Des tiges guidées, — Les équations du n° 14-3 de la
dv deuxième Partie» en y faisant -^ = o, donnent la solution de
cette question; mais cette solution peut recevoir une simpli* tication notable en procédant de la manière suivante :
Supposons, pour fixer les idées, que le mouvement de la tige considérée soit vertical, qu'elle s'élève sous Faction d'un système de forces ou de leur résultante appliquée en B
Fig. ijg.
^ir
Si
ijig. 129), et dont nous appellerons X, Y les composantes horizontale et verticale.
Soient
2 / la distance des deux couples de guides, A, Ai et A', A', ;
2 e l'épaisseur de la tige ;
0 le milieu de la portion de son axe de figure comprise entre AA|, A A, ;
Xy y les distances du point 0 à Y et X;
/4e coefficient de glissement que nous supposerons le même pour les quatre appuis; toutefois, nous représenterons par/' ce même coefficient pour A', A',, pour faciliter la discussion, comme nous le verrons ci-après.
Admettons, sauf vérification ultérieure, que la tige s'appuie contre les guides A, A' situés du môme côté de Taxe de la pièce, et dont nous désignerons par N, N' les réactions normales. Nous aurons pour les conditions d'équilibre de la tige, en prenant le point 0 pour centre des moments,
d'où
(N-N')/- {^f-^Kf)e-hYx^Xy=o;
Pour que les choses se passent comme nous l'avons supposé, il faut qu'après avoir supposé/' =/ on obtienne pour N et N' des valeurs positives; et, s'il en est ainsi, la première des équations précédentes fera connaître la relation qui doit exister entre X et Y pour que le mouvement de la tige soit uniforme.
Hais supposons, par exemple, que l'on obtienne pour N' une valeur négative, il faudra faire une autre hypothèse sur le choix des guides qui doivent fonctionner; celle qui offre la plus grande probabilité de réussir consiste à substituer A'^ à A'; mais on voit de suite que les formules (2) s'appliqueront au cas actuel, en y remplaçant N' par — N', et comme le frottement ne change pas de sens, /' par — /, excepté dans les termes en e, parce que le moment de N'/' change de signe. Si Tune des valeurs de N, N' était négative, on essayerait les deux autres hypothèses, dont l'une naturellement doit réussir.
91. Fis à filet rectangulaire. — Nous admettrons, pour fixer les idées, que Técrou est fixe et que l'axe de la vis est vertical. Nous supposerons que la vis est sollicitée par une force Q, dirigée suivant son axe [fig. i3o), et, pour ne pas avoir à tenir compte de frottements latéraux, que cette force et le
a38 QUATRIËMB PARTIE. ~- CHAPITRE lY.
frottement sont maintenus en équilibre par un couple (F, de bras de levier a, perpendiculaire à Taxe ci-dessus.
Soient
r le rayon du cylindre de Thélice moyenne du filet;
I l'inclinaison de Thélice sur un plan perpendiculaire à Taxe;
/ le coefficient et a l'angle de frottement de la vis sur Técrou.
La saillie du filet étant relativement très-faible, on peuti sans erreur appréciable, supposer que les réactions normales de récrou sur ce filet se réduisent à des forces réparties sur rbélice moyenne. Nous considérerons, dans ce qui suit, le moment Fa comme positif ou négatif selon qu'il tendra à faire descendre ou remonter la vis.
Désignons par N la réaction normale de l'écrou sur la vis correspondant à un élément de l'hélice moyenne.
i<* Supposons d'abord que Q tende à faire descendre ou fasse descendre la vis d'un mouvement uniforme. Dans ce caSy c'est la partie inférieure du filet de l'écrou qui réagit sur le filet de la vis, et à l'inspection de la^îg*. i3o on voit que les conditions d'équilibre de translation de la vis parallèlement à l'axe et de rotation autour de cet axe s'expriment par
Q = IN (cos/ -+-/sinO = (cos/ -+- /sini) 2N, Ya = 2N{/c08i — sini) r = r {/cosi — sin/) 2N ;
CALCUL DES RÂSISTAIfCBS PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 289
d'où, par rélimination de 2Ny
' cosn-/sm« ^ ^^ '
SI i<Cocy le couple devra tendre à produire le mouvement;
Si I = â, la force Q fera équilibre au frottement;
Enfin, si i>>a, il faudra appliquer à la vis un couple tendant à s'opposer à un mouvement de descente.
