Du frottement dans les engrenages coniques, — Soient
SO', SO les axes de la roue menante et de la roue conduite;
w', 0) les rotations de ces deux roues qui ont lieu respectivement de la droite vers là gauche et de la gauche vers la droite pour l'observateur couché successivement suivant SO' et suivant SO en ayant la tête en S ;
SA, Sm les génératrices de contact des cônes primitifs et d'un couple de dents auxquelles, comme on le sait, le plan SA m est normal ;
^9 Q les forces équivalentes à la puissance et à la résistance utile, respectivement tangentes à deux circonférences des cônes SO', SO passant par un même point A de Tarête de contact SA;
QUATRliUHB PABTIB. — GBAPITBB lY.
f^yr les rayons 0' A, OA de ces circonférences;
a' y a les angles connus O'SA, OSA;
a Tangle AS m;
9 l'angle des deux plans SAO, SA m;
A m la normale menée aux dénis par le point m;
ma', ma les lieux des pieds des normales abaissées des points
des circonférences 0' A, OA sur les dénis correspondantes; N la réaction normale de la dent Sma sur la dent Sm'a\ qui
est égale et de sens contraire à Taction N' exercée par la
seconde dent sur la première; n le point d'application de N'; /le coefficient de frottement des dents,
Fig. i36.
En déterminant le sens du glissement de la dent Sma sur la dent Sma' considérée comme fixe, ainsi qu'on l'a fait pour les engrenages cylindriques, on détermine le sens de N'/, tel que l'indique la figure, par suite celui de N/*
Par le point K où la direction de N rencontre SA, menons les perpendiculaires KV, Kl à S0% SO, en prolongeant la pre-
GALGDL DBS BÉSISTAHCIB PàSSITBS DANS LB8 MAGIlIIIBSy BTC. 253
mière en K^ au delà de A; la perpendiculaire Ky au plan des axes, et la parallèle Kz k l'axe SO'.
Les angles trièdres SKnx, SKnjr, ayant pour sommet le point Ky donnent
C08(N, x) = — cos/iKj:= sinasina'— cosacosa'sin^, COS(îî, X) i= — C08« K r = COSasiQip.
En menant la parallèle KHx à N/» l'angle trièdre SKH, dont K est le sommet, donne également
cos(N/, x) = cosHKo; = cosasin^.
Enfln il est visible que
(N/,7)=îrK>=y.
Abaissons du point n la perpendiculaire ni au plan SK:r, la perpendiculaire n/? à SA; ni est le bras de levier» par rapport à SO', de la composante de N/ parallèle à Kx; le triangle npl
donne
KV
nl = npsitt9 = /2Ssinasin«p = SKcosasinasincp = -; — , sinacosasin?.
SI J est la projection de /i ou / sur Kx, VJ est le bras de levier de la composante de N/ parallèle à Ky, Or
l'J = l'K -H KJ = rK -h nKcosnKx = l'K -+- SK sina cos^iK^
,,j^ / sinacos//K.r\
d'où, en remplaçant cos^iK^ par sa valeur trouvée plus haut,
rj = l'K (cos'a -H slnaCOSaCOtfl'coSy).
L'équation des moments appliquée à la roue SO' est
Pr'- Ncos(N,/) TK - N/cos(N/, x) ni - N/cos (N/,r) l'J = o, OU, en vertu des valeurs que nous venons de déterminer,
(l) Pr' = I'K(C08aCOSy-H/cOSyCOS*a 4-/cOtû' sinacOSa) N.
On aurait à faire un calcul identique pour la roue SO; ce-
254 {H^ATAlftaiB PAKTIB. — GI^PlTftl lY.
pendant la formute relaiive k ceue roue peul se déduire irs^ médiatement de la figure et de la formule (i), en yeriu d'une certaine analogie qu'il est facile d'établir. Quoi qu'il en soii, on a
(^) Qr= IK(cosasinf -f-/cos«pcos'a — /cotfl8inacosJc)N'>
Des formules (i) et (2} on déduit, en remarquant que
IR r
P sinç H-/co8<p cosa sina -h /cota' sina Q suif H-/cosy cosx — /cota'sina
Si le frottement était nul» on aurait P=:Q; la différence F = P — Q représente donc la valeur de la force tangente à la circonférence O'A équivalente au froliement, et l'on a
. F = Of— sînafcot^H-cot/r')
siny-+-/cosY sina —/cota sina
On peut mettre cette expression sous une autre forme; menons, à cet effet, au point 0 dans le plan OSO' une perpendiculaire à SA limitée en L' et L à SO', SO, et posons
R'=AL', B = AL, p=:km;
nous aurons
(4) ®^®*~^' cota'=-g7> cotfl=-g-5
par suite
^fP (i - i)
Siny H-/COS<ï> cosa — î; /?
formule aussi simple que celle qui lui correspond dans la question des engrenages cylindriques, el sur laquelle on retombe d'ailleurs en supposant a = o.
