CHAPITRE m

7&>. Il arrive dans la plupart des machines que, par suite d'exigences particulières, le travail utile doit rester pendant un temps, plus ou moins long, tantôt au-dessous, tantôt audessus de la valeur pour laquelle la machine a été établie : c'est ce qui arrive, par exemple, si, la machine ayant pour objet de faire fonctionner à la fois plusieurs outils, on vient à en diminuer ou à en augmenter le nombre.

Pour éviter les effets nuisibles d'une trop grande augmentation ou diminution de vitesse , il faut réduire ou augmenter le travail utile et, par suite, l'énergie de la force motrice. Cette variation d'intensité, pour les moteurs inanimés, se produit à la main, ou automatiquement, à l'aide d'un mécanisme appelé régulateur^ qui agit sur le distributeur de la force motrice, la vanne d'une chute d'eau, ou le robinet ou la valve d'une conduite de vapeur, par exemple, lorsqu'on emploie pour force motrice le poids de Teau ou la pression de la vapeur. Pour simplifier le langage, nous supposerons dans ce qui suit qu'il s'agit d'une vanne. .

Comme on le voit, le volant et le régulateur remplissent deux fonctions distinctes : le volant a pour objet de restreindre entre certaines limites les écarts de vitesse dus à la présence d'organes oscillants dans la machine, lorsque le travail est régulier, tandis que le régulateur a pour but de limiter les écarts de la vitesse moyenne quand le travail à effectuer est soumis à des irrégularités.

Dans ce qui suit nous ne nous occuperons que des régulateurs le plus en usage.

194 QDATRlBKB FART», — CHIPIIIB III.

75. Régulateur à boutes ou à force centrifuge. — Ce régulateur, qui est le plus généralement etnploj'é, se compose [fig. 113} de deux boules A, A' de même poids, fixées aux

extrémités de deux tiges igales AB, A'B, qui sont articulées à charnières à l'extrémité supérieure B d'un arbre vertical BX, dont le mouvement de rotation est transmis par l'arbre ou l'un des arbres de la machine au moyen d'engrenages ou de courroies. Deux tiges ou bielles égales CD, CD' sont articulées en C et C à AB, A' B à égale diswnce du sommet B, et à une douille DD', qui peut glisser le long de l'arbre BX. La douille, en s'élevant ou s'abaissant par l'effet de la force centrifuge qui s'exerce sur les boules, et d'une manière secondaire sur les liges, agit sur la vanne de la Torce motrice par l'intermédiaire d'un système de tringles relié à la douille par une articulation, et dont la disposition varie avec les circonstances.

Quelques constructeurs remplacent les boules par des lentilles dont les arêtes sont comprises dans des plans passant par les axes de figure des liges AB, A' B, et perpendiculaires à celui dans lequel sont compris ces axes et celui de l'arbre.

BBS RÉGULÂTB0R8. igS

Cette disposition a pour objet de réduire la résistance de l'air; mais, comme un régulateur marche toujours lentement, l'avantage des lentilles sur les sphères est pour ainsi dire illusoire.

Supposons les quatre tiges réduites à leurs axes de figure, et les sphères et la douille à leurs centres A, A' et D.

Soient [Jig. ii3)

ABr=A'B=a, 1

BC = BC = 6, > des longueurs données; CD = CD = c ) I Tintersection de AA' avec BX; P le poids des boules ;

p l'effort que doit vaincre la douille, tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre, pour faire varier la position de la vanne; w la vitesse angulaire de l'arbre; X l'angle formé par AB ou A'B avec la verticale BX.

On a

AI=asina, BI = 6cosa,

et le triangle BCD do n

BD= èc08a-+- v/c*— -^'sin'a,

d'où

c/.BD ~ — b sma rfa — •

Comme la masse des tiges est toujours relativement faible par rapport à celle des boules, nous en ferons abstraction. Les forces centrifuges des éléments matériels de chaque boule supposée homogène ont une résultante passant par le centre de gravité de la boule et qui n'est autre chose que la force centrifuge de ce centre où toute la masse était concentrée; cette résultante a pour expression

- w^. AI = - w^a sina.

En exprimant que, pour le déplacement angulaire da^ la somme aes travaux virtuels du poids et de la force centrifuge des boules et Ae p est nulle, on a

(i) aP— ûSinaef.AI-h2-£/.BI=t/7ûf.BD = o,

ig6 QUATRiftMB PARTIS. — CHÀPITRI III.

d'où

(a) ^ - a^ w^ sinoL cos ot — 2F a sin et zppbl i-i- -— - jsma = o,

le signe — et le signe + se rapportant respectivement à la tendance à la levée et à rabaissement de la vann^.

Soit (Ve la vitesse angulaire de l'arbre qui correspond à la vitesse de régime de la machine et à la valeur a» de a pour w=W9f il ne doit y avoir aucune tendance au déplacement de la vanne dans un sens ou dans l'autre^ ou encore aucun effort ne doit s'exercer sur la douille; de sorte que la formule (2] donne, en y supposant «; = «;,, a = a» e\ p=-o,

(3) (^îcosa„=|-.

Les vitesses angulaires maximum Wt et minimum Wt du régulateur correspondant à la tendance au déplacement de la vanne ont respectivement pour valeurs

2 \^ y/c'—b^&in'oij

Le rapport -^- étant toujours une petite fraction, on peut,

sans inconvénient, en négliger les puissances supérieures à la troisième, et écrire, en ayant égard à la relation (3), .

