TT
= Ncos(a— (p) — Qsin(a— (j») n'pjcr i sin(i|/ — f ) rf^]*,
éy t/o
X= NjCOs(<ï>— a) -}-Qsin(y — x)h — ^'Po^''»
expression dont le maximum correspond à
tang((p-a)=^
ou à 9 =: o, et a pour valeur
(m) sf^ := ^ la^ S—tiLS Po ^J .^îlavîcr.
° i — sina cosa — sm'a **
Si Ton appelle 2^ l'épaisseur de Tanneau dans le sens du rayon, la tension élastique maximum développée sera
hEe
«k;> etE( J ayant les valeurs données par les formules (m) et (/); et, comme elle doit être au plus égale à T,
DBS TOLANTS. 187
il faut que Ton ait
n ^ y— yj (^- ^ "*" ^"^ ? 7 [ï ""^^sa H- p,^ (a - 8ina)J sina
** 1 — sina cosa — sin'a
Cette condition sera satisfaite a fortiori, si celle que Ton obtient en supprimant — l'est elle-mêoiey ou si Ton a
f i-+-ia-; sj I - acosa + p^e (a — sina) 1
3 \na^ ^V
*^ a sina — asin'a
sina
On pourra, sans inconvénient, supposer que, dans cette inégalité, 2a est l'angle formé par les axes des deux bras consécutifs. La même inégalité suppose nécessairement que son second membre soit positif ou que Ton ait
ce qui donne une limite de la vitesse de Tanneau du volant dont il faut se tenir suffisamment éloigné.
Occupons-nous maintenant des conditions de résistance des bras. D'après la formule (/), le maximum de Ed correspond à r= To et est égal, à peu de chose près, à
ou, en vertu de la formule (g*),
EJ = ^ Q'pJ ^3 -t- a4 |; .) n- J (Q -r N, . )•
N 0 Comme -^ et -^9 en raison du facteur I dont sont affectées
leurs expressions, sont petits par rapport au premier terme
l88 QUATRifeMB PARTIE. — CHAPITRE II.
de celte valeur, on peut écrire simplement
" I ^ ' 1 — sinacosa — sin'a I
d'où
^ ? ^^^ ~ 3 7 ï^ — ït: 7T ^ lïïP ■"^•-
H - Sina cosa — 8in"a
Nous avons négligé dans ce qui précède Faction de la pe santeur; pour plus de sécurité, il convient de calculer le éléments d'un volant de telle manière que chaque bras puissi résister aux efforts que nous venons de calculer, augmenté du poids total du volant, tandis qu'il n'en supporte jamal qu'une partie, ce qui revient à retrancher de F l'expressiol
n.27r —po, ou à écrire
+- - smacosa — Sin^a
Ainsi donc, étant donnés la vitesse moyenne d'un volant i sa circonférence et son moment d'inertie calculé en vue d'ob tenir un degré de régularité déterminé, on devra donner \ l'anneau et aux bras des sections, et des formes à ces sections, telles que les conditions (i) et (2) soient satisfaites.
2** Proposons-nous maintenant d'étudier l'influence que doil avoir, sur la résistance d'un volant, une variation plus ou moins rapide du mouvement, en faisant abstraction de la force centrifuge.
Nous nous occuperons spécialement de la flexion des bras supposés rectilignes, et nous négligerons l'angle e, ce qui est permis sans erreur sensible, comme l'indique la suite des calculs; nous conserverons les notations précédentes, aux exceptions suivantes près : i® au lieu de représenter l'angle atOa\ par 2a, nous le désignerons par a; 2® nous représenterons la vitesse angulaire variable par &>, en supposant qu'elle ait lieu de la gauche vers la droite; 3° les composantes des
DES YOLÀIfTS. 189
actions élastiques dans les sections méridiennes en ai et a\ n'ayant plus ici la même valeur, nous les représenterons par les mêmes lettres que plus haut, mais en accentuant celles qui sont relatives à la seconde de ces naissances.
En projetant sur les directions de N' et Q' et prenant les moments par rapport au point 0, on obtient, pour les conditions d'équilibre des forces qui sollicitent Tare aia\,
N cosa — N — Q Sina °'P» ^ / ^^^"iP ^f — °'
Q cosa -h Q'-h N sina q-pj — / sin<p oip = o,
n dto
Si Ton pose
ces équations prennent la forme
■ N'= N cosa — Q, sina,
d'où
Q' = — N sina — Q, cosa h — ^pî ^ '
(/?) N(i — COSa)-+- QjSina = - Œpja — •
On a pour Téquation relative à la flexion de ai d^
El (^ - ^ ) = N,p„[i- cos(a- (p)] -+- Qp,sin(a - ^)
"^""Pi^f [I-cos{^^^?)]t/^^^-const.
ou, en désignant par C une constante,
(q) ^(l - i^ = -Ncos(a-(p)-f-Q,sin(a-<p)-+-C.
P.\P pJ
L'angle a,Oa', restant égal à a, et les tangentes en «1 et a\
igO QUATRIÈME PAITIB. — GHAPITAE II.
ayanl la même inclinaison sur Oa., Oa\ après comme avan la déformationy on doit avoir
ou
(r) Nsina — Q,(i — cosa) — Ca= o.
En opérant comme plus haut, on tire de l'équation ( q )
-|(,~a)c0S(,-a)-.MC0S(,-a)-.M'sin(,-a)],
M et M' étant deux constantes arbitraires.
Nous ferons remarquer maintenant que les éléments ma^ tériels de chaque bras n'étant sollicités que par des forces
en -7T9 toutes très-sensiblement perpendiculaires à son axe
de Ogure, la dilatation de cet axe est uniforme et ne dépend que de Q +Q', résultante qui, d'après la nature même de la question, doit être très-faible, ce que, d'ailleurs, nous pourrons vérifier ultérieurement; de sorte qu'il nous sera permis de négliger la dilatation dont il s'agit, ou de supposer que u = o pour 9 = a, 9 -- o, ce qui donne les conditions
(s) — C(i~C0Sa)-4-^NasinaH- î^acosa — M'sina = o.
D'autre part, les tangentes en ai, d^ devant être également inclinées sur Oai, Oà., la dérivée -r- doit avoir la même valeur pour <p = a, 9 = 0, ce qui s'exprime par
— (sma-hacosa)
— -^ (1 — COSaH-asina) ~ C sina -i-M'(i — cosa) = o.
L'élimination de M' entre les équations {s) et (0 conduit à
BBS VOLANTS. I9I
la suivante :
, V N . Q, , . aC(i — cosa)
u) — sma — -^(i — cosa) : ^ =0.
Il résulte de la comparaison des formules (r) et (ei) que C est nul et que Ton a tout simplement
\v) Nsina— Q, (i — cosa) = o
De cette équation et de la formule (p) on tire
N = —-frùla—y ^g dt
^ n CL db^
et enfin
^ g ^* at
Ainsi donc Teffort Q + QS qui agit longitudinalement sur chaque bras, est nul, ou plutôt de Tordre des quantités que nous avons négligées, comme nous l'avons admis a priori.
Soient maintenant
I' le moment de la section du bras par rapport à la perpendiculaire au plan de la figure passant par son centre de gravité;
0 le rayon de courbure du point de la fibre moyenne déformée situé à la distance rde Taxe de rotation;
2e' l'épaisseur du bras.
On a