Proposons-nous maintenant de trouver l'expression du travail élémentaire F (/5 du frottement, ds étant l'élément de la circonférence OA. Soient (^g^. i3G et 137) SA m, SA, m, deux plans normaux à la surface de la dent S ma' menés par deux
CALCUL DBS RASISTAKCBS PÀSS1YB8 1>A!I9 LU MAGlIITfBS^ ETC. a55
points À, Al distants de ds de la circonférence O'A; nous aurons
ASw = a, A, S/w, = a -+- rfa.
Soit AAi/nmi le quadrilatère spbérique déterminé par les quatre droites SA, SA^ S/n, Smi sur la sphère de centre S et
Fig. 187.
d'un rayon égal à SA. Les éléments de surface AAi mm,, Smm, sont perpendiculaires au plan SA m, et la projection de l'aire Sa, m, sur le plan SA m, peut être considérée comme étant égale à elle-même; et comme Taire SA m est égale à la différence des projections des aires SAim,, SAAi sur son plan, on a
SA* SA» , . , SA , . a = (a H- doL) ds Sinç,
COiada.
d'où
(6) rf,= SA4^=R'£5î^=R^
sinip sin<p sinf
ou encore, en vertu de la première des relations (4 )>
COSasin^
Les formules (3) et (6) donnent la suivante :
Fd>=Q/(R'cotV-HRcot»fl) -.—r-, ^ ^'"^""^ ^^^-,— ,
•' ^ ' sin^(siii<p-i-/coS(ï)COSa — /cotûsina)
ei l'on a pour le travail total dû au frottement
^/= Q/(R'cotV-*-R cot'fl) r T-' ^^^1^ ,. , . , ,
' "^ ^ ' Jo 8inf(sinç-+-/cosf cosa— /cotflsina)
256 QUATAltBB PAITIB. -- GHAPITBB IV.
formule dans laquelle on devra remplacer <f par son expression en fonciion de a, qui définit la nature de l'engrenage.
L'intégration peut s'effectuer lorsque la surface SA m est un pian méridien ou une développante de cône; mais nous ne nous arrêterons pas à ce détail ( * ) qui offre peu d'intérêt. Mais, comme il est visible que le travail du frottement pour l'étendue d*un contact est d'autant plus petit que les dents sont plus courtes ou que a est plus petit, nous supposerons, comme cela a lieu d'ailleurs dans la pratique, cet angle assez faible pour qu'où puisse considérer son cosinus comme égal à l'unité. Alors les formules (5) et (7) deviennent
/(cO8?-0
F= \" - .. ds= *
Or ce sont précisément les mêmes que celles qui se rapportent à un engrenage cylindrique dont les rayons des circonférences primitives seraient R' et R; nous n'avons donc qu'à nous reporter au numéro précédent, dont la formule (5) s'applique, par suite, aux engrenages coniques comme aux engrenages cylindriques.
99. Du frottement dans la vis sans fin. — Nous supposerons, pour fixer les idées, que les axes de la vis 00 et de la roue O'O' (fig. i38) sont horizontaux; que le pas de la roue est assez petit pour que l'on puisse sans erreur sensible considérer le contact entre une dent et le filet comme ayant lieu, sur toute son étendue, dans le plan passant par 00 et perpendiculaire à O'O', et par conséquent sur une même hélice du filet; c'est seulement dans ce cas, d'ailleurs, que l'engrenage est sensiblement exact.
Soient {fig. i38)
R, R', r les rayons de la manivelle, de la roue et du cylindre de l'hélice sur laquelle le contact a lieu;
(* ) Voir à ce sujet le Mémoire cité ci-dessus.
P la force motrice agissant sur la manivelle de la droite vers la gauche;
Q la Torce équivalente à la résistance utile, tangente à la circonférence de la roue;
(ù, &)' les vitesses angulaires autour de la vis et de la roue;
/ l'inclinaison de Thélice sur la seclion droite du cylindre.
Fig. i38.
La relation entre P et Q devant varier très-peu avec la posilion du contact, en raison de Thypothèse que nous avons faite, nous rétablirons pour le cas où le contact a lieu en A, sur la perpendiculaire commune aux deux axes ; les actions normales égales et contraires N, N' du filet sur la dent et de la dent sur le filet, de même que les frottements N/, N'/, se trouveront alors comprises dans le plan tangent horizontal au cylindre suivant la génératrice passant par A.
