III
nous avons formé le tableau suivant :
Nous avons reconnu également que le terme correctif Xj dû à Tinfluence de l'inertie des pièces oscillantes, est dans tous les cas négatif, de sorte que nous n'avons pas à nous occuper de la seconde approximation dans le calcul du monnent d'inertie du volant.
71. De r influence de V obliquité des bielles sur la régularité du mouvement. — Le chemin parcouru par rextrémité de la bielle à partir du moment où le bouton de la manivelle se trouvait au point mort extérieur étant (34) •
RM — COS0 — ^sin'ôj
à la troisième puissance près de l'obliquité e, on peut poser
F et/ étant des fonctions connues de B. Les angles dt et ds seront donnés par l'équation
Soit &^ la valeur qui rend F[d) minimum; si nous posons 0,= 0', -f- ô0,, nous aurons, en nous arrêtant aux premières puissances de e et dd, , qui sont du même ordre de grandeur,
Si l'on porte la valeur de 0 = b\-r-iBi dans l'expression de 5, et que l'on appelle ©\=F(6'j) la valeur de S, résultant d'une
DES YOLÀinrs. • 179
première approximation dans laquelle on aurait négligé l'excentricité, il vient, en s'arrétant aux termes du second ordre,
En augmentant l'indice d'une unité, on aura une expression I semblable pour le maximum Si, et il sera facile de trouver la valeur de la correction que l'on doit faire subir à une première valeur approchée du moment d'inertie  du volant, résultant de l'hypothèse de e = o, lorsque l'on voudra tenir compte de la seconde puissance de l'obliquité.
Comme exemple, reprenons la question d'une manivelle simple à double effet du n^68; nous avons, pour la condilion de périodicité,
4SR = 27rRQ;
par suite
S := QrT^ (i - cosÔ) - 0 - ^esin^ôl ,
^0,= Êsinô',,
5, =. e; -!^(,-t-£C0SÔ',)esin'ô',.
Si nous écrivons l'expression des d de la même manière, en nous rappelant que les angles ff^y ff^ sont supplémenlaires (68), nous trouvons
6, - 6', = S^ -. ^,-t- —5 s^cosô', sin'ô'j.
Nous voyons ainsi que, dans le cas actuel, l'obliquité de la bielle exige, pour arriver au degré de régularité voulu, une légère augmentation du moment d'inertie du volant. En effectuant les calculs numériques, la formule précédente prend la
forme
o,42ioRQ(n-i,i68e').
Il arrive rarement que e atteigne |, et dans ce cas limite la première valeur approchée de A devrait être augmentée de 0,08 environ de celte même valeur. Il n'est donc pas superflu, dans certains cas, de faire entrer en ligne de compte l'obliquité des bielles.
l8o QUATR.lfijIE PÀRTIB. — CHAPITRE II.
72. Remarque relative à V établissement des volants. — M. Kretz a fait observer à juste titre que, lorsqu'il s'agit de faire fonctionner des machines outils, il ne suffit pas de limiter les écarts de vitesse à une certaine fraction de la vitesse moyenne : il faut encore, au double point de vue de la qualité et de la quantité de l'ouvrage produit par unité de temps, et de la conservation de l'outil, que l'accélération de ce dernier ne dépasse pas une certaine limite; ce qui revient à assigner une limite maximum ^ à TacCélération an-
gulaire -^ •
En négligeant l'inertie des pièces oscillantes, et différentiant l'équation (2') du n"* 66, on obtient
dfA ^t1^ d^
'de ~ dBdt'
d'où
d(Ai
IF
1 d^ ÂdB
rfS
On déterminera la plus grande valeur A de -^» et l'on devra
s'assurer que le moment d'inertie A, calculé comme on l'a indiqué plus haut, satisfait à la condition
73. Conditions de résistance à la rupture d'un volant. — Lajig. 1 1 1 représente une section faite dans un volant par son
Fig. III.
plan moyen perpendiculaire à l'axe de rotation 0.
DBS VOLANTS. l8l
Nous appellerons circonférence moyenne de l'anneau à l'étal naturel le lieu géométrique des centres de gravité de ses sections méridiennes, et nous désignerons son rayon par po.
i"* Nous considérons d'abord le cas où le volant possède une vitesse angulaire Q, sensiblement constante.
Soient
OAi, OA', les axes de figure de deux bras consécutifs; ai, a'i leurs naissances respectives comprises dans l'angle A\OA' ;
10L et e les angles «lOa,, a,OA, r=:a'jOA', ;
OA la bissectrice des angles A,0 A', , a,Oa, ;
A', A A, la portion de la circonférence déformée déterminée par
les directions de OA., OA', ; pie rayon de courbure de la courbe kai en un point M dont
les coordonnées polaires sont r = OM, AOM = 9 ;
7 la section méridienne de l'anneau ;
I le moment d'inertie de cette section, par rapport à la perpendiculaire au plan de la figure passant par son centre de gravité;
t' la section transversale des bras que nous supposerons constante jusqu'au moyeu;
Q, N les composantes élastiques développées dans les sections méridiennes aux naissances a,, a\ des bras, dirigées respectivement suivant le rayon et sa perpendiculaire;
E le moment d'inertie de la matière;
n son poids spécifique;
r l'effort maximum de compression ou de traction qu'on doit lui faire supporter par unité de surface.
La force centrifuge agissant sur aiKa\ faisant équilibre aux forces élastiques développées enai,a\, il vient, en projetant sur OA,
2Qcosa-H aNsina = / n'ppC08<p.pofl?y = — ffii^pj sina.
