C>— II
TRANSFORMATION d'uN XOUYBHBNT GIEGULAIRB CONTINU, ETC. 1 15
Cette condition étant supposée remplie, noas aurons simplement
OE = /-hr( — sinan — cosa j3in(7+a) ^oosacos(f-t-a)
(^^ ' --^[{c-h«)sin'ç-h(r-«)8in»(<p-+-a)]
ac' /
C0S'aCOS*(«-ha),
expression dont la dérivée par rapport au temps est la vitesse de la tige.
On reconnaît sans peine qu'il suffit do changer le signe de c pour que cette formule s'applique au cas où les barres sont croisées.
44. Disposition la plus com^enable pour le système de relevage. — On devra adopter la disposition qui réduira à son minimum l'influence du relevage sur la valeur de u^ ou qui limitera autant que possible le mouvement oscillatoire du point E de la coulisse de part et d'autre de l'horizontale , quelle que soit la position du levier de commande.
On arriverait à ce résultat en s'imposant la condition que le point d'articulation de la coulisse et de la bielle de relevage se meuve sur un arc de cercle, dont la corde soit parallèle à OE pour toutes les positions de la coulisse. En nous plaçant à ce point de vue, nous allons étudier successivement les deux modes de suspension qui sont le plus généralement adoptés.
I® La bielle de relevage est articulée à l'extrémité inférieure de la coulisse, — Proposons-nous de déterminer la nature du lieu géométrique sur lequel devrait se trouver le point C pour que la bielle de suspension fût verticale dans chacune de ces positions moyennes.
Soient aret/les coordonnées du point C; /'=CD la longueur de la bielle de suspension ; on a
x = Ob—bb'= Ob -^20 sine,
^=/'-B'*' = /'-(c-htf)cos6,
Il6 QUATRIÈMB PARTIE. — CHÀPITBB VI.
expressions dans lesquelles il faudra remplacer 06, 2c sine, (c -f- m) cose par les moyennes de leurs valeurs pour ç=9o*»-+-a, 9 = 270*» -h a.
En se reportant aux équations (i) et (2), on trouve facilement
d'où, par Télimination de u et en négligeant devant l'unité la
I r' petite fraction — ^cos'a,
équation d'une parabole dont l'axe est horizontal et dont les coordonnées du sommet sont x=^l, j= /'— 2c, et le paramètre 2/. Au point de vue pratique, on devrait donc placer le point F au centre de courbure au sommet de la parabole, distant, comme on le sait, de ce sommet de la distyice /; mais en général on prend FC plus petit que celte longueur, ce qui introduit dans l'expression de 0£ des termes d'une certaine importance dont on reconnaît l'influence fâcheuse dans certaines distributions de machines à vapeur.
2** La bielle de relevage est articulée au milieu de la corde à la coulisse.
Dans ce cas, on a
:c=06 — csin*, /=/' — aco8«, d'où
L'élimination de u donne encore l'équalion d'une parabole à axe horizontal dont le paramètre est 2/, et dont les coordonnées du sommet sont
Les observations faites plus haut relativement à la détermination du point F s'appliquent ici.
TIAIfSPOUàTlOH D OH lODTBKBHT CIlCULltU COHTIHO, STC. 1 1 7
h5. Du mode de sutpension de M. de Landsée. — Dans celte disposition la bielle de relevage est représentée par un parallélogramme GG'G'G" {^g. 85 et 86) dont deux côtés
Fig. 85.
opposés peuvent se déplacer autour de deux axes horizontaux F, F' compris dans le même plan vertical, et dont les rrg. 86.
deux autres côlés GG", G' G* restent par suite verticaux. Le levier FK permet d'opérer à volonté la déformation du parallélogramme.
Le milieu I de la coulisse est muni d'un boulon qui s'engage dans une glissière horizontale Qxée au cAté GG'. En G" se trouve un contre-poids Q.
L'ordonnée verticale du point I étant constante, on a, en la désignant par u„
acoaf = Kri- — C08'acos'(ï' + ft)l=tt„ d'où
K = «,] n iC08'ac(»'(T-i-a) ■
ii8
QUATRIÈMB PARTIS. — CHAPITRE YI.
§ II. — Coulisse renversée ou de Gooch.