Le sens de N'/ étant l'inverse de celui du glissement du filet sur la dent ou de la résultante d.es vitesses wr, — w'R', ce frottement est dirigé comme l'indique la figure. La comm. ,7
posaoïe de N' et Wf, paralldle à 0^0%iayantipour expression N'sini -4-N'/cos/, on a pour Féquilibre de la vis
PR = N' (sin/ H-/cosi)r.
La composante déN ei N/, parràîlèïeàOO/élanVNtrosî — N/âin /, réqnation.%[^équiHbre de la roue est
QR'=N(cû8/-^/sin/)R';
d'oii
{ \ ^ ^ sin/-4-/cos/ r
^ ' Q " cosi— /sin/ R'
OU encore, en appelant a l'angle de frottement,
P r ('^) Q = j tang{iH-a).
Pour que les choses se passent comme nous l'avons supposé, il faut que ce rapport soit positif ou que l'on ait
autrement il faudrait changer le sens de P pour maintenir Q en équilibre.
Le déplacement élémentaire de on' R' dt, d'un point de la circonférence de la roue, détermine le déplacement Gi>'R'coti.<//
du filet, el celui delà manivelle est, par suite, co'R' — coii.dt;
on a donc, par le rapport du travail utile au travail moteur,
T.. tang:/
^^^ tn'^ tang(i + a)
Si Ton désigne par h le .pas de ila vis, OiO .a
tangr*r -, — ,
valeur que l'on pourra substitue^ si Ton veiut> dans les équations (i), (a), (.3).-
Ces mâm.es équations s'appliquent encore au cas où la roue conduit la vis, en y changeant /en — / ou « en — a, ei Ton
CALCUL DBS «fiSWTÀtUM PAS81J7t9 iP^If^ ItV0 MirfmiNBSy ETC. ^Sg
reconnaît alors que> pour que le mouvement ^Oiit possible, il faut que i^a.
lOft. Froitiemeat d'une carde isur.un cylindre,. — jSlup^pasQOS (/g". 189) qu'une corde, censée réduite à son axe, glissq sur la section droite A/nB d*un cylindre quelconque.
Fifi. 139.
Soient
T„ T, les tensions motrice et résistante des brins extrêmes de la corde, tangentes respectivement en  et B au cylindre ;
T la tensitm en un point queloonque^^de la corde, ca^ipris enjlre ▲ et fi;
jp.ratigle mCAiformé.parJes normales «dyn^et A;
*mm^ j\m*}in" deu^ élépaeiiils (Consécutifs ide la coi?de. égaux à rf«, en pariant :ciu point. m ^tse dinigetant Mers B..
La tension en mf dirigée suivant m' m" estT 4- -j- ds, et fait
l'angle rfcp avec la direction de T ; en exprimant que les forces T,
— yï -k- -rr- ds\ fant équilibre à la réaction normale Nrf5 du
cylindre et «u frott^ement N/rfs, on a, en projetant sur les directions de T et de Nrfs,
ds
^N/— o, Nr/j — .Tr(ç= o;
d'où, par l'élimination deN,
dï -h /T cld^ = o,
26o QUATRIÈME PARTIE. ^ CHAPITRE IV.
et enfin» en intégrant,
SI l'on désigne par 91 Tangle formé par les normales en A et B, on a
et l'on voit qu'il n'y aura pas glissement ou tendance au glissement tant que l'on aura
(4) T,<T,tf/?,.
Les formules que nous venons d'établir s'appliquent encore avec une grande approximation au cas où la corde fait plusieurs tours en spires jointives, à la condition de donner à 9 un accroissement de 271 par spire, attendu que l'on peut, sans grande erreur, considérer une spire comme comprise dans un plan perpendiculaire aux génératrices du cylindre. Si n est le nombre entier ou fractionnaire de tours que fait la corde sur le cylindre, on a «= 27rn et
Ainsi, pour une valeur donnée de Tp, la résistance T, diminue très-rapidement quand n croît; c'est ce qui explique comment, en tenant par un bout un câble faisant quelques tours sur un pieu vertical fixe, on peut, en exerçant un effort irès-faible ïi, ralentir le mouvement et arrêter en peu de temps un bateau fortement chargé, animé d'une vitesse notable et auquel se trouve accrochée l'autre extrémité du câble.
101, De la vitesse des différents points de la corde ^ en tenant compte de son élasticité et de son inertie, — Soient d(T un élément de longueur de corde à l'état naturel; ds^y ds ce qu'il devient lorsqu'il est soumis aux tensions To, T.
(*) Nous sommes