S Jo h
En posant
l82 QUATRIÈME PABTIE. — CHAPITRE II.
réquation précédente se met sous la forme
(a) N, sina -i-Qcosa = o.
Si l'on prend, par rapport au point M, les moments des forces qui agissent sur Mai, on a, en appelant vp l*angle formé avecOÀ par un rayon quelconque Om de l'arc ai M,
El
rrD^pl j s\n{^ ^ ff) d^ -h consi,
La constante étant le moment du couple élastique développé dans la section normale en a^ ou a,, on tire de là, en désignant par Cpo une autre constante qui comprend la précédente,
(b) — ( ) =— N, cos(a-- <p) -+- Qsin(a--(p) -h C.
Uinfluence du bras sur Tanneau en Aia, doit, à très-peu près, produire l'effet d'un encastrement; de sorte que, après comme avant la déformation, OÂ, Oai sont des normales qui font entre elles l'angle a. On a donc
en négligeant la dilatation de la circonférence moyenne; d'où la condition
[c) N, sina — Q (i— cosa)— Ca= o.
En posant r==:po (n- m), nous aurons, d'après le n*» 188 de la deuxième Partie,
I I I fd^u \
L'équation {b) devient par suite
(d) ^\d^ "^ ") =N,cos(y-a) -+-Qsin(y-a)-C
DES TOLANTS. l83
et a pour intégrale
— - («p — a)cos(y— a) H- McOS(f — a)-t- M'sin(f — a) h
M et M' étant deux constantes arbitraires. Mais, comme OÂ, O^t sont deux normales après comme
avant la déformation, on doit avoir -,- = o pour q) =. o, <p = «, ce qui donne les conditions
(e) N, (sina-+- xCOSa)— - (cosa — a8ina)H-Msina-f-M'C08a = o,
j Soient at ta naissance du bras OAi extérieure à Tangle sa, : F Tefifort de traction exercé par ce bras sur Tanneau. Comme
Tangle ai0a,= 2e est toujours petit, on peut sans inconvé- I nient en négliger le carré.
En exprimant que F fait équilibre aux deux forces — Q,
aux deux forces — N développées dans les sections normales
en ai, aj, ainsi qu'à la force centrifuge de la portion de Tan-
neau limitée par ces sections, on a
Soient
r la distance à Taxe d'une section quelconque du bras ; i la dilatation dans celle section; U la valeur de r à la naissance.
Nous pourrons, sans'grande erreur, faire abstraction de la déformation du moyeu ou anneau central par lequel le volant est monté sur Tarbre. En considérant Téquilibre d'une tranche du bras, d'épaisseur </r, on établit facilement l'équation
Eff'-7- rfr-f- ff'-aV«^r = o; dr g
l84 QUATRlilHB PARTIE. — CHAPITRE II.
d'où, en désignant par K une constante»
gL 2
L'allongement total du bras sera, à peu de chose près,
comme cet allongement est égal à la valeur de p^u pour 6:= a, on a la relation
On déduit de là la valeur de K qui, reportée dans l'expression de d, donne
d'où, pour r=:po9
Mais cette dernière valeur n'est autre chose que celle de — ;
on a donc
( M-C=î-^-fv^U(Q-+-N'e)
En éliminant M, M' entre les formules («), (c') et (g), on arrive à la suivante :
La pi" J bg fia-
x[*4<"p; -i-»'(2pî — p,r, — rJ)]sma-+-C8ina=o.
DBS YOLANTS. l85
L'élimination de C entre les équations {c) et {h) donne
N, I sin'a (sma -h a cosa) h — ^. , sa sina 1
'L ^ pi^ J
■^ iT^^^' ^7T^* [24<y2c; "H(r'(2pî -p.r, -rj)] asina = o,
elles équations (a) et (i) permettront de déterminer Ni et Q;
mais, comme -r-r ( i ^ i et — sont toujours de petites frac-
lions, on peut, sans erreur sensible, réduire l'équation ( /) à ia suivante :
N, I sin'a — -(sina -+- a cosa) M-Q — (i — cosa) h 1
-hjr-I^' I I — — J (^4 -, s-h 2—-] asina = o, ^g \ Po/\ ^ Po/ ,
sina
d'où
„ (i • I (a ^ -+-24 — , s I asina
N, = il lu' '^ l'-[^ P' " '
cosa )
1 — smacosa — sin'a
Q = JLiii. V PîAA &L 1 J ,
bfi- a' a . .5
° 1 — smacosx — sma
par suite, en vertu de Téquation (e),
(i ^A fa- -« -+- 24 -^ 6^ Sin'a ** ! — sina cosa -- sin^'a
Il est facile de s'assurer que la fonction de a qui forme le dénominateur de ces trois expressions reste positive pour des valeurs de la variable croissant à partir de zéro.
On voit, d'après la formule (6), que le maximum de E ( \
\Po p/
l86 QUATRlilMB PARTIE. — CHAPITRE II.
correspond à
tang(f~a) = j^,
ou à f = 0 en vertu des valeurs de (j); ce maximum a poui valeur
, . „ ( I— ^ jfa — ^-h 24^g)(a — sina)sina ^'^" '^' ° 1 — sinacosa — sin'a
Soit dîl» la composante élastique normale à la section méridienne au point M; en donnant à i{/ la même signification que plus haut, réquilibre de MAi exige que
d'où