46. Celte coulisse BB' (yîg*. 87 ei 88) est, comme celle de Stephenscn, articulée à deux barres d'excentrique égales A6, A'B^ ouvertes ou croisées, mais elle oppose sa convexité à Taxe de rotation 0. Le milieu I de sa corde est articulé à une bielle IL mobile autour de Taxe L, et qui est disposée de telle manière, comme nous le verrons plus loin, que Tare décrit par le point I pour une révolution puisse être considéré comme se confondant avec la direction OIE du mouvement alternatif.
La tige qui est animée de ce mouvement est articulée en E à une bielle EH, dont Tautre extrémité H est munie d*un cou-
Fig. 87.
lisseau qui s'engage dans la coulisse. On peut faire varier à volonté sur la coulisse la position du coulisseau H au moyen
TRANSFORMATION D UN MOUTBIOENT GIRGULAIU CONTINU, ETC. 1 19
du levier coudé KFC, mobile aulour de F, de la bielle CD articulée en C et D, à KF et HE, et d'un levier de commande ou d une vis sans fin, comme pour la coulisse Stephenson.
Fig. 88.
La théorie géométrique de la coulisse renversée est la même que celle de la coulisse droite, et son centre instantané se trouve au point de rencontre de LI avec la droite qui joint le point 0 à l'intersection des directions de ÂB, A'B\
Occupons-nous maintenant de la théorie analytique.
47. Nous ne considérerons que le cas des barres ouvertes, celui des barres croisées s'en déduisant en changeant c en — c dans les formules que nous allons établir.
Pour obtenir la valeur du sinus de l'angle d'inclinaison e de la cordQ BB' sur la verticale et celle de 01, il suffit évidemment de supposer u = o dans les formules (2) et (3) du n° 43, ce qui donne, en conservant les mêmes notations,
(1) sin8 = (cosa-h - sinaj cos((ï)-4- a)H-— j[8in'(f-+-a)— sin*ç],
OI = r f — sina-H- - cosaj 8in((ï>-t-a) 7 "*~ ^"" 77 [sin'?-+-sin*(<}>-f-2a)]
- -jC0S*aC08*(<}>-ha).
120 QCàTRIÈMB partie. — GHÀPITRB YI.
Soient maintenant
J l'intersection de la bielle HE avec la corde BB' ; A, j les projections des points H et J sur OE; HE = /' la longueur de la bielle de traction HE; F Tiniersection de la coulisse avec OE; u la distance IJ.
Nous aurons
OE = 0I-+- lA H- AE = 01 -h Ij-hj-t- hE.
Or on a Ijr = Msin6, et comme l'obliquité de la bielle HE sur OE est toujours très-faible, on peut prendre
Iy = HJ =
et
(3) AE = VHÊ-HÂ^=/'(i-i«^) = r(x-iJ,)
Il vient par suite
j OE = r f — sina -h - cosa J sin (y H- a)
(cosa-f- -. sina j cos(y-f- a) -t- /-h/'
î "^7 7 COS'aCOS*(yH- a).
Pour que la moyenne des valeurs de OE, pour 9 = 90° -h a et 9 = 270*» -+- X, soit indépendante de la position de la coulisse, comme dans la coulisse de Stephenson, il faut que le coefficient du terme en u' soit nul ou que
Donc :
Le rayon de la coulisse doit être égal à la longueur de la bielle de traction.
TRÀRSFOMATION d'oIT HOUYEHfiRT CIRCULAm CONTINU, ETC. 121
La formule (4) se réduit ainsi à la suivante :
OE = r ( — 8ina+ ^ cosa J 8in(ç-ha)
(cosa-h y sina) cosff-ha)
(5){ '^ / ; Vf j
-+-/-+- ^' — -7—} [(^ -^ «) "siii*? + (c — a) 8in'(f -h aa)]
I H H 7 COS'a C08*(ç -ha).
Bes essais faits sur des modèles ont prouvé que la disposition la plus convenable consiste à placer le point de suspension comme nous l'avons supposé, c'est-à-dire au milieu I de sa corde, et que, s'il se trouve en avant ou en arrière de ce point, il se produit dans le mouvement de la coulisse des irrégularités déterminant des vibrations assez fortes sur le coulisseau H, irrégularités qui sont presque insensibles quand la suspension est en I.
L'analjse doit pouvoir conduire à ce résultat, mais il faudrait passer par des calculs trop compliqués pour que nous, essayions de les aborder. *
Pour que l'arc de cercle décrit par le milieu de la coulisse se confonde très-sensiblement avec la direction de OE, il faut que IsT bielle de suspension LI soit suffisamment longue, et qu'elle soit verticale pour la moyenne position de I; l'abscisse de L ou la moyenne des valeurs de 01, pour 9 = 90" -4- a, 0 = 270** -4- a, est ainsi
01 = / > 7 COSa,
'Ai a /
OU approximativement
ou encore est égale à la longueur des barres d'excentrique diminuée de la flèche de la coulisse.
