( 2 / -+- 2 ) TT — CK

/, ^ ^. . { ; par conséquent ^ est une fonction décroissante de t^

entre les deux limites ci-dessus.

Lorsque *

f = 2 sina — TT cosa,

et cette valeur sera positive si

tanga > - ou a > 67° 3o'environ ;

<p est positif si

tanga -h a > tt . ou a > 64*.

Pour a compris entre 57* 3o' et 64 degrés, il y a donc une valeur ''• ^, '."*"^ de K qui annule ?, et pour Zo<^o le mouvement

oscillatoire n'éprouve pas d'interruption, comme pour a > 64°.

Lorsque

a = 57'»3o', on a f^ = ( 2/ -h 2) tt — 67*30',

Si m^ tombe entre B et a', on a — cosr^ <cosa; le mouvement s'ar- III. i5

rôte jusqu'au moment où — cosr = cos<x, c'estrà-dire lorsque m est venu

en d. Cette circonstance se présente quand r = (2/ + 2) tt + - rend V positif, ou quand

I — sinr, — cosa 1 (2/ -+- 2 ) tt h ^0 1 > <>•

Si le premier membre 7 de cette inégalité est une fonction décroissante de /, entre '• ^ ) • \ » ^®^^® fonction est positive pour a = 90"

et négative pour a = o. Elle s'annule pour a = 4o''3o' environ; de sorte que m^ se trouve entre a' et B pour les valeurs de a comprises entre 40'» 3o' et 57° 3o'.

Pour a < 40° 3o', /ti, tombe entre a et B; cos/f est positif, mais inférieur à cosa; il y a donc un temps d'arrêt jusqu'au onoment où m, ayant dépassé B, arrive en a', et c'est seulement alors que commelièë la seconde oscillation.

En résumé, pour qu'il n'y ait pas d'interruption dans le mouvement,

il faut que a < 64'*3o', ou ^ 7 .

Oscillations successives.

6. Examinons maintenant ce qui se produit à la fin de la seconde oscillation.

De la formule ( 2' ] on tire

(7) V= ^ = — sinr-4-sinr, — cosa(/ — /J

ou, en ayant égard à l'équation (5),

(8) V= — sinr-+-2sinr, — sin/j — (/ — fo)cosa.

^ / ^ px sin/, >o 8inr>o a>64° ,, . „

PEBM.EB CAS (/ff. ia5) : ^J^^^, ^;^^^, ^^J^ ; en dautres

termes, m^ tombe entre a' et m\,

Soiept t^ le temps au bout duquel se termine la seconde oscillation et m^ la position correspondante de m. On a

(9) — sin/j ■+■ sinr, — ('2 — ^1) cosa = o.

Si, dans l'équation (8), on fait ^ = r, + 27r, on trouve

V = 2{8inr, — sin/,) — (^, -h 2tr — /J cosa ;

DBS RÉGULATEURS. 2^7

d'où, en vertu de la relation (5),

V= 2C0Sa.(/, — /^ — tt) <o.

Le point m, se trouve ainsi au-dessous de m,, et, à fortiori, d'après ce que Ton a vu plus haut, m^ est compris entre d et la symétrique m\ de 17I3 ; la quatrième oscillation succède donc immédiatement à la troisième.

Les points /n,, m^,,,. s'approchant de plus en plus de a"^ il arrivera un moment où m^j se trouvera entre a!" et a', et il y aura un arrêt en a*" entre la ay*^*" et la ( a/-*-i)'*^ oscillation; mais, à partir de ce moment, le mouvement prendra un caractère périodique, et il y aura un arrêt constant entre une oscillation de rang pair et la suivante.

Deuxième cas : Des conditions précédentes, J* ^ 1 ' '^ sont

^ ' COSfj> o cosf, <0

les seules qui subsistent; en d'autres termes, m^ tombe en deçà de a\ et

il y a un arrêt en ce point; mais à partir de là tout devient périodique.

Les oscillations seront donc toutes périodiques et séparées Tune de l'autre

par un arrêt constant.

a>64° cos ^ ^ o -^ •»

Troisième cas : . ® '^ ou < 57° 3o', où {fis. 1 26) le point m. tombe

entre 1/ et mt^.

Les circonstances se produiront de la même manière que dans le premier cas, c'est-à-dire qu'au bout d'un certain temps les oscillations de rang pair commençant à partir de a" seront identiques et séparées des oficillations de rang impair par un arrêt constant.

Quatrième cas : Des conditions précédentes, les suivantes seules subsistent :

cos/o>o, sinr,,<o.

n y a un arrêt entre la première et la seconde oscillation , puis les choses se passent comme dans le premier cas.

Des oscillations périodiques,

7. Nous sommes, par ce qui précède, ramené aux oscillations qui ont pour point de départ d, a" ou oT. Nous choisirons le dernier de ces points.

Reprenons l'équation (5), en y supposant f, = a/ir — a; si nous posons f, = aiTT -f- x, nous aurons

sinx — X cos a = a cosa — sina,

d'où l'on déduit les résultats suivants : '

Pour que la seconde oscillation succède immédiatement à la première, il faut que Ton ait a: > tt — a, ce qui n'a lieu qu'à partir de a = 60°. Audessous de cet angle, on a, pour la durée de l'arrêt tt — a — x , entre la première et la seconde oscillation,

i5o° pour

La seconde oscillation est identique à la première, et ainsi de suite.

Pour calculer la durée de la seconde oscillation lorsque a > âo°, nous appliquerons l'équation (9), qui donne, en y faisant r, = 2/?r -4- c

et t^ = 2l7r -4-X,

8in2 + z cosa = sin j? + x cosa,

pour a = 60°, z = 1 38° « — j:( durée de l'oscillation ) = 9° 3o' 70°, 160° ( » ) 2",

La dernière des valeurs de z — x étant négative, les premières oscillations de rang pair n'existent plus à partir de a = 80°, comme pour a = 90°, cas pour lequel le mouvement est continu.

Les arrêts entre les oscillations de rang impair et celles de rang pair, mesurées par tt — z-hfjr — a) =27r — (2-4-a), sont :

pour a = 60°, 162°,

Pour a = 80°, l'arrêt entre deux oscillations consécutives est

TT — x-+-7r — a=r 91».

DBS RtGULATJiURS. 229

Ainsi, au bout d'un certain temps, qui pourra être très- long si a est très-voisin de 90 degrés, le mouvement devient périodique; mais deux périodes consécutives sont séparées par un arrêt constant.

En résumé :

i"" Au bout d'un certain temps, dépendant des conditions initiales du mouvement, et qui sera d'autant plus long que a différera de moins de 90 degrés, le mouvement devient périodique;

2° Au-dessous d'une valeur a^ de a comprise entre 5o et 60 degrés, deux oscillations sont identiques, mais sont séparées par un arrêt constant;

3° Dans les autres cas, on a une série de groupes de deux oscillations consécutives non identiques ; deux groupes successifs sont séparés par un arrêt constant, qui devient nul lorsque a atteint 90 degrés.

Ces différents résultats sont en désaccord avec ce principe a priori posé par Laplace : L'état d'un système matériel dans lequel les influences des conditions initiales du moui^ement ont disparu par suite des résistances développées dans ce mouvement est périodique comme les forces qui sollicitent ce système,

La périodicité, telle qu'elle est comprise dans cet énoncé, ne peut avoir lieu que si les résistances sont des fonctions impaires de la vitesse.

?3o QUATRiftHB PARTIB. — CHAPITRE lY.