7'° Supposons maintenant que la vis ait une résistance à vaincre (c'est ce qui arrive notamment quand on serre une vis dans du bois ou du métal); nous devrons, dans ce qui précède, changer Q en — Q etN en — N, puisque c'est la partie supérieure du filet de l'écrou qui réagit, et enfin /en —/, puisque le frottement ne change pas de sens. On trouve ainsi
/ \ r> r\ sin/-h/co8z r^ , , .V
2 Fa = Qr . *^^ . . = Qrtang(g + / .
Pour que l'on puisse serrer la vis, il faut que Fa>» o ou
Pour 1^90*»— a le serrage sera impossible.
La formule relative au dévissage s'obtiendra en changeant /en —/dans la précédente.
On arriverait à des résultats semblables à ceux que nous venons d'obtenir en supposant la vis fixe et l'écrou mobile sollicité par la force Q et le couple (F, — F).
92. Fis à filet triangulaire. — Conservons les notations du numéro précédent en considérant le premier cas que nous avons examiné.
Soient {fig. 1 3 1 )
mz la verticale du point m du filet où s'exerce la réaction normale N ;
my la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'axe de la vis ;
mx la portion de l'horizontale perpendiculaire à my située en sens inverse du mouvement de rotation de la vis ;
24o QUATRlitMB PARTIE. — CHAPITRE IV.
X l'inclinaison du profil du filet sur my;
a, ^, y les angles formés par N avec mxy my, mz,
Fig. i3i.
• Vif
En exprimant que la direction de N est normale à mxy my-j
on a
cosacos/ -4- cosysin/ = o,
008^008^ 4- CO87 sinX = o ;
d'ailleurs
COS^a ■+- COS'P -t- 008*7 = ' 1
COSa =
— tangi
v/i -+- tang'i -h tang'X
Les équations d'équilibre de translation et de rotation soni par suite
N/8in/) = ^-=
lang*/ -+- tang^X
F«=r2(N/co8i d'où
f — Neosa) = I
= ( /cosi —
tang/
v/i -htang^/H-tang
in A IN,
p ^ ^ Qj, /cos^V' -*- tang*/ -+- tang»^ — tang/ /sin / ^i-h tang'/ -h tang'X h- i
Cette équation se discutera de la même manière que Téqua-
CALCUL DES RÉSISTÀNGKS PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 2^ l
lion (i) du numéro précédenl à laquelle elle conduit d'ailleurs, en supposant X = o.
93. Frottement des tourillons sur leurs coussinets, — La considération du mouvement d'un tourillon sur son coussinet se ramène à celle d'une section faite par un plan perpendiculaire aux génératrices.
Soient (/g-. iSa)
Fig. i3a.
C le centre du coussinet;
0 la position du centre du tourillon lorsque l'arbre eslaure-
poSy le tourillon reposant, par son point le plus bas m, sur
son coussinet; p le rayon 0 m du tourillon.
Dès que, sous l'action de la force motrice, l'arbre se met en mouvement, de la gauche vers la droite, par exemple, le tourillon roule à droite sur le coussinet jusqu'au moment où sa réaction tangentielle atteint son maximum, c'est-à-dire la valeur du frottement de glissement.
Soient maintenant
0| la position que prend alors le centre du tourillon ;
mi son point de contact avec le coussinet;
F la résultante des forces qui agissent sur le tourillon, estimée
dans le plan de la figure, et qui passe nécessairement par
le point m,; N la réaction normale du coussinet en /n, ;
24^ QUATKiftMB PABTIB. ^ GHAPITtl Vf.
,A l'intersection de la direction de F avec la yerticale du
point 0 ; y l'angle connu mAm,; d l'angle inconnu mCmi.
On a^ d'après la Ogure, en se rappelant que l'angle Cmi A est égal à l'angle de frottement a,
et> pour rétendue du roulement,
iw/w, r= p(7-ha);
comme on a F= N s/i-hf', le moment du frottement, pris en valeur absolue, a pour expression
N/p = Fp
Les mêmes considérations s'appliquent au frottement de l'œil d'une poulie sur un tourillon fixe.
