à Taxe de rotation; pour que le problème soit possible, il faut que les équations r,=/(6), r^z=:f{B) donnent pour 0 des valeurs réelles 0i, 02, ce que nous supposerons. La relation r^=f(9) sera l'équation polaire de l'arc d'excentrique rapporté à l'axe polaire OA et limité aux rayons vecteurs définis par les angles 0i et 03*
Supposons, par exemple, r= a0 -+- 6, a et 6 étant des constantes; la courbe sera une spirale d'Archimède, et le mouvement de translation sera uniforme si la vitesse angulaire
dS w = -T- est constante. On réalise le mouvement uniforme aldt
ternatif de la manière suivante.
TRANSFORMATIO!^ D UN UOUYBMENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. lOI
Soient {fig. 76) AB une droite passant par le centre de rotation 0; AMBy AM'B deux arcs symétriques par rapport à cette droite, à laquelle sont limitées des spirales représentées par réquation ci-dessus, OA étant Porigine des angles Q. Il est facile de voir que tous les diamètres, tels que MM', du contour AMBM' sont égaux à AB. Nous prendrons pour profil de
Flg. 76.
l'excentrique le contour ambm' intérieur et parallèle au précédent, tracé à la distance e. Sa tige à mouvement alternatif est interrompue par un châssis rectangulaire, de manière à pouvoir laisser passer l'arbre 0. Les milieux des côtés adjacents à la tige portent des galets G et G' de rayon e, dont la distance des axes est égale à AB. Il est clair que, lors du mouvement de Tarbre, les galets resteront en contact avec l'excentrique, que leurs centres décriront le contour AMBM', et que, par suite, le mouvement rectiligne sera uniforme.
On construirait un excentrique à mouvement uniformément varié en prenant r = ae^ -f- 69-i-c, a, A, c étant des constantes.
38. Des rainures. —-On peut résoudre le même problème que ci-dessus en montant sur l'arbre un plateau dont l'une des faces porte une roulette. Cette roulette pénètre dans une
102 QUATailOIB PARTIS. — CBAPITRB Y.
rainure pratiquée dans la pièce à mouvement alternatif. Les limites de la rainure doivent être évidemment déterminées par deux parallèles à la courbe décrite par le centre de la roulette, tracées à une distance d'une longueur égale au rayon de la roulette.
Soient (/g'. 77)
Fig. 77.
0 l'axe de rotation ;
R sa distance au centre m de la roulette ;
C un point déterminé de la pièce à mouvement alternatif si tué sur la parallèle Oy menée par le point 0 à la direction de ce mouvement;
Cx la perpendiculaire en C à O7-;
y=zClf x = ml les coordonnées du point m delà courbe mK que doit décrire le centre de la roulette pour que le mouvement de translation satisfasse à la condition donnée, définie par 0C=/(5), en désignant par 6 l'angle mOy.
On a
r=Rco8Ô— OC = Rco8Ô— /(Ô).
L'élimination de 0, entre ces deux équations, fera connaître la relation qui doit exister entre y et x, c'est-à-dire Téquation cherchée de la courbe mK.
Supposons maintenant que l'on connaisse la forme de la courbe définie par Téquation
et que Ton veuille trouver la loi du mouvement ou/(6). L'élimination de :f et j entre les équations (i) et (2) donne
/(ô) = Rcos6-F(Rsine).
TRANSFORHàTIOK B'im MOUYCHBirr aBCULÂlEB CONTINU, BTG. T03
En supposant x = coost., on retombe sur la transformation dan<>36.
39. Excentrique triangulaire, — L'organe dont nous allons indiquer le tracé a pour objet de transformer un mouvement de rotation continu en reciiligne alternatif intermittent.
La Jig. 78 représente une coupe faite dans le mécanisme par un plan perpendiculaire à Taxe.
Soient
01a trace de cet axe;
BOA la direction du mouTement rectiligne ;
ODE la trace de l'arbre ;
MNPQ un châssis rectangulaire dont deux côtés opposés MP et NQ sont parallèles à OA ; ce châssis, qui est censé réduit à son périmètre intérieur, laisse passer l'arbre et est fixé aux milieux A, D des côtés HN et PQ, aux deux parties de la tige à mouvement alternatif qui sont guidées en conséquence : sur la figure on suppose que le châssis a été amené tangentiell.ement au cercle ODE ;
AOB = EOD l'angle dont l'arbre doit tourner pendant l'intermittence.
