CHAPITRE VII
TRANSFORMATION D'UN MOUVEMENT KECTIUGNE ALTEBNATU EN CIRCULAIRE ALTERNATIF.
55. Sfitème du balancier et du parallélogramme de Watt — La disposition dont nous allons nous occuper {Jîg. 98] ■ pour objet de transmettre au balancier le mouvement alter
natif du piston dans certaines machines à vapeur, notammen celles dites de ffatt, de Cornwal et de Woolf. Soient (/g. 98)
OA. l'axe de flgure du balancier dans sa position horizontale 0 la projection de l'axe horizontal de rotation sur le plai
vertical passant par OA,; OAi, OAi les positions extrêmes de l'axe du balancier, symé
triquement placées par rapport à O'A,;
TlinSF01MA.TI0N d'uN HOCTEMBNT BBCTIUfiRE ALTBINATIF, ETC. l4S
77' la verticale suivant laquelle doit se mouvoir la tige du piston.
On s'arrange de manière que la droite ^' passe à égale distance du point A, et de la corde Ai Ai de l'arc total décrit par l'extrémité du balancier. La tige du piston est reliée, par une articulation, au sommet B, d'un parallélogramme à sommets articulés, formé par les trois tiges A,B„ B.C„ CD, et par l'ase
fie- 99-
de figure OA, du balancier, et dont A,B,C,D,, A,B,C,D, sont les positions extrêmes et ABCD une position quelconque. On voit facilement que A, A, = B, 6, est la course du piston. Le sommet B étant assujetti à parcourir la droite ^', la ligure du parallélogramme est à chaque instant complètement déterminée, et le point C décrit une courbe qu'il est facile de construire par points. L'épure montre que cette courbe diffère peu d'un cercle passant par les trois points d, C„ Ci et qui, en vertu de l'égalité des trapèzes B, Bi Ci Ci, B, B,CiCi, a son
l46 QUATRIËMB PARTIE. — CHAPITRE YII.
centre situé à un certain point 0' de l'horizontale BoGo. Si Ton admet, pour un instant^ que ces deux lignes se confondent, il suffira, pour assurer le mouvement rectiligne du point B, d'assujettir le point G à se mouvoir sur le cercle CoCiCa, ce qu'on réalisera au moyen d'une tige ou contre-balancier 0' G, articulée d'une part à ce dernier point et de l'autre au centre 0', supposé fixe, du cercle ci-dessus; mais, comme ce cercle ne se confond pas rigoureusement avec la courbe qui serait tracée par le point G, le point B ne décrit pas exactement la droite xx'f mais une courbe très-allongée, dite à longue inflexion, qui diffère très-peu de la verticale, comme nous le reconnaîtrons plus loin, ce qui par cela même ne donne lieu à aucun inconvénient sérieux dans la pratique.
Théorie géométrique. — On peut construire très-facilement par points la courbe à longue inflexion, en remarquant que, si Ton mène la parallèle OH à GD jusqu'à sa rencontre H avec BG prolongé, le point H, situé à une distance constante de G, se meut constamment sur la circonférence décrite du point 0 comme centre avec un rayon égal à GD. Les extrémités de l'arc qu'il parcourt sont les points d'intersection H, et H, de cette circonférence avec les directions BoGo et BiG, ou B2G2, le second de ces points se trouvant évidemment sur la direction de BqGo. On voit ainsi que la courbe décrite par le point B fait partie du lieu géométrique engendré par un point déterminé d'une droite dont deux autres points C et H s'ap^ puient constamment sur deux circonférences données.
On aura donc autant de points que l'on voudra de cette courbe en marquant trois points 6, c, h sur l'arête d'une bande de papier, tels que l'on ait bc = BG, ck = GH, puis en faisant mouvoir cette bande sur la figure de manière que les points h et c restent constamment sur les arcs respectifs Ht H3, Gi G2; les positions successives que prendra le point b appartiendront à la courbe à longue inflexion.
Le centre instantané S de la droite BH se trouve évidemment au point d'intersection des directions des droites O' C et OH, et l'on obtient géométriquement la normale, au point B, de la courbe à longue inflexion, en menant la droite BS.