48. On réduira, autant que possible, l'influence de la suspension sur la valeur de u, en s'arrangeant de manière que le
122 QUàTRIËXI PàRTIB. — GHAriTU YI.
mouvement vertical du point D soit très«faible; on satisfera cette condition en prenant CF suffisamment grand et en faisd en sorte que la corde de l'arc de cercle décrit par ce point sa
DE
horizontale. Soient i le rapport rri?» l" la longueur CD, d I
projection du point D sur OE. Nous avons
Od = OE^Ed et, à très-peu près,
Dd=Uk^=ui,
Ed= Vde' - Dd = i/r^^=z i (r -^Ç)'
Il vient donc pour l'abscisse x du point C, en prenant I moyenne valeur de OE fournie par l'équation (5),
l'ordonnée du même point C est approximativement
r—l"-+'Dd=r-hiu.
En éliminant u entre ces deux équations, on obtiei}t cell d'une parabole du second degré dont le paramètre est 2/', pî rabole qui, dans sa partie utile, devrait être remplacée par u arc de cercle de rayon /', tandis que dans la pratique on donn à CF une longueur inférieure à celle de ce rayon.
§ III. — De quelques autres coulisses.
k9. Coulisse d'Jllan. — Supprimons tout le dispositif reh tif à la suspension de la coulisse de Gooch, que nous suppc serons droite; nous obtiendrons la coulisse d'ÂUan (Jig»i et 90), en supposant que son milieu I soit articulé à une ti^ LI articulée, d'autre part, en L au prolongement FL du levii FC de la tige de suspension de la bielle de traction HE.
Au moyen du levier CL on pourra à volonté, dans certaine
TUngrOIIATlOR B UK ■ODTUBRT ClKCUUUl COHTINU, BTC. Hi
jlitniies. Taire varier simul Urne ment les positions de la coalisse eide la barre de traction.
La théorie géométrique de celte coulisse est la même que pour les deux précédentes.
SO. Occupons-nous maintenant de sa théorie analj'tique en
Itl4 QUATRltHB PARTIE. — GRAPITEB VI.
laissant de côté la suspension et conservant autant que po| sible les notations adoptées jusqu'à présent. Soient
J l'intersection de la coulisse avec rhorizontale OE; 6, A, d les projections horizontales de B, H, D ; ii = HI, m' = IJ, 11*'= HJ.
On a
La distance OJ sera donnée par la formule (3) du n** &.3, e y remplaçant u par u', ce qui donne
OJ
r c^ — «'* "I ru' = r — sinaH — cosa 8iii(7 -+-a) j- cosacos{^ h- a)
c» ^ tt" . r*
J7- -^ ^ - 4^7 [(^ -^ "') sin'f ^- (^ - «') sin'lf -+- a a)
nous avons, d'autre part, d'après la figure et la formule (i) di numéro précité, en y remplaçant u par u'f
Jk = tt'sihf
/•tf* / c \ u' u" V r == — (coBa-j- jSina jCOS(y-+-a)H j- i COSasin (f -+- a)
-h— ;y-J{ [sin'(ç4-aa) — sin^<p] cos'aco8'(y-Ha)|;
enfin, d'après la formule (4) du n® 47, en y remplaçant u par u"
AE
On a donc tous les éléments voulus pour obtenir
OE = OJ-i- JAh-AE, et l'on trouve, réductions faites, en éliminant de plus u'' ai
TRANSFORMATION d'oN MOUYBMSNT CIRCULAIRE CONTINU, BTG. 125
moyen de l'équalion (i).
OE
— Sina H j-^ COSa J 8in(f -+- a)
ruV ' c{h — u').'\ , , COSa H i — ' sma 1 cos(y -t- a)
— -7—1 [[c -H ajsin'cp H-(c — a)sm*(f -f-aa)]
— jj [c* — a'(tt'-i-aa)]cos*acos'(y + a).
Pour que la moyenne valeur de OE, pour 9 = 90*» + a et (p = 270'* + oL, soit indépendante de u et k', variables qui sont d'ailleurs fonctions Tune de l'autre, il faut que
Cherchons maintenant à exprimer u en fonction de u' pour la position moyenne des excentriques.