^' ^«L 4P«V v/«^-^»8in^aJ SP^^'V v/i^-^^sin'aj

et Ton voit que l'on a, à la deuxième puissance près de —9

DBS RÊGDLITBURS. 197

(V, — (Vo= Wo — «'ij c'est-à-dire que la douille et la vanne seront sur le point de se déplacer pour des écarts de vitesse sensiblement égaux de part et d'autre de la vitesse de régime. La sensibilité du régulateur se mesure par Yécart proportionnel ^' — ^ que l'on se donne a priori^ et qui doit être d'autant plus petit que l'on veut obtenir une plus grande régularité dans le mouvement. Désignant ce rapport par -♦ nous

aurons, a la troisième puissance près de p-»

d'où

(6) p^^/ ^^osa,^\

formule qui fait connaître le poids qu'il faut donner aux boules pour obtenir le degré voulu de sensibilité.

Il est facile de voir qu'aux termes du second ordre près on peut écrire

(7) •^'^"■.(-^i^)' «'.= "'• ('-si)'

76. Conditions relatives aux limites que Von assigne à la vitesse delà machine. — Supposons maintenant que, par suite d'une réduction du travail utile, w dépasse Wxy la vanne s'abaissera en même temps que w croîtra; toutefois w ne dépassera pas une certaine limite tv" correspondant à ta fermeture complète de la vanne, et qui sera une conséquence du mode de liaison entre la vanne et la douille; mais, à l'inverse, on peut se proposer d'établir ce système de liaison de manière que w'' soit donné a priori ^ et que Ton ait à remplir une condition semblable en se donnant la vitesse angulaire cv' correspondant à l'ouverture complète de la vanne.

Soient af\ a! les valeurs inconnues de l'angle ÂBD correspondant aux vitesses angulaires w^^ w\ et supposons que la résistance opposée au déplacement de la douille reste constante et égale kp, pour toutes les valeurs de cet angle comprises entre

w"^ COSa" =

«98 QUATRIÈME PARTIB. — GHÀPITRB III.

a" et a'. Considérons le cas le plus usuel où BCDC est un

losange, et négligeons le carré de -; nous aurons, en nous

reportant à l'équation (2), (8) ^ et de même

f w'^COSa' = wIcOSoLqIi )•

Or la position de la vanne doit être donnée pour la valeur a de l'angle ABD; on devra donc établir la liaison entre la douille et la vanne de telle manière que, lors de l'ouverture et de la fermeture complète de la vanne, l'angle a soit égal aux valeurs de a", atl données par les équations (8). Dans le cas actuel, la formule (6) devient

et le poids des boules est ainsi indépendant de l'angle ao.

Soient A«=:2acosa«, h" =iiafto%ot!' y h' ^=iiacosa! les valeurs de AD correspondant aux vitesses angulaires iVo, w", «/.

Les équations (8) prennent la forme simple

qui se prête facilement aux applications (*].

( * ) Disposition de Foucault. — Foucault a eu l'idée de chercher l'effet que produiraient les boules placées sur les prolongements des bielles CD, CD,

lorsque BADC est un losange (Jig, ii4); A, A' seraient, dans ce cas, assujettis

DBS RÉGULATEURS. tgg

Pour éviter que les boules oscillent dans le niouvemem

régulier de la machine , il faut donnera -une valeur su-

pérîeure à l'écart relatif des vitesses maximum et minimum, qui sert de base à l'établissement du volant (*).

Soit A la valeur de AD correspondant à la vitesse angulaire w; on a, selon que cette vitesse est supérieure ou inférieure à (Vo,

Si CD, (ùi, gji sont les vitesses de Tarbre qui correspondent y aux vitesses w, (v,, Wi auxquelles elles sont proportionnelles, on peut écrire

(9) ^^=rT^'oi ^'=7t/'o-

Soit Ç, pour la vitesse cv, l'augmentation relative éprouvée par le débouché de la vanne correspondant aux vitesses angulaires Wi et w,; Ç sera proportionnel à A — A»; nous pourrons

à se trouver sur ua ellipsoïde substitué à la sphère du régulateur ordinaire. Posant AD = A'D = a et conservant les notations du texte, il est facile de reconnaître que les formules (4) s'appliquent au cas actuel, en remplaçant Pa par P{2b — a)y après y avoir supposé b = c. Cette disposition est loin d'offrir quoi que ce soit d'avantageux.

(^) Le mouvement oscillatoire das boules résultant d'une variation de la vitesse angulaire est un mouvement relatif par rapport au plan mobile AOA'; les forces centrifuges composées pour chaque boule ayant une résultante perpendiculaire à ce plan, on n'a qu'à introduire dans l'équation (i) le terme

rf'a — 2l -— (îa, I étant le moment d'inertie de la boule par rapport à 1 axe projeté en B. Au lieu de l'équation (2), on a la suivante :

,</'a P / 5cosa \ I -Tj- — — w' a' sin a cos a — P a sin oLZÇLpb sin a 1 i -t- 1 •

*^^ S \ y c' — b^ sin* oe /

On devra faire l'intégration pour chaque demi-oscillation ascendante et descendante, correspondant respectivement au signe supérieur et au signe inférieur du dernier terme du second membre ; les constantes introduites se détermineront

dv.

par la double condition que a et -y- ont des valeurs connues au commencement de chaque demi-oscillation.

200 QUàTRIIMIB PA.RTIB. — GHA.PITRB III.

écrire en vertu de la formule (9), selon les cas^

k et ki étant deux coefficients connus.

77. Autre disposition.— Dans certaines circonstances, motivées par des difficultés d'emplacement, on est obligé de placer la douille au-dessus de l'articulation D; on emploie alors la disposition représentée par la^g-. 1 15^ dans laquelle les tiges de

Fig. ii5.

même longueur BC, BC sont également inclinées sur les tiges AB, A'B, d'une manière invariable, avec lesquelles elles sont respectivement reliées. Les bielles CD, CD déterminent un losange BCDC Nous ne nous arrêterons pas à la recherche (qui ne présente d'ailleurs aucune difficulté) de l'écart proportionnel dans l'expression duquel doit entrer nécessairement l'angle CBA.