TRANSFOEHATION d'uN MOUTSMBNT REGTILIGNS ALTERNATIF^ ETC. iJ^']
Le centre instantané T de CD est, de même, le point de rencontre de O'CetOA,
Cela posé, cherchons à déterminer la vitesse angulaire o>> du balancier, connaissant la vitesse Y du piston ou du point B.
La vitesse angulaire instantanée autour du point S étant
V se
^^9 la vitesse du point C est V ^=ï et la vitesse angulaire
se on
instantanée autour de T, V ^^' ^^ ou V gjTTgg» en raison du parallélisme des droites CD et OS. On déduit de là,
pour la vitesse du point D, V ^jr» et pour la vitesse angulaire autour du point 0,
« = ^, d'où V = «SB,
résultat très-simple qu'il est facile de traduire en langage ordinaire.
La droite qui joint les points 0 et B rencontre le côté CD en un point J, fîxe sur ce côté pour tous les déplacements du balancier, qui décrit une courbe semblable à celle du point B et semblablement placée, et qui par conséquent se confond sensiblement avec la verticale. Cela résulte de ce que, les triangles ABO, DJO étant semblables, DJ est constant, et que OJ est proportionnel à OB. Le parallélogramme permet donc au balancier d'imprimer un mouvement vertical à une tige articulée au point J de CD, dont la vitesse est à Y dans le rapport de OJ à OB.^ Cette tige sert ordinairement à mettre en jeu la pompe du condenseur dite à air, dans les machines de Watt, et le piston de la détente des machines de Woolf.
Théorie analytique. — Prenons le point Bo pour origine des coordonnées et les directions respectives de BoO'eideBoj pour axes des x et j.
Soient
X et y les coordonnées du point B ; L = OA la longueur du balancier; r=0'C celle du contre-balancier; r , / les longueurs des côtés AB, BC ;
l48 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE TH.
9, 4^, (p' les angles qui forment respectivement O'C avec O^Ct,
BHavec H.Bo, OH avec H, H,; I la projection du point 0 sur la direction de B»Co; b = B«I, c = 01 les coordonnées de ce point prises en valeur
absolue; d l'angle A, OA,;
h la demi-course du pislon ou -^ — -*
On a
. * h sino = -•
En projetant les lignes brisées O'CB, BHOI sur Thorizontale et la verticale, on trouve les relations
r —^ l — X — rcos<p— /cos^|/, j= rsin^H- /8iIl^|/,
x-^- b = Lcos^|/ — r'cosîp', x= Lsinrp — r'siny' -k-c\
d'où, par l'élimination de cp et de 9',
-i- L^ — 2L^cos^I/— aLcsin"»!/-*- /y*-f- c'= r'*.
Ces deux équations doivent être satisfaites par x :=i o, jmo, ce qui a lieu identiquement pour la première; mais, pour qu'il en soit de même pour la seconde, il faut que
(I) (L-^)'=/^^-cS
ce qui d'ailleurs est visible sur la figure. Les mêmes équations peuvent se mettre sous la forme
y^ -^ r'~ a/jsinip — ax (r— a/sin - ) — 4 ('* — 0 ^sin^ - — o, ^-f- j:'— 2/(c -h Lsin^l') -»- aLcsin} h- 4L6sin' - = o.
Pour que ces équations soient vérifiées par x = o, yz=z±Ls\x\à, 4^ =±0, il faut que l'on ait
JL
TRANSFORMATION d'oN XOUTBIIBNT RBGTILIGNB ALTERNATIF, ETC. l49
d'où
/*-f-L(L-a/)cos»-
el
(3) fc=Lcos^^;
d'où, en vertu de la formule (i).
'=Uc'-V%m'^-
La figure conduit directement d'ailleurs, sans difficulté^ aux valeurs ((3) et (y) de rel r'.
En portant ces valeurs dans les équations (a), on obtient les suivantes :
fjkjp r 0 "1
-- a/^sini]/ — j- /'cos>I/ -h L(L— 2/)co8'-
— 4L(L — a/) cos'-sin*- -^o,
y*-+-x'-t-2Lj:( ces' cos^|/ j — 2 J ( c H- L sin^I/)
4- 2 Le sin ^|/ -+- 4 L* ces' - sin' - = 0 , d'où, par soustraction,
y (L— /) ( Lcos' Icos'^ ) -hLcsin\p -f- 4 Lcos' - sin' - (L~ /)
c -H (L — /) sinij'
Nous allons maintenant supposer que x est suffisamment peiit pour que Ton puisse en négliger les puissances supérieures à la première ainsi que les produits de cette variable par des termes de l'ordre des angles ^ et d, qui sont généralement pelits.