En menant DM parallèle à BB', on a
Supposons que les tiges de suspension LI et CD soient égales entre elles, et soit l' le rapport des bras de levier LF et FC. Quand I et H coïncident sur OE, le levier LC est horizontal et les tiges de suspension verticales. Si l'on fait tourner le levier LC autour de F» le centre instantané de BB' se trouve sur OE, ceux de LI et CD sont à l'infini et celui de HE est en E; d'où il suit que les déplacement^ élémentaires de I et L sont égaux et verticaux et qu'il en est de même de ceux de C et D, et enfin que les ordonnées de I et D sont proportionnelles à LF et FC; de sorte que, en prenant D(/ = DM, on a
TF
DM = «' ^ = «•'«',
ia6 QUATRIËMB PARnS. — CHAPITRE TI.
lU
Si l'on porte cette valeur dans Téquation de condition (3 ), on trouve
(5) i^yj'^r
relation à laquelle on devra satisfaire. En posant maintenant, pour abréger, y = -: -,^ nous au-
rons u! =:yu^ et la valeur (a) deviendra
OE = r ( — sinaH j—cosolx sin{f -f-a)
I cosan i— - — ^8ina jcos(<p-ha) 4- /-h/'
— j f (c -t- tt) sin'f -f- (c — z«)sin'((p-h2a)]
%cU
COs'aCOS*(<j>-ha).
Quant a^ système de relevage, on ne peut que recommander de donner aux tiges de suspension d'aussi grandes longueurs que possible.
51. Coulisse de Finck. — Dans cette disposition (yîg*. 9* et 92), la coulisse circulaire HB est fixée normalement à la barre AB d'un excentrique OA articulé en G à une tige LG mobile autour du point L. La tige oscillante, mobile suivant OE, est articulée en E à une bielle EH dont l'autre extrémité H, munie d'un coullsseau, s'engage dans la coulisse.
On peut faire varier à volonté la position du coullsseau dans la coulisse, au moyen d'un système de relevage FCD dont F est l'axe de rotation, CD une tige articulée à la bielle et au levier CF comme dans les deux coulisses précédentes.
En prenant la tige GL suffisamment longue et déterminant le point L de manière que GL soit vertical pour la moyenne
trànsforhation d'un moutskent girgdlàieb continu, etc. 127
des positions de la barre d'excentrique correspondant à 9 =: o et (p = i8o«y le point 6 décrira un arc de cercle qui se coh-
Fig. 91.
fondra tres-sensiblement avec OE, de la même manière que si G était guidé par une glissière, comme nous le supposerons dans ce qui suit.
Soient
P nnclinaison de AG sur GO;
A, A' les projections du point H sur les directions de OE et AB ;
r=OA, a=:AG, 6 = GB, /' = HE;
p le rayon de la coulisse ;
x = Bh', j = HA', M=HA.
Fig. 93.
Nous supposerons, sauf à déterminer ultérieurement à
128 QUATEltHB PÀlTIB. — CHAPITRE TI.
quelle condition il doit satisfaire pour qu'il en soit ainsi, que le 'mode de suspension est tel que u reste à peu près indépendant de f • Nous aurons d'abord
(i) sinpî=^8iny.
r u Nous admettrons que - et j sont d'assez petites fractions pour
que l'on puisse écrire
cosp = i =1 i sin'f,
Cela posé, on a évidemment,
(3) OE = — r cosf -^[a-hb-^-x) cosp n-jsin P -h /' — -^ • En projetant la ligne brisée G A'H sur la verticale, on trouve
tt = jcosp — (a:H- ^) sinp
ou, comme la flèche de la coulisse est toujours très-petite,
, ,. 1/ -+- 6 sin S
D'autre part, on a
(5) x-^ ^ (//-H^sinpr
^ ' ap apcos'P
En portant les valeurs (4) et (5) dans l'équation ( 3] et ayant égard au degré d'approximation adopté, on trouve, réductions faites.
lâ
0E=: fl-f-ô-h/'— rc08f-ha ( i-t- - j -sinf H ( yA
TRANSFORMATION 1) UN MOUYRMENT CIRCULAIRE CONTINU, BTG. 129
Pour que la moyenne valeur de OE, pour <p = o et <p = i8o®, soil indépendante de u^ il faut que
et Ton a par suite
sin<p
OE = a -h b -i- l' — r C0S9 -i- u { !-{ — ) - -^ i [ b — a-^ ) -, sin'flp.