Décrivons du point 0 comme centre, avec un rayon égal à OA, l'arc de cercle AB limité à OA et OB.
I04 QUATXlkMK PaKTIB. -- CEIPIT» T.
De l'intersection C de OA avec la perpendiculaire menée au milieu de la droite qui joint les points D et B nous décrirons un arc de cercle limité en D et B. Nous tracerons de la même manière, de l'autre côté de AD, l'arc de cercle A£ qui complète le proQI de l'excentrique.
La rotation étant censée avoir lieu de la gauche vers la droite, supposons que l'excentrique soit arrivé en A'B'D'E', le pointe étant venu se placer en Cet le châssis enM'N'P'Q'. Soient m le pied de la perpendiculaire abaissée de C'sur VQ': T l'intersection de la direction de OA avec la parallèle en m à OC; m sera le point de conuct de F Q' avec le côté B'D' de l'excentrique. Mais comme on a OT=Cfn, mT=:OC', le point T est fixe et est le centre d'une circonférence sur laquelle reste constamment le point de contact m, dont la vitesse est par suite la même que celle de C; le mouvement oscillatoire du châssis pendant toute la durée de l'action de B'D' n'est donc autre chose que celui de la projection
Fig. 79-
d'un mouvement circulaire sur un diamètre. L'intermittence commence au moment où B vient en contact avec PQ, et
TRAKSFOHHATlOIt d'cH VOUVBIBKT CIBCI'LIIBS COKTIND, ETC. Io5
se termine à l'inslanioù A touche le même cdté; puis la seconde oscillation a lieti par suite de la pression exercée par AË sur MN.
\Afig. 79 représente la réalisation du tracé précédent.
Les cames et pilons, dont nous parlerons dans une autre Chapitre, donnent un autre exemple de la transformation dont nous venons de nous occuper.
iO. Machines oscillantes. — Certains bateaux sont munis de machines à cylindre oscillant, disposition qui n'est justifiée que par l'exiguïté de l'emplacement dont on dispose.
Le cylindre est supporté par deux tourillons horizontaux de même axe {fig- 80) s'engageant dans des coussinets. La tige du piston s'articule directement avec la manivelle, dont l'axe horizontal de rotation est compris dans le même plan vertical que celui des tourillons. On voit immédiatement que
ng. 80.
Fil- t
I le cylindre doit être animé d'un mouvement circulaire alter- I natif, et qu'une oscillation complète correspond à une révolution de l'arbre.
Soient [Jig. 81), en projection sur un plan perpendiculaire
lo6 QUATlIftMB PART». — CHÀmHB T.
aux deux axes> en réduisant les pièces à leurs lignes de symétrie, i
0, 0' les axes de rotation de Tarbre et du cylindre ; OA = R le rayon de la manivelle ; 0 l'angle qu'il forme avec 00' ;
a la distance 00' ;
X la longueur variable AO';
dûT V = ^ ia vitesse relative da piston dans le cylindre.
Théorie géométrique* — La tige du piston étant assujettie à passer constamment par le point 0\ son centre instantané se trouve à l'intersection S de OA prolongé avec la perpendiculaire en 0' à 0' A. Si donc on appelle g»' la vitesse angulaire de 0' A autour de S^ on a
«'xSA=«xOA; d'où, en abaissant la perpendiculaire 01 sur 0' A,
Cette rotation peut être considérée comme résultant d'une rotation égale autour de 0'> qui sera la vitesse angulaire du cylindre, et d'une translation
w'xSO' ou V=:»xOI, qui sera la vitesse relative du piston dans le cylindre. Théorie analytique, — Le triangle AOA' donne
d'où^ en développant en série, - /~i — «if gR coaQ q'R* cos'Q a»R» cos*e l
mais, comme on prend toujours R au-dessous de 7, on peut
TRàlfSFORMATIOlf b'OK MOinrElIBIfT CIBG0LAIRS (XNfTINUy ETC. 107
s'en tenir aux trois premiers termes du développement et
écrire
d'où
V = -r = « . I smG -h rzi — s»* I •
En négligeant le carré de - y on a tout simplement
y = cûR 1 smô I
Si Ton désigne par ^ l'angle AO'O ou l'obliquité de la tige du piston» on a
R8ind= :rsinp,
d'où
. û Rsînô / flR .\
Le rapport . est généralement assez petit pour qu'on
sa} -f- H»
puisse prendre
cosp = i—
io8
QUÀTRlfiMB PARTIE. — CHAPITRE VI.