£n mettant en évidence le carré de j— /sin 4* dans la première des équations {d), les calculs résultant de la substitution de la valeur (e) de / ije sont pas très-compliqués et Ton
l5o QUiLTRIÈMB PARTIE. — CHAPITRE YII.
arrive au résultat suivant :
On voit ainsi que l'écart a: est du quatrième ordre, tandis qu'il serait du second ordre si la tige du piston était directement
articulée au balancier. Comme - est nul pour ^ = o, la
courbe à longue inflexion est tangente à B«r«
L'expression précédente peut approximativement se mettre
sous la forme
Son maximum par rapport à y correspond à très-peu près à ^^= — et a pour valeur
mais nous prendrons tout simplement
64 (L — iy ^ ' '
en nous arrêtant aux termes du quatrième ordre. Si 7= ~5 c'est-à-dire si l'articulation C est au milieu du
balancier^ le mouvement rectiligne sera assuré aux termes du cinquième ordre près.
Le maximum de x' par rapport à / correspond à /= ^ et a pour valeur
et il n'est ainsi que la fraction ^ de ce qu'il serait si la tige
du piston était articulée directement au balancier. Si, par exemple, 0 = 7, cette fraption est inférieure à t»Vî-
TRAKSFORMATIOH d'UN ■ODTBKBirt RBGTILIGNI ALTERHATIP, STC. iSl
L'expression (e) peut msinienant, aux termes du quatrième ordre près, se réduire à la suivante :
L<^sin4.-*-4L(L- l)sm''^ ''' ^^ cH-(L-/)Bin-i.
d'où, pour la vitesse du piston.
= Lsin4.ri+ (î^'ysiii'4.1;
(6) V = J=^L[, + ^(tz-jysi„^]cos4+.
56. Observation. — Pour appliquer le système de Watt aux machines des bateaux, il est nécessaire de restreindre autant que possible l'espace occupé par le mécanisme. C'est pourquoi {fig. loo) on place le balancier au-dessous de la lîge en fixant l'axe de l'articulation du contre-balancier sur le cylindre.
On peut supprimer (Jig. loi ) le parallélogramme, en articulant les extrémités A et C du balancier et du contre-balancier à une tringle, en un point I de laquelle on articule la tige du
QUATRliniB PARTIS. — CHAPITRE VU.
piston. On reconnaît, en effet, en se reportant à 1r théorie géométrique donnée plus haut, que la courbe décrite par le point I appartient à la catégorie des courbes à longue inflexion.
Fig. loi.
57. Système articulé de M. Peaucellier. — La disposition suivante permet d'opérer rigoureusement la transformation dont nous nous occupons.
Fig. 103.
Deux tiges égales [fig. 102) OÂ, OB partent de Taxe de rotation 0; une seule, OA par exemple, fait corps avec l'arbre. De chacune de leurs extrémités partent deux tringles égales de
TRANSFORMATION d'uN MOUTBllEIfT RBCTILIGNE ALTERNATIF, BTG. l53
manière à former un losange articulé ÂCBD. Le sommet C le plus voisin du point 0 est articulé à un contre-balancier O'C qui l'oblige à resler sur un cercle passant par le point 0'. Le sommet opposé D, auquel on articule la tige du piston, décrit, lorsque l'arbre tourne, une droite DE perpendiculaire à 00'. En effet, si l'on remarque que les points 0, C, D sont en ligne droite, et que C et D se trouvent sur un cercle ayant A pour centre, on a
OC.OD = ÔÂ'-Âc'.
mais, si F est le second point d'intersection de la direction de 00' avec le cercle décrit par le sommet C, les triangles semblables OCF, ODE donnent
OC.OD = OF.OE; d'où, en vertu de la relation précédente,
OE = — gp = const.,
ce qu'il fallait démontrer. Il parait à peu près impossible d'établir explicitement la relation qui existe entre la vitesse de la tige et la vitesse angulaire de OÂ ou OB.
QUATRIÈME PART». — CHAPITKB Tlir.