78. Des régulateurs isochrones, — Dans le régulateur à boules il y a, pour chaque valeur de a, une vitesse de régime déterminée w\ de sorte qu'il ne peut remplir l'objet

DBS RfiGDLATBURS. aoi

qu'on se propose que par approximation, à la condition que l'angle a varie peu en passant de l'ouverture complétée la i fermeture de la vanne.

' On comprend ainsi l'avantage, au moins au point de vue théorique, que doit présenter un régulateur disposé de manière que la vitesse angulaire de régime (v« soit indépendante de l'angle a. Les dispositifs de cette nature qui ont été imaginés par divers ingénieurs et constructeurs ont reçu le nom de régulateurs isochrones.

Nous allons passer en revue les principaux types de ce genre de régulateurs.

79. Régulateurs paraboliques. — Concevons un dispositif tel que le centre de chaque boule soit assujetti à rester sur une courbe fixe, déterminée de manière que le poids et la force centrifuge de la boule se fassent constamment équilibre pour la vitesse w^, quel que soit l'écart a; ou obtiendra un régulateur isochrone. £n effet, par suite d'une diminution de la résistance utile, w croîtra à partir de w. et en même temps a à partir de a«; mais bientôt, par la fermeture graduelle de la vanne, w et par suite a atteindront chacun un maximum ; cv, a décroîtront, atteindront respectivement un minimum, et ainsi de suite; mais, sous l'influence du frottement (|), les oscillations de chaque boule sur sa courbe s'éteindront rapidement, et, lorsqu'elle sera arrivée à l'état stationnaire, la vitesse du régulateur sera redevenue w^.

Soient x l'abscisse verticale d'un point de la courbe que doit décrire le centre A, mesurée à partir d'un point déterminé de l'axe de l'arbre; j l'ordonnée horizontale correspondante : le principe du travail virtuel donne

d'oiiy en appelant C une constante,

C^) Voir la Note, placée à la fin de ce Chapitre, relative à rinfluence que peut avoir le frottement sur les mouyements oscillatoires.

303 QDinitlB P1»II. — CHiriTU lU.

équation d'une parabole, comme on devait s'y attendre (deuxième Partie, n° 207), dont le paramètre est -f et G l'abscisse du sommet dont on Axera la position comme on l'entendra.

C'est sur le principe que nous venons d'énoncer que sont basées les deux dispositions suivantes :

i" Régulateur de Franke. — C'est le premier régulateur parabolique qui ait été construit ; il se compose de deux guides curvilignes [fig.ii&j MN, H'N', symétriques par rapport à l'axe

Fig. ii6.

de l'arbre, correspondant respectivement k deux couples de galets C, G qui terminent les tiges des boules A, A' ; les axes des galets sont engagés dans deux fenêtres courbes pratiquées dans les extrémités de deux tiges CE, CE' qui vont en B s'ar-

BBS RÉGULATEURS.

ao3

Uculer à l'arbre. Deux tringles t, f sont articulées à ces deux liges et supportent, également par articulation^ la douille D. On voit que chacun des guides doit affecter la forme d'une parallèle à la parabole que doivent décrire les centres des boules, tracées à une distance de cette courbe égale à celle de ces centres aux circonférences de gorge des galets.

Cette disposition n'a pas eu de succès pratique, en raison de sa complication et des frottements des galets sur les guides et sur leurs axes, qui diminuent notablement la sensibilité du régulateur.

2« Régulateur à bras croisés. — M. Farcot a eu l'idée de remplacer la parabole par son cercle osculateur dans la position moyenne que doit occuper le centre de chaque boule, ce qui lui a permis d'établir un régulateur à très-peu près isochrone, d'une construction très-simple.

Soient (yîg^. 117 et 118)

Fig. 117.

Fig. 118.

A, la position moyenne du centre de la boule A; S le sommet de la parabole ;

et

F son foyer déterminé par SF = — ;^',

AoB la normale en A« limitée à l'axe de la courbe ;

H l'intersection de la direction du rayon vecteur A^F avec h

perpendiculaire en B en AoB; K celle de la perpendiculaire en H à A«H avec le prolongea

ment de la normale qui est le centre de courbure de la para

boleenAo('); j

K' le centre de courbure de la même courbe correspondant i

la position moyenne A'« du centre de la boule A', qui est ]<

symétrique de K par rapport à BS«

Portons, à partir des points K et K' sur KA, K'A, deux loiv gueurs égales KG, E!C', puis joignons G, G' à un point D d( Taxe.

On obtiendra un régulateur sensiblement isochrone, en sup^ posant que KAo, K'A'o représentent deux tiges articulées en il et K' à une pièce KK' faisant corps avec Tarbre, que U douille D soit reliée, par articulations, à ces tiges par les trini gles GD, CD.

Proposons-nous maintenant de déterminer les conditions relatives à la sensibilité du régulateur, en plaçant Toriginc des coordonnées au milieu I de KK'.

Supposons, pour plus de simplicité, comme cela a lieu d'ail leurs en général, que les tiges GD et KG aient une même longueur b, et conservons aux lettres P et /? la même signiQcatioii qu'au n® 75; nous aurons, pour l'équation du travail virtuel^

w étant Tune ou l'autre des vitesses angulaires de l'arbre pour lesquelles la vanne est sur le point de se déplacer. Posons (V = (Vo(n- e), nous aurons, en négligeant le carré de e,

(lo) -w\zydx^±:^d.Yù.

Soit a l'angle formé par la normale AoK avecIS; de l'équation

(*) Voir mon Traité de Cinématique pure^ n^ 57, p. 67.

DBS RÉGULATEURS. 2o5

bo tire d'où

tv?