La longueur u ne variera pas sensiblement avec 9 pour une
position déterminée du point C, si le point D décrit un arc de
cercle dont la corde soit horizontale; mais alors C se trouvera
sur un lieu géométrique dont il convient de déterminer la
nature.
DE L'abscisse du point D est, en appelant 1 le rapport -rrrri
Or/ = OE — r/E = OE - iJiE
= a-h b-i- l' — rcos9-hu ( i-f- - ) - sinç
dont la moyenne valeur entre 9 = o et © = 180®,
sera Tabscisse du point C. Son ordonnée sera, en posant CD =: r,
d*oiiy par l'élimination de u,
équation d'une parabole dont l'axe est horizontal, dont le paramètre est 2/'/ et dont les coordonnées du sommet sont
Cette parabole pourrait être remplacée dans sa partie utile m. 0
l3o QUÀTBIÈMB PARTIE. — CHAPITRE VI.
par un arc de cercle de rayon l'i; mais, dans la pratique, on prend CF inférieur à la longueur de ce rayon.
52. Coulisse d' Heusinger de ff^aldegg. —Celle coulisse BH (Jig, 93 el 94), dont la concavité se trouve du côté de Taxe 0, est mobile autour de son milieu I, tandis que son extré-
mité inférieure B est articulée à celle de la barre BA d'un excentrique OA ; OA' est une manivelle perpendiculaire à OA,
Fig. 94.
et A' B' sa bielle; l'extrémité B' de cette bielle est assujettie à parcourir une glissière horizontale dont la direction passe par
TRANSFORMATION d'uN MOUYBMBNT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. l3l
le point 0. La lige verticale B'D est fixée invariablement à la petite tête B' de la bielle A'B'; DK est une autre tige articulée en D à B'D et à une troisième tige KH terminée en H par un coulisseau qui s^engage dans la coulisse. On peut rapprocher ou éloigner à volonté H de I au moyen d'un système de relevage identique à ceux des trois dernières coulisses que nous avons étudiées. Sur le prolongement, au delà de K, de DKy se trouve Tarticulaiion E de la tige oscillante dont le mouvement horizontal est guidé en conséquence.
Si nous supposons que, pour la position moyenne de la coulisse, dont la flèche est d'ailleurs supposée très-faible, la tangente en I soit verticale, toute corde partant du point I s'écartera peu de cette direction, ou la corde de l'arc décrit par un point de la coulisse pendant une révolution de l'arbre sera horizontale et pourra être considérée comme se confondant avec son arc.
L'application de l'analyse à cette coulisse conduisant à des calculs inextricables, nous nous contenterons de l'approximation géométrique suivante, en supposant, pour plus de simplicité, que les tiges AB, A' B' soient assez longues pour que l'on puisse en négliger les obliquités.
Soient
r = OA, R = OA' les longueurs de l'excentricité et de la manivelle; 9 l'angle formé par OA' avec le prolongement de OB'; 2c la corde de la coulisse; u la corde IH; (ù la vitesse angulaire autour du point 0.
La vitesse du point B étant
— wrCOSy,
celle de H est
u wrcosy-
Concevons maintenant que l'on imprime à tout le système une vitesse égale et contraire à celle gûR sinf de la tige DB' :
l32 QUATRIÈME PARTIS. ^ CHAPITRE Vf.
la vitesse du point H deviendra
û> f r - cosç — R sin^ j .
Le point D étant ainsi supposé fixe, le centre instantané de KH se trouvera à Tinlersection S de KD prolongé et de la verticale du point H; la vitesse du point K sera par suite
(ru « . \SK
w ( — C08g> — R siiKp j gij;
celle du point £
(ru „ . \ SK DE
«(^-cosç-Rsm^jgjfgg,
et sa composante horizontale
(ru ^ . \SK h
«(^-COSy-Rsmyjgggg,
h étant la hauteur verticale de E au-dessus de D.
Si maintenant nous restituons la vitesse de B'D supprimée par la pensée, la vitesse réelle de la tige oscillante sera
dOVJ (ru „ . \SK /*
dt
( '*'' n • \ SK /* „ .
= w ( — co8<? - R smyj gjj ^ ^- "R sin^,
E' étant la projection de E sur OB'.
Si J est Tiniersection, avec la verticale de H, de la parallèle menée par D à KH et si l'on remarque que (/<p = w dty l'équation précédente devient
r/OE
On peut intégrer approximativement cette équation en remplaçant H J par sa valeur \ qui correspond à la position moyenne de la coulisse, ce qui donne
(i) OE = — T- sin(j> — R ( I — T- j cos<p h- const.