94. Équilibre des forces appliquées au treuil en ayant égard au frottement. —- Pour fixer les idées, nous supposerons que l'axe du treuil est horizontal et que la résistance à vaincre Q est verticale.
Soient (Jig. i33)
Fig. i33.
P la puissance censée comprise dans un plan perpendiculaire à l'axe;
CALCUL DES RâSISTAlIGBS PASSIVES BANS LES MACHINES, ETC. ^^3
a, a' les distaoces de ce plan aux milieux A, A' des portions des axes des tourillons comprises dans les coussinets;
by V les distances aux mêmes points du plan perpendiculaire à Taxe déterminé par la direction Q;
R le rayon de la roue tangentiellement à laquelle agit la force P;
rie rayon du cylindre;
p celui des tourillons;
9 Tangle que forment les directions de P et Q.
Le mode de répartition des réactions normales de chaque coussinet sur le tourillon qu'il reçoit est inconnu; mais, comme la largeur du coussinet est relativement faible, on peut, sans grande erreur, supposer que leur résultante passe par le milieu A ou A' de la portion du tourillon renfermée dans le coussinet. Désignons par N, N' les réactions normales des coussinets en A, A^
La force Q se décompose en deux autres parallèles à sa di-
reciion Q r ^, Q v — y y comprises dans les plans (S), (S')
perpendiculaires à Taxe en A, A' ; la force P se décompose
de la même manière en deux forces parallèles P
-f 9 comprises dans ces mêmes plans. Mais la première d'entre elles, par exemple, peut être considérée comme la
résultante des forces verticale et horizontale P > cosç,
/ P : sîn<p. Il suit de là que la résultante des forces com-
prises dans le plan (S), qui passe nécessairement par le milieu de Tarête de contact du tourillon et du coussinet, a pour expression
en remarquant que b -J- 6'= a ■+- a' ; le moment du frottement est par suite
- N/p = -^P v^f P «' cos <? H- Q 6' )=• -+- i»' a'^ m\' * .
a44 QOATRIÈm PAIT». *- CBAPITRS IT.
On obtiendrait de mémey pour le moment du frottement relatif à l'autre tourillon,
L'équation des moments est par suite
PR Qr '^P, [i/'l Pu' C08? -h iib'Y-^ ?'a" sin'»
^ (Pflcosî>-^Q^ )=•-+- P'rt'sin'f] =0.
SI les forces P et Q sont parallèles ou si 9 ^ o, l'équation précédente devient
PR^Or--/L.(P^Q) = o,
et fera connaître l'effort P qu'il faut exercer tangentiellemeni à la roue pour faire équilibre à la résistance utile Q et aux frottements des tourillons.
Mais, si 9 n'est pas nul, en faisant disparaître les radicaux, l'équation (i) est du quatrième degré en P, de sorte que la solution du problème est assez compliquée ; mais on peut la simplifier en remplaçant, par approximation, en vertu d'un théorème dû à Poncelet, chacun des radicaux par une fonction linéaire des racines des deux carrés qu'il renferme (*), ce qui sera généralement possible, car une discussion simple permettra généralement de voir a priori quelle doit être la plus grande de ces deux racines. Supposons, par exemple, que dans chaque radical le premier carré soit supérieur au second; nous aurons, pour déterminer P, l'équation
(2) PR~(}r=— ^P— [o,96(Pcosy-f-Q)-HO,4oPsin(p],
en commettant une erreur relative au plus égale à y^ du terme dû au frottement, qui est déjà relativement petit.
On peut encore opérer autrement en négligeant devant l'unité le carré du frottement, qui est toujours une petite frac-
(') Voir la Note placée à la fin du Chapitre.
CALCUL DES RÉSISTANCES PASSIVES BAlfS LES MACHINES» ETC. ^^5
Uon. En supposant /= o, Téquaiion (i) donne, comme pre-
niière approximation, P = Q |r ; en portant cette valeur sous les radicaux, on trouve
P:-^ Qr-f-
EnGn, si dans l'équation (i) on suppose a = a' =: & = &', r = R, elle devient celle de la poulie, dont nous nous occuperons plus loin d'une manière spéciale, en tenant compte en même temps du frottement et de la roideur des cordes.