Mais on a

ID = a^cosa, d'où </.ID=— a6sinarf3t=r — a^ —^ cos^asinarfr,

et l'équation (lo) donne par suite

, pb coà'asina

OU, en remplaçant j par sa valeur, en fonction de a, tirée de l'équation (ii),

nous aurons donc

«',= w» ( I-H ^ —2- COS'a, Il

Supposons que l'écart proportionnel - soit donné pour la

valeur moyenne a» de a; de la condition - = — on

déduit la relation

P= n/i— it cos'a..

L'écart proportionnel, pour une valeur quelconque de a, a par suite pour expression

I cos'a

mais, comme l'angle a — «o est toujours petit, on peut en négliger le carré, et cet écart prend la forme

i[i-3tanga,(a-a.)l,

ce qui met bien en évidence la manière dont il varie avec a.

206 QUÂTRiftMB PARTIS. — CHAPITRE III.

80. Régulateur isochrone à contre- poids de Meyer ( * ). — Reportons-nous à la théorie du régulateur à boules (75), eij conservant les mêmes notations. Dans le régulateur dont nout nous occupons actuellement , la douille fait corps avec ui manchon enveloppant l'arbre, et qui se termine inférieure^ ment par un galet £ {Jlg, 119) s'appuyant sur Tune des bran ches £F d'un levier coudé EFG, mobile autour de Taxe F, i

Fig. 119.

l'extrémité duquel se trouve adapté un contre-poids Q. En rai son de son faible diamètre, nous pourrons, sans erreur sensible, supposer que le galet £ se réduit à son axe.

{^) On doit à M. Charbonnier {Bulletin de la Société industrielle de Mul kouse, 1842) l'idée première de rendre constante la vitesse de régime d*im< machine dans laquelle le travail utile est sujet à des variations; il proposait pour arriver au but, l'emploi de contre-poids sans en définir le système. M. Meyer de Mulhouse, séduit par l'argumentation de M. Meyer, à laquelle il avait d'abord été rebelle, résolut pratiquement le problème, dont, dans plusieun cas particuliers, les éléments numériques furent déterminés par M. Charbon* nier. Les résultats de l'observation vinrent ultérieurement justifier les calculi de ce modeste savant.

Nous aurions dû logiquement, au point de vue historique, commencer il exposer la théorie des régulateurs à contre-poids; mais nous avons pensé qu'en nous occupant d'abord des régulateurs paraboliques nous ferions comprendra plus facilement ce que l'on entend maintenant par régulateur isochrone (d'aprèi Foucault).

Dst RtGULATBURS. 207

Soient

E', G' les projections des points E, G sur l'horizontale du

point F ; m l'angle constant GFE;

ke\ l les longueurs des bras de levier EF et GF; q le poids du manchon ; 0 rangle EFE\

La condition qui doit être remplie pour que le régulateur soit isochrone est que la vitesse de régime soit indépendante de l'angle a, sans faire intervenir la résistance au déplacement de la douille.

Le principedu travail virtuel, dans rhypothèsedeBC=CD=ft, donne

\\2) — a'w^smcLCOsoL -— %Fas\noL — 2qb sma. — Q— ^ — =0.

Or on a

EE' = BE'— BE = BE'~ DE - BD = A — 2b cosa,

en posant A = BE' — DE, qui est une constante dont on pourra disposer ultérieurement.

D'autre part EE' = A* tang^ ; nous avons donc la relation

(i3) A- tangç = /i — aôcosa,

d'où

(i3') d(f = -T-sina cos'yc/a.

Si Ton remarque que

GG'=/sin(m-+-<p),

on a

'ilb

rf.GG'=/C0S(w-l- (f)d(f = -7;-9inaC08(^-f-/w) cos*<p rfa,

eiTéquation (12) devient

F Ib

!i4) -à'w^cosa — Va-^qb-'Q -r- cos*<pcos(y -f- m) = o.

Supposons maintenant que Ton dispose de h ou de la valeur moyenne a, de a en vue d'annuler l'angle 9 pour a = a». Nous

ao8 QUÀTRIÈHB PART». — GHAPITRB III.

pourrons prendre k suffisamment grand pour que, lors des plui grandes valeurs de («— «o)', l'angle ç reste assez petit poui que Ton puisse poser sin cp = tangç» coscp = i. L'équation (i4 devient alors

h — ^écosa .

cos m ; sm m

(i5) -à'fv'cosa — Pfl — çr.^ — Q-r (c^^..- ,

Cette équation sera satisfaite, quel que soit a, en posant

= -rr— Sin/?f,

f F a -^ qb -+- Q -T- 1 C08/w — -r sin/w j

et Ton pourra donner k Q, q, m des valeurs telles que ces équations soient satisfaites pour une valeur déterminée de w\ le .problème de Tisochronisme se trouvera ainsi résolu, du moins par approximation.

81. Régulateur isochrone de M, Tchébichef. — En nous reportantau régulateur à boules (75), supposons que la douille C (Jig. 120) soit au-dessus du point fixe B, et que BC, au lieu de

ft^^ )t

se trouver sur le prolongement de AB, fasse avec sa direction

un angle ABC = m. Admettons que la douille D ait un poids Q comparable à celui des boules. Rappelons-nous ces notations

DBS RÉGULATBUES. aog

AB = a, BC = b, CD = c, a étant l'angle que forme AB avec la verticale BD.

Il est facile de voir que l'équation du travail virtuel s'obtiendra (en faisant abstraction , bien entendu, comme plus haut, de la résistance au déplacement de la douille) en remplaçant, dans le troisième terme de l'équation (2) du n^ 75, qi/; par — Q, et a par 180" — (a -f- m), ce qui donne

aflP . r

sin(/72

-i-al

y/p-sin'lm-Ha)^

Si

nous

posons

2flP

Q gà =^'

nous

pourrons écrire

A sin a -4- n

COSiW-t-a

siii(

k'* — COS*(/w-+-a)

Bsiaaa

Soit, comme plus haut, «« la valeur de a qui correspond à la vitesse de régime w^.