Quant au mode de suspension qu'il convient d'adopter, nous nous reporterons aux considérations que nous avons exposées plus haut*
TRANSFORMATION B'uN HOCVBMENT CIRCULAIRE CONTINU, BTG. l33
§ IV. — Coulisse des machines des bâtiments à vapeur.
53. De la coulisse ordinaire des machines oscillantes. — Le mouvement alternatif, et relatif par rapport au cylindre, de la tige destinée à produire la distribution est généralement obtenu en employant la disposition suivante (fig. gS) :
Fîg. 95.
OA' est un excentrique monté sur l'arbre 0, et dont la barre A'B' imprime un mouvement alternatif vertical translatoire à un châssis guidé en conséquence, et dont le plan est perpendiculaire à l'axe de rotation. Un maneton m adapté à ce châssis s'engage dans une coulisse dont le plan est perpendi*
l34 QUATRlftMB PARTIE. — CHAPITRE Yl.
culaire à Taxe 0, et qui ne peut se déplacer que parallèlement à la tige du piston au moyen de guides disposés suivant les génératrices du cylindre, et c'est à cette coulisse qu'est fixée la tige de distribution.
Soient
OA = R la longueur de la manivelle; 0' Taxe de rotation du cylindre; a la longueur 00';
0, p les angles AOO', AO'O;
O'f le point du plan mobile de la coulisse qui se trouvait en O'
lorsque l'on avait 6 = o ; a. Tangle dit d'avance que forme OA' avec la perpendiculaire
en 0 à OA ; r=OA', /= A' B' les longueurs de Texcentricité et de la barre
d'excentrique; h la distance mB'; Xy y les coordonnées 0'^ ni et mm! du point m par rapport aux
axes rectangulaires 0'. A et 0', j.
Nous avons établi plus haut (40) les formules suivantes :
. ^ Usine / /?R A
R'sin^Ô
cosp= I —
La relation indépendante de S, qui existe entrer et j, sera réquation de la courbe qui doit affecter la coulisse pour que la transformation de mouvement proposée soit possible.
On a
X = O'm'— O'Co = O'/w.cosp — O'O'o, y = O'/w.sinp ety en négligeant l'obliquité de la barre d'excentrique ou les termes de l'ordre —^5 qui sont toujours très -petits,
Cm = O'B'- B'/w = « — OB'— /* r= « — A - /-h r sinC© -4- «). D'autre part, la vitesse du point B' est
rcos(0H- aj-r-,
TRANSFORMATION b'uN MOUVEMENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. l35
et celle de O'., qui en est la composante suivant O'A,
rcos(9 -i-a) cosp-^,
de sorte que l'on a
O'O; = r f COS(ô -f- a) COSp dB
il) l
= r\ 8in(0-4- a)cosp — sina-H / sin(0-t- a)sinp^^ .
II vient, par suite, eu négligeant l'intégrale de cette exprès-
sien, qui est de Tordre de -; — iri?
ix=(a — l — //)cosPh- rsina,
( j= (« — /— /*)sinp — -r8in(0 -H a)sinp.
Si l'on néglige le second terme de y, qui est relativement petit, on a
a: — rsina = (rt — / — /i) cosp, j =(« — /—- A) sinp,
d'où
(3) (x - rsina)^-t-7*= (« - / - /i)%
équation qui représente un cercle dont le rayon est égal à la distance moyenne du maneton à l'axe 0' et dont le centre se trouve situé à la hauteur r sina au-dessus de cet axe pour 6 = 0. Si l'on voulait pousser l'approximation plus loin, il faudrait remplacer, dans l'équation
/ jr — rsinaV j^
ya-i—à) "^ [« — /— /, -lrsin(Ô-J-a)]
0 en fonction de y par sa valeur approchée déduite de la relation
(4) T— 7 — T = sinp =
Mais la courbe définie par l'équation finale n'est pas admissible, puisque sa forme dépend de l'angle a, tandis que la coulisse doit se prêter à la marche en arrière, ce qui exige que l'on déplace l'excentrique de 180 degrés par rapport à la manivelle ou que a soit augmenté de 180 degrés.
l36 QUÀTaiÈUE PARTIE. — CHAPITBE VI.
Le mode de transformation dont nous noas occupons est donc vicieux en principe, et ce n'est qu'au moyen d'un jeu convenable dans la coulisse et d'une faible amplitude du mouvement oscillatoire qu'il peut recevoir son application.