95. Du frottement des épaulements et des pivots. — Soient Q la résultante des efforts longitudinaux qui agissent sur un arbre; r„ r« les rayons extérieur et intérieur d*un épaulement; dans le cas d'un pivot, on supposera r« = o.
Comme on ne connaît pas le mode de répartition des pressions de l'épaulement sur le palier, on fait une hypothèse qui consiste à supposer que ces pressions sont uniformément réparties sur la surface de contact.
Mais alors on retombe sur le problème résolu au n'' 1^7 de la deuxième Partie, et Ton a pour le moment du frottement
Si l'on appelle r' le rayon * de la circonférence moyenne
de la zone de contact; / la largeur Ti — r» de cette zone, on reconnaît sans peine que le facteur de Q/ou le bras du levier moyen du frottement prend la forme
lar
et l'on voit que l'on pourra prendre cette longueur égale à r' toutes les fois que / sera petit par rapport à ce rayon.
246 QCATRIËMI PART». — CBAFITBB 1T«
96. Du frottement dans les articulations.^ Soient (Jig. 1 34 ) BA, AB' deux pièces articulées en A;
Fig. 134.
p le rayon de l'articulation;
S, S' les centres instantanés deBA, AB', tous deux situés sur
la normale à Télément que décrit le centre de Tarticula-
tion ; û>, w' les vitesses angulaires correspondantes.
Concevons que Ton imprime à tout le système une rotation, autour de S, égale et contraire à o), de manière à ramener BA au repos; la pièce AB' tournera alors autour du point Qxe A avec la rotation &>' — &), et le glissement élémentaire de l'articulation sera ±:p(e«)'— w) c?/, en prenant le signe db selon que Ton aura a}'^a. Si F est la résultante des forces qui agissent sur AB'» le travail élémentaire du frottement sera
p (w' — w) dt.
Appliquons ces considérations à Texcentrique circulaire en nous reportant aux n"* 34 et 3S, dont nous conserverons les notations, et à la Jîg. 78.
Nous avons trouvé pour la vitesse angulaire instantanée de la bielle
"=ÂS' or on a
AS = -^ = -^, sinABO = 1 8in9, cosv cos9
BK = L cos ABO = L (i - je' sin'ô), en négligeant la quatrième puissance de l'obliquité; d'où
,c Lfï-ie'sin^e)
As= ï-T )
CALCUL DBS RfiSiSTAKGBS PA8SIYB9 BANS LES KAGHINES, ETC. a^'J
par suite
»'= wecos9(i-+-^e'sin*Ô).
On aura alors» pour le travail élémentaire dû au frottement,
¥fp ' ^ (i— 8C08Ô--ii*8in'9co8Ô)«d5r
ou y comme (ûdt = d6,
(i) -S£L=(i~scos0 — i5»sm'OcosÔ)rfO.
Supposons en particulier que l'obliquité soit assez faible pour en négliger le cube, et que le mouvement soit déierminé par une force constante P appliquée en B, et dont le sens change après chaque demi-révolution; F sera la résultante de P et de la réaction normale N des patins sur les glissières, en négligeant le frottement correspondant; décomposons la force P en deux autres, Tune normale à OB qui détruira N, et l'autre dirigée suivant AB, et qui ne sera autre chose que F ; mais cette dernière a pour expression
= P(i-+-ie'sin»0),
cosABO de sorte que le travail élémentaire (i) devient
-^£^ (i ~ s cosô -f- i s' sin^Ô) rfô.
Pour une demi-révolution le travail sera l'intégrale de cette expression prise entre les limites 9 = 0, 0 = tt,
fnpP
97. Du frottement dans les engrenages cylindriques. — Nous ne considérerons que le cas d'un engrenage extérieur; celui d'un engrenage intérieur s'en déduira en changeant le signe du plus grand des rayons des circonférences prlmitives.
MS QOATftIÈHI PABTIK. — GHAPITRI IV.
Soient (/gr. i35)
0', 0 les centres de la roue menante et de la roue conduite,
la rotation de cette dernière étant censée avoir lieu de la
gauche vers la droite ; R^ R les rayons des circonférences primitives de ces roues; A le point de contact de ces circonférences; m le point de contact des protils mc^ de la roue 0', et ma de
la roue 0, p la normale m A; 9 son inclinaison sur mO; ds Tare décrit dans le temps dt par un point de Tune ou l'autre
des circonférences primitives;
Fig. i35.