La condition imposée par l'isochronisme exigerait que l'on eût Y — 1 = 0, quel que soit «, ou a — «, = da; mais cette condition, dans le cas actuel, ne peut être remplie que par approximation, en égalant à zéro les coefficients des quatre premières puissances de Sx dans le développement de Y — i, en vue de donner des valeurs convenables aux constantes indéterminées A, B, Sy a«. M. Tchébichef a trouvé ainsi

, , ( A = o, 84713, B=o,656ie,

( j = 1,31271, m = a^ = I ig** 10'.

On peut disposer de Wq, dans certaines limites, en calculant ea conséquence la transmission qui relie l'arbre de la machine à

celui du régulateur. Les deux premières des formules (17) don-

neront ainsi deux relations entre les indéterminées -r et aw],

lU. 14

aïO QUÀTRlftMB PàRTIB. — CHAPITRB III.

M. Tchébichef a vérifié, dans plusieurs cas particuliers, ses formules et a pu constater que son système conduisait à l'isochronisme avec une approximation inattendue.

82. Régulateur isochrone à ressort de Foucault, — Foucault a cherché à obtenir Tisochronisme de la manière suivante : le losange {Jig. 121) articulé BCDC est relié à Tarbre

par son sommet inférieur B. Au sommet opposé se trouve la douille D; les côtés CD, CD' sont prolongés en CA, C'A' de longueurs égales à la leur, de manière que les centres des boules A, A' restent constamment dans le plan horizontal du point B. De part et d'autre de Tarbre, les boules'sont reliées par un ressort à boudin, aboutissant aux extrémités des diamètres perpendiculaires au plan CDC, et les deux ressorts sont complètement identiques.

Soit a' la valeur de a correspondant à l'état naturel du ressort; la résistance opposée aux boules par le ressort, étant proportionnelle à son allongement (deuxième Partie, n* 189), peut être représentée par A- (sin a — sin a' ), lorsque Técartement CBD est devenu a, k étant uiie constante. L'équation du travail virtuel donne

ou

a — w' sinacosacfa— aX-fsina — sina') cosaJa = o

sinaf - w*— /•) = — ^sina'.

BBS RtGULATBORS*

Si c^ = o, cette équation sera satisfaite en posant

formule qui permettra de calculer le poids des boules pour une vitesse déterminée iv, connaissant k.

Hais, comme on est obligé de donner une certaine valeur à l'angle a'y la condition de l'isochronisme ne peut être satisfaite que par approximation.

83. Régulateurs à boules conjuguées. — Ces régulateurs, qui sont dus à M. E. Rolland, sont formés de deux systèmes identiques de tringles articulées, à liaisons complètes, situés symétriquement par rapport à l'axe de Tarbre dans un même plan méridien. Des masses sont calculées et disposées sur cer laines tringles, de telle façon que Ton puisse annuler les termes variables qui entrent dans l'expression de la vitesse de régime.

Nous nous bornerons ici à étudier la combinaison la plus simple à laquelle M. Rolland est arrivé :

B£ (yî^. 122) est un bras horizontal fixé en B à l'arbre;

B'E', B*E" deux bras horizontaux égaux au précédent, adaptés à deux douilles B', B" qui ont la faculté de glisser le long de l'arbre et dont l'une commande la vanne.

Les points E'' et E' sont relies par articulations en C" et C par deux tringles C"E", CE' à un levier à angle droit CEC

2ta QUàTRIÈMB partis. — GHAPITEB III.

mobile autour d'un axe fixe projeté en E. Les longueurs WÇ1\ EC'S EC sont égales.

Les points A, Ai sont les centres de deux sphères égales, situés à la même distance de £ sur le prolongement de ÇTIL et sur EC.

Soient

P le poids de chaque boule;

a la longueur des tiges EB, E'B\ E^'B'';

h celle des tiges E''C^ C'E, EC CE' ;

c la distance EA ou EAi;

d l'angle formé par EAi avec la verticale ;

w^ la vitesse angulaire de régime.

On a

BB''=a^sinÔ, BB' =2^0089.

Le travail virtuel de la force centrifuge des deux boules est

IP(V' P(v' — - (âH-csinOjccosOâ^H ^^ (a — ccosOjcsinOiiO = - wj flc ( sin 9 -+- oosô ) fiW ; o

le travail dû au poids des boules,

[h) Pc(cos9-sin9)£/9.

Comme, en égalant à zéro la somme des deux expressions (a), (6), il n'est pas possible d'obtenir pour cv. une valeur indépendante de 9, on adapte respectivement aux deux bras B"E'' et B' E' deux poids Q*' et Q' que nous chercherons à calculer de manière à satisfaire à cette condition. Leur somme de travail étant

{c) -Q''rf.BB'-+-Q'€/.BB'-: -2^(Q''cos9-hQ'8m9)^,

en faisant la somme des trois expressions (a), (6), (c) et égalant séparément à zéro les coefficients de sinO et cos0, il vient

DBS RÉ6ULATBCRS. 31 3

Le système peut donc être réalisé si — ^ a^i; dans le cas

de régalîté, la portion AiC'EB' des tringles du régulateur deviendra inutile, et la vanne devra être commandée par la douille D''.

84. Régulateur pneumatique de Larwière.— Ce régulateur, qui sort complètement de la catégorie des régulateurs généralement employés, se compose d'une pompe à air à double effet £ {Jig. i23 et i24)> mise en mouvement par l'arbre de la machine, dont les deux clapets d'aspiration et de refoulement s, s'f dans l'atmosphère, sont placés à chacune des extrémités du corps de pompe.