En laissant de côté cette imperfection, le mouvement alternatif du tiroir sera défini par la formule (i), qui devient, en remplaçant [3 par sa valeur en fonction de 9,
0'0; = r[sin(9-f-a)-sina]
^-Td3 â[sin(6— a)-~2Sin(9-Ha) — -^8in(30H-a)— -^sina]
OU encore
O'O; = r[sin(0-t-a)-sina] , RV
(6) ] "^Tni , ^a [sinQcosg-t-3cosQsina-h^sin3Qcosa
^cos30sina— |sina].
SI. Coulisse des machines oscillantes des bateaux à vapeur des lacs de la Suisse. — Dans les machines oscillantes de ces bateaux (Jig. g6), l'admission et l'échappement de la vapeur s'opèrent, respectivement pour Tune et l'autre face du piston, au moyen de deux tiroirs adaptés sur le cylindre, symétriquement situés par rapport au plan, parallèle à l'axe de rotation et passant par la tige du piston.
L'extrémité de la tige de chaque tiroir est articulée à l'une des extrémités d'un levier mobile autour d'un tourillon fixé au cylindre parallèlement à Tarbre moteur; l'autre extrémité est terminée par un coulisseau qui s'engage dans une coulisse perpendiculaire à l'arbre, maintenue latéralement par deux guides verticaux et à laquelle un excentrique, monté sur le même arbre, imprime un mouvement de translation alternatif. Le boulon d'articulation de chaque levier avec la tige du tiroir correspondant est nécessairement parallèle au tourillon du levier, et le bras de levier de cette articulation, ou sa distance au tourillon, est horizontal lorsque le cylindre prend la position verticale.
Pour éviter les flexions de la tige de chaque tiroir dues à la courbure de l'arc décrit par l'extrémité du levier, on emploie
TkÀNfiFOBIIlIION d'oN KOtrVBMENI CIBCULAIBK CONTINU, ETC. 13^
une petite bielle intermédiaire, on allonge un peu l'œil de la lige dans le sens de l'axe de la tige; néanmoins il convient de limiter les angles décrits à un nombre restreint de degrés.
Fig. 96.
D'après c!ette description, on voit que tous les organes de la distribution se meuvent parallèlement au plan de la cou- ' lisse, soit dans leur mouvement absolu, soit dans leur mouve- ' ment relatif par rapport au cylindre.
■ 38 QDlTRItMB PàBTIB. — CHAPITRE VI.
Soient {Jig. 97 } 0 l'axe de l'arbre ; 0' celui du cylindre; a la dislance de ces axes; K = OA le rayon de la manivelle ; B l'angle qu'il Torme avec 00' ; rl'exceniricilé;
X l'angle consUnt qu'elle fait avec la perpendiculaire à OA ; p l'angle variable AOO' ;
FiB- 97-
D la position du tourillon de l'un des tiroirs corresponds ni aux angles pet B;
r = 0'D le rayon de l'arc de cercle décrit par ce tourillon autour du point 0;
E la position du coulisse au;
T sa projection sur 00';
C la position du centre de la coulisse;
p = CE le rayon de la coulisse;
X l'angle fermé par 0' E avec le prolongement de O'D ;
/' = DE la longueur de la tige qui relie le tourillon du tiroïi au coulissean ;
TRANSFORMATION D*UN MOUVEMENT GIRCI7LAIRB CONTINU, ETC. iSg
D„Eo les positions des points D et E, x^ la valeur de % correspondant k 6 =o;
^X = Xa "~ X ï® déplacement angulaire éprouvé par le levier ED à partir de l'instant où la direction de la tige O'A coïncidait avec celle de 00', et qui a donné lieu au déplacement du tiroir.
£ri négligeant Tobliquilé de la barre de l'excentrique, le chemin décrit par la coulisse à partir de la position corres- [pondant à d = o est
; r[sina — sin(O-i-a)].
Nous supposerons que pour 0 = o le centre de la coulisse coïncide avec le point 0', de telle sorte que Ton ait
0'C = r[sina— sin(0-ha)], p = 0'E,.
I En joignant les points 0' et E, la figure donne, en remariant que Tangle DO' Do est égal à (3,
51'= r»-f- /'*:+- 2rrcosx,
61' = p' -H Wc' -f- aO'C.CT =^p'-i-F^ [sin(9 -+- a) - sina]' H- 2 r [ sin ( G -+- a) — sin a] CT,
pr =0'T-0'C = r[sin(eH-a)-sina]-hrcos(P + A)-H/'cos{x-S-A),
d'où, par l'élimination de O'E et de CT,
p'=r*-H/'^-h2r/'cosx-f-r^[sin(0-ha)--sina]'
H-2r[sin(0H-a) — sina] [rcos(P-+- A) -+-/'cos(x — P — A)].