P, Q les efforts, respectivement équivalents à la puissance et
à la résistance utile, tangents aux circonférences 0, 0'; N la réaction normale de la dent ma sur ma' ; N' la réaction égale et contraire de ma' sur ma; /le coefGcient de frottement.
LesfrottementsN/,N'/ étant directement opposés, il suffit de trouver la direction de l'un pour obtenir celle de l'autre* Le glissement p ( Gj + V) de ma sur ma! ayant lieu vers la
gauche 9 les directions de N'/, N/ sont respectivement dirigées vers la droite et vers la gauche, comme l'indique d'ailleurs la figure. Soient H et H' les projections de 0' et 0 sur les directions
de N et N', on a
0'H'=R'sin^, 0H=:R8in<p;
H'/yi = R'cosf -h/?, H/n = Rcosf — /?.
Mais on a, pour exprimer que les forces, qui sollicitent les roues O et 0' considérées comme libres autour de leurs axes respectifs, se font équilibre,
PR = N.O'H'-f-N/.H'w, QR=N'.OH-f-N'/.H/w,
ou, en se rappelant que N = N',
d'où
;P=N[8inf-H/^cos?4-g>)], 0=N[ôin(p-f-/(cos<p~g)]5
sinipH-/^cosy-4-^)
■Il ■■■^■■■■ii 1^^^^— ■■■ ■ ■ ■■ » •
8iny-f-/fco8«p — ^j
Si / était nul on aurait P = Q ; la force tangente à la circonférence primitive 0' équivalente au frottement est donc F=P — Q, et l'on a
8in?-4-/fcosç--|;j Soient
A| le point de la circonférence primitive 0' qui doit succéder à A sur la ligne des centres au bout du temps <//; A,mi la normale abaissée de ce point sur ma^ ; I la projection de A sur cette normale.
On a
AA,= dsj A,I = dp,
a5o QUATKiftHB PARTIB. — GHÀFITIB IT.
et dans le triangle Ai AI
(I) rf. - *
sin^
Le travail élémentaire ¥ds du frottement a, par suite, pour expression
sinçl 8inî--i-/^co8f — gj 1
¥(ls =
et le travail total, en supposant constante la résistance Q,
^ ' / suif [8in^H-/(C087 — ^J I
Le profil des dents de la roue 0 pouvant être défini par une équation de la forme /? =:F(9), la détermination de ^/se ramène à une quadrature; Tintégraiion peut s'effectuer pour les engrenages à flancs, à développante de cercle et à lanterne (*); mais nous nous bornerons à donner la solution approchée admise dans la pratique.
Si nous négligeons le carré def, qui est ordinairement infé* rieur à j~, on a
pdp^
Cette formule montre déjà que 6/, pour l'étendue du contact d'un couple de dents, sera d*autant plus faible que p restera plus petit. Il y a donc avantage, en vue de diminuer le travail absorbé par le frottement, à réduire à peu de chose l'étendue du contact entre deux dents; dans ces conditions, <p s'écartant très-peu de sa valeur 9* qui correspond au moment où le contact a lieu sur la ligne des centres, l'équation (1) peut, par approximation, être remplacée par la suivante :
dp = sïiïfft dSf d'où p = sinf,f«
( * ) roir, à ce sujet, mon Mémoire sur le frottement des engrenages coniques et de la vis sans fin (Journal de V École Polytechnique, XXXHI" Cahier).
CALCUL DES RfiSISTlKCBS PASSIVBS DANS LIS HACHIKBS, ETC. sSl
et réquation (3) par
d'où
expression dans laquelle s est censé représenter le pas de l'engrenage. Le travail utile étant ^.= Qj, l'expression précédente peut se mettre sous la forme suivante :
Soient n, n' les nombres de dents des roues 0' et 0; on a
d'où
hH^-i)
Toile est la formule que Ton emploie dans les applications pour apprécier le travail absorbé par le frottement.
Cette formule (6) s'applique également dans le cas d'un engrenage intérieur, en changeant de signe le plus grand des nombres n et n'.