L'aspiration a lieu dans un cylindre A par l'intermédiaire d'un tuyau T qui, en se bifurquant près du corps de pompe, aboutit aux deux clapets d'aspiration. Le cylindre se termine à la partie supérieure par un cône qui laisse passer à son sommet, à frottement doux, la tige du piston B. A l'extrémité supérieure de la tige est adaptée une boule B', munie d'une embase cylindrique qui vient reposer sur la troncature horizontale du sommet du cône; son extrémité inférieure est articulée à la manivelle d'une tringle horizontale C qui, en tournant, ouvre plus ou moins la vanne.

Au moyen d'une petite roue D, cannelée sur le pourtour, faisant corps avec une vis adaptée à un registre, on peut faire varier à volonté la section d'un orifice qui établit une communication entre l'air atmosphérique et le dessus du piston.

Supposons que, la pompe arrivée à fond de course, la boule repose sur son siège, ce qui correspond à l'ouverture complète de la vanne. La pompe venant à se mouvoir, il se pro-r dulra dans le cylindre une diminution de pression d'autant plus grande que la vitesse de la pompe sera plus considérable; bientôt le système de B et B' sera soulevé, et l'arbre C fera fermer plus ou moins la vanne; par suite de l'introduction de l'air par Toriflce réglé par la roue D, le système BB' retombera sur son siège, et ainsi de suite.

L'ouverture de la vaqne sera d'autant plus rapidement restreinte que la vitesse de l'arbre sera plus considérable. La

ai4 QUATBifiMI PARTIE. — CHIFITII III.

roue D permet de régler l'introduction de l'air pour une vitesse moyenne déterminée, qui peut être ainsi maintenue sensi-

Fig. n3.

Fig. ia4.

blement constante, lois même q ue la résisunce utile vient a varier.

DBS RÉ6ULA.TBURS. 21 5

La détente étant très-faible dans le tuyau T, nous pourrons en faire abstraction et considérer l'air comme incompressible.

Soient

P la pression atmosphérique ; n le poids spécifique de l'air à cette pression ; 0) la vitesse angulaire de l'arbre de la machine ;. A la surface du piston de la pompe; a celle de l'orifice d'aspiration; p la pression variable dans le cylindre; S la surface du piston B ; Q le poids du système BB' ; r le rayon de la manivelle de la pompe ; B l'angle dont cette manivelle a tourné à partir d'un point mort.

Nous négligerons l'obliquité de la bielle de la pompe et l'effort très-petit, par rapport à Q, nécessaire pour faire fonctionner la vanne.

La vitesse du piston de la pompe étant corsind, celle de

Taira son entrée dans le cylindre B estwr - sinô, d'après l'équivalence des masses ou des volumes. On a donc

wV'sin'0 A=^ V—p

d'où

„ wV'sin'0 A'

iLg li"

Soit maintenant z la hauteur à laquelle le piston s'est élevé à partir de sa position la plus basse, ou pour d = o. Il est clair que l'on à

d'où

iPz '-'

(a) — == sii|20 i

g ta' wj

2l6 QUATEIÈMB PARTIS. — CflAPITRS III.

en posant pour abréger

et remarquant que (ùdt = dO.

Pour que l'appareil puisse fonctionner, il faut que> pour une certaine valeur de 6, on ait

-T sm'ô>i,

ce qui exige que &) soit au moins égal à la valeur 6)t> que nous prendrons maintenant pour vitesse angulaire minimum.

L'équation (a) ne sera donc applicable qu'à partir de la valeur ff^ de 6 donnée par

(b) sinô', = ^,

dz pour laquelle le piston B tendra à se déplacer, la vitesse --j-

étant nulle.

Une première intégration donne

— wS = ( — J-M® — ^i-T-i smaG - sinae'J.

Le piston B sera sur le point de retomber pour la valeur ^j de B plus grande que 0', et plus petite que i8o degrés, donnée par l'équation

Enfin on a, pour déterminer l'amplitude totale Zx de l'oscillation.

Soient maintenant

6)s la vitesse angulaire maximum; , •

û la vitesse angulaire moyenne;

DBS RÉGULATEURS. 21 7

l'écart proportionnel maximum de (ù, qui est une donnée de

la question et dont nous supposerons la valeurau plus égale à ^, de manière à pouvoir en négliger le carré;

9s et 01 les valeurs de ff^ ^^ ^i correspondant à oh;

h la hauteur à laquelle doit s'élever le piston B pour que la vanne soit fermée.

On devra s'arranger de manière que h = Zi pour &) = 6)3. Nous avons, comme plus haut.

* \ 2/1; • \ nj' «,

d'où

8in9. = i-i, co80.= y/2(,-^) = y/|(i-^).

ei

Si maintenant nous posons di= y^ pétant du même

ordre que -> nous aurons n

d'où

* 2 y n sin aô| = sin i /- » cosaô, = — cos i /- •

L'équation (i) donne la suivante :

qui permettra de déterminer Q , dès que Ton se sera donné r et une moyenne valeur de -•

ai8 QUATRIÈU PART». — CHAPITRE III.

L'équation (c) donne» pour &> = &'a»

(a) 8ipae,= 4(^-i)(9,-fH-y^î)^8iny/?

D'après celle formule, on voil que 0i doii peu différer de - ^ el l'on aura une première approximation en posant

(a') 8ina9, = 4g-i)^,^-8my/^,

et enfin une seconde approximation, en portant la valeur déduite de cette formule dans le second membre de Téquation. C'est ainsi que nous avons obtenu les valeurs suivantes :

0, = 62*» 44' oo", G,, = 78»56'28",

(3) ( ^ =" -nr; ®. = 69^38' lo", 0, = 86» Sa'S",

- = ii 0, = 73"44' 3o% 0, = 89'»a5'45''.