D'après ce que nous avons dit plus haut, Sx ^^^^ être un petit angle, et nous pourrons en négliger les puissances supérieures à la seconde, en considérant, si Ton veut, cet écart
r r comme étant du même ordre de grandeur que y et ^•
Nous poserons donc
cosx = cos(xo- ^X) = cosxo (ï - -f- ) "^ ^Xsinxo,
(X- ?~^) = cos(x«- P - ^) (i- ^) - "^xsinxo-
CCS
l4o QUATRltHB PÀETIB. — CHAPITRE YI.
L'égalité précédente peut se décomposer dans les deux suivantes :
(l) p^=r*-+-/''-H2R7'cosXo,
-(-ar[sin(0-t-a)— sina][r(cosp-i-A)-f-/'cos(Xo — P — ^)
En ne conservant d'abord que les termes du premier ordre en r et dx* ^^ dernière de ces équations donne
/q\ ^ r[sin(e-t-a)-sina][rcos(P-f-A)-t-/^cos(Xo-~P-Al] ^^' ^~ r7'sinXo '
et, en portant cette valeur dans les termes du second ordre de la même équation, on trouve
2/'rsinX)<îx = ~" 2r[sin(Q -+-a) — sina]
X*^ ' „ . , ^" — r'rsin(0-ha)-g
r/'sin'Xo
(4) { ii--cosx,[rcos(P-i-A)+rcos(x,~P~A)]
1 rrsin^Xo
Si la valeur (3) était suffisamment approchée, le coefficien r cos(A + (3) -f- /' cos(xo — (3 — A) ne variant qu'entre des li mites assez rapprochées, la loi du mouvement relatif du tiroi par rapport au cylindre ne serait pas très-différente de cell qui résulte de l'emploi d'un simple excentrique, monté su l'arbre d'une machine à cylindre fixe. On est donc naturelle ment conduit à chercher s'il ne serait pas possible de profite de l'indétermination de quelques-unes des quantités qui en trent dans ce coefficient de [sin(ô-ha) —sina]» de l'équa tion (4) pour annuler ce coefficient ou le transformer en ui terme du troisième ordre.
Nous poserons donc
( , ^^^^ [rcos(fiH-A)H-rcos(y,-P-A)r (5)1 ''^^^^
TRANSFORMATION d'UN MOUVEMENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. l4l
Avant de faire usage de cette équation, dans laquelle il nous sera permis de négliger les termes du premier ordre en r, nous allons déterminer la condition qu'il faut remplir pour que le mouvement des coulisseaux soit possible dans une seule coulisse ou pour qu'ils ne tendent pas à passer l'un devant l'autre.
Si l'on désigne par / l'ordonnée du point E par rapport à
00', on a
j^- = r sin(P -4- A) — /'sin(x.— P — A).
En changeant p en — (3, on aura l'ordonnée de l'autre, coulisseau changée de signe, puisque son sens positif est l'inverse de celui de y, 11 faut donc que la somme de ces deux expressions soit positive ou que
r sinA — /'sin(;^, — A) > o ou
rsinA- /'sin{x« — A)-h/'sin(Xo — A)~ -4-/'cos(Xo — A)^X> «•
On satisfera à cette inégalité en posant
(6) rsmA~/'sin(x,-A) = /'cos(Xo~A)H,
H étant une constante du même ordre de grandeur que dx» et que l'on pourra prendre égale à la valeur absolue du minimum de cette variation ou à une valeur un peu plus grande. La formule (3) se réduit alors à
^y = — ^ ,, . fsinfô -f-a) — sina]
X lcosP[rcosA-i- /'co3(Xo — ^)1— /'sinpcos(x« — ^)H| ou, en éliminant /' au moyen de l'équation (6),
/ X > '^ r û HcOSfXo— A)C0S(P-hAn /û X . 1
7) <îy= — ^ . ! cosPh ^ ■ — [sm{0-Ha) — smal.
En prenant
„ r r Hros(y„ — A)1, .
H = =-T— 7 I H T-^ (i -+- sma),
on sera sûr que H sera supérieur au maximum — 5x> ^'^^ l'on
QOlTRlIlE PÀRTII. — CBAPIT» TH.