L'écart ds — di ayant à peu près la même valeur dans ces irois^cas, soit environ i6 degrés, un déplacement angulaire égal se produit pendant la chute du piston; de sorte que l'appareil ne fonctionne, ou les étranglements dans l'admission ne se produisent, que pendant j ou ^ de chaque révolution. Ce résultat s'accorde très-bien avec l'observation, chaque oscillation étant en effet d'une très-courte durée.

La formule {d) donne maintenant

,^, ,f(-;)-îa-:>"-'"

"7 V^ «)L ^ -^ -(0,-0Jsma0j,

d'où l'on déduira la valeur qu'il faut donner à h.

85. Du mouvement d'une machine à partir du moment où le régulateur entre en fonction. — Reportons-nous au n** 67, dont nous conserverons les notations.

Soient fY(B)dQ, ff(9)d9 le travail moteur el le travail

DBS RÉGUtATBQRS. 2 19

résistant utile; Téquation du numéro précité, qui s'applique au mouvement régulier, peut se mettre sous la forme

^(«^-a>;) = /F(0)^~//(e)de,

en négligeant le travail des résistances passives; on déduit de là

Supposons que la résistance utile éprouve une diminution et que f{6) se trouve remplacé par 9(0); 9(6) pourra, par exemple, être égal au prgduit de/(d) par un facteur constant plus petit que l'unité, diminué d'une constante.

Soient 6)3 la valeur de 6) correspondant au moment où U vanne est sur le point de se déplacer; Sa la valeur correspondante de Q. Pour l'un des régulateurs à boules que nous avons étudiés (76), la fermeture relative correspondant à la vitesse

angulaire w est de la forme k [--^ : |> h étant une con-

stante. On a donc, à partir du moment où &) a atteint «a, en supposant, comme approximation, que le travail moteur soit proportionnel au débouché de la vanne,

,., ij'.p,.,[,,.(^i,)]„.,.

On ne pourra pas, en général, intégrer cette équation; mais, si —— est assez petit pour qu'on puisse le négliger devant

l'unité, elle se réduit à

et peut se mettre sous la forme

en appelant tù" la valeur de &> pour laquelle la vanne est complètement baissée.

220 QUATRiftM PABTIB. — GHAPITKB III.

L'équation (3) a pour intégrale

Si la résistance utile vient à augmenter, il suffira de remplacer dans^ette formule o)s par la valeur 6)i de o) pour laquelle la vanne est sur le point de se lever, et tù" par celle tù' qui correspond au débouché complet.

Considérons, par exemple, le cas d'une manivelle simple à double effet; on a, d'après le n® 69,

P(9)= jQRsinÔ, /.(Ô) = QR.

Supposons que Q ait été réduit à yQ, y étant une fraction,

ttOR

nous aurons ©(0) = vQR, et, en posant a = ^ , ,. ; -t Té-

quation (4) donne

L'intégrale comprise dans cette formule n'étant pas réductible en fonctions simples, on voit que le problème que nous nous sommes proposé de résoudre présente, dans l'un des cas les plus élémentaires, des difficultés de calcul inextricables. Néanmoins il ne nous a pas paru inutile de poser la question.

(*) En supposant que l'on ait constamment F(d)> ^ (^), le maximum que u atteindra sera inférieur à a»", valeur pour laquelle, d'après l'équation (3),

-~7^ est négatif; a» décroîtra ensuite sans pouvoir atteindre la valeur m^, pour

laquelle —t-- est positif. On comprend ainsi comment, par Teffet des résistances passives, que nous avons négligées, il s'établisse, après quelques périodes oscillatoires de u, une vitesse de régime comprise entre les limites u, et ai".

DBS AÉGULATBUftS. 221

NOTE-

D£ l'inFLOBNGB d'uNB RfiSISTANGE GONSTANTB SUR LB HOCYBMBKT OSGILLATOIRB d'UN G0RPS> PRODUIT PAR UNE GAUSB PtRIODim/B.

1. II est à peu près impossible de se rendre compte, a priori, de l'efifet produit par une résistance constante ou un moment constant sur un mouvement oscillatoire de translation ou de rotation autour d'un axe, d'un corps solide, dû à une cause périodique.

Supposons que le mouvement oscillatoire soit défini par une équation de la forme

k-^ = Bcos(/îr-He) dbo,

s étant Tangle que forme le plan méridien d'un véhicule avec un plan vertical de direction fixe, A, B, /z, e étant des constantes, de môme que^, qui représente le terme dû à la résistance, et que l'on devra prendre avec le Bigne — ou le signe +, selon que la vitesse sera positive ou négative. Si l'on choisit convenablement l'origine du temps, on peut supposer

e = o; en remplaçant n par r, s par — /i% g par 7, l'équation ci-dessus prend la forme plus simple

-^ = cos^ ± 7.

Par la nature même du problème , la vitesse -r sera nulle à certains

instants; si 7 était supérieur à l'unité, il arriverait un moment où le mouvement oscillatoire ne pourrait plus se continuer; laissons de côté ce cas, qui ne présente aucun intérôt, et posons 7 = cosa. Nous aurons

(l) ^-5- = COS/±:COSa.

Nous pouvons, si l'on veut, considérer cette équation comme étant celle du mouvement d'un point oscillant suivant une ligne droite, s représentant le chemin parcouru.

QUATtltalB PAftTlI. CHAPITEI HI.

2. Décriyons une circonférence d'un rayon quelconque OA, de centre O, et Boient

ÂOA', BOB' [fig, 125 et 126) deux diamètres rectangulaires;

Fig. i!i6.

t Tangle que le rayon 0/n fait avec OA ;

f le nombre de circonférences que comprend cet angle;

a le point de la circonférence OA défini par Fangle aOA = a.

Nous rappellerons que l'angle /', immédiatement supérieur à f , et qui a le môme sinus, est

/'=(4/-hi)ir-/

lorsque m se trouve entre A et B, et

quand m se trouve entre A' et B'.

Soit /« le temps au bout duquel le mobile atteint une position pour laquelle sa vitesse est nulle. Si l'on a cosr^ > 0, on doit prendre, tant que la vitesse ne change pas de signe ni de sens,

-j-r = COS/ — COSa,

Dans le cas où cos/^ serait négatif^ il faudrait employer l'équation

-— - = cos/-t-coffa,

dt^ *

qui rentre dans la précédente, en y changeant / en / -4- w et s en — ^ ; nous sommes ainsi conduit à supposer cos/g > o, et à faire usage de l'équation (2).

3. Si cosa == cos^o, on ne voit pas a priori ce qui doit se passer. Il est clair que le mobile reste d'abord au repos pour t = t^. Quand on a sin i^ > o,

DES RiGULATIUAS. àa3

cos^ allant en diminuant, le mobile continue à rester au repos; cos/ devient ensuite négatif, et alors on doit prendre la formule (a'), qui ne sera toutefois applicable qu'à partir du moment où l'on aura — cosf >cosa, et c'est alors seulement que le mouvement oscillatoire continuera.

Lorsque sinf^ < o, cost va en augmentant, et le mouvement a lieu sans délai.

L'équation (2] donne, en appelant V la vitesse,

ds

(3) V= ^ = sin/ — sinfj, — (/ — ^0) cosa,

et, en mesurant le chemin parcouru s à partir du point correspondant

(4) s = — cos/ -+- cos/fl — (r — t^) sin/fl — cosa ( -\ •

Comme pour t = t^ le second membre de l'équation [%) est positif,

V croit à partir de zéro et est positif; il atteint son maximum lorsque cos/ = cosa, et enfin devient nul pour la racine t^, immédiatement supérieure à ^0 , de l'équation

(5) sint^ — sin/^ — cosa(/j — t^) =0.

De ce que V > o pour cos^ = cosa, la position m, de m correspondant •àt = t^ ne peut se trouver qu'au delà du point a. Pour une même valeur de /, mais en faisant varier l'angle a, on a

^ =sma(/~/J.

V croit donc avec a et atteint son maximum lorsque a = 90** ; il suit de là que, généralement, t^ est inférieur à la valeur qui correspond à a= 90°, Car si , pour une certaine valeur 4e a , V est nul , pour une valeur plus grande, y est positif. Dans le cas limite on a sin/'i = sin^^, et, en substituant cette valeur dans le second membre de l'équation (3), on obtient

— COSa(/; — /,),

qui est effectivement négatif, comme cela devait être.

Première oscillation»

4. PasMiBa CAS : sin/^ > o (fig. i25) , ce qui , avec la supposition de co8r,> o, indique que le point m, de la circonférence correspondant à l'angle /^ se trouve sur ce premier quadrant AB, et est placé entre a et A, puisque cos/j > cosa.

224 QUÀTRikHB PARTIB. — GHAPITU III.

Soient

nf^^ a* les symétriques de m^ et a par rapport à B'B^

a", a!" les symétriques de a! et a par rapport à AA'; m\ correspond à

(4/ + i)ir --<% d'où il suit que m^ ne peut se trouver que sur

Tare a^ni^.

Si le mouvement oscillatoire continue immédiatement après que Ton a r = /p il est défini par la condition (2'), pourvu que

— cos/, > cosa,

ce qui exige que la position /ti, correspondant à t^ se trouve entre cf et m\. Il faut donc pour cela que t = 2i7r -h tt — a = (2/ -4- 1) tt — a rende V positif, ou que

(6) sina — sinf^ — cosa[(2/ -t-i) tt — a — /,] >o.

Si Ton désigne, pour abréger, le premier membre de cette inégalité par 7, en faisant varier t^ depuis 2i7r jusqu'à 2/7r -h a, on a

-r? = — cos/« H- cosa < o.

La fonction 7 de t^ est donc décroissante et sera positive pour /, = 2/ tr si

tanga "p-iz — OL ou a > 64**, et négative pour /, = 2/7r -f- a. Pour toutes les valeurs de a comprises entre 64 et 90 degrés, il y a donc une valeur t\ . qui annule 7,

et lorsque t^

la condition est satisfaite.

On a pour

2 ITT -h 24°,

2/Tr -♦- 70®.

Lorsque Ton aura ? ^ / > O" « < ^4**» lo mouvement s'arrêtera jusqu'au

moment où le point /n viendra en a\ et c'est seulement à partir de ce moment que commencera la seconde oscillation.

5. Deuxième cas : sin/o <o [fig, 126), ce qui, avec cos/^ > o, indique que m^ se trouve sur le quatrième quadrant, et, comme cos/, > cosa, il ne peut être situé qu'entre tf et A. Dans le cas actuel, on a

DBS RÉGULATEURS. ^^.S

cette limite supérieure correspond au symétrique ni^ de m, par rapport àBB'.

Comme V est maximum en a, le point m^ ne peut se trouver que sur l'arc à^m\. S'il tombe entre m\ et a\ on a — cos/ > cosa, et le mouvement oscillatoire continue sans interruption; pour qu'il en soit ainsi , il faut que

ou que cette limite, substituée à r, rende V positif, ou enfin que sina — sin/j — cosa[(2i -f- 3) w — a — z^] >o.

Ed désignant par 7 le premier membre de cette inégalité, on a

-i = — cosr^ •+- cosa,

qui est négatif pour toutes les valeurs admissibles de r,, c'est-à-dire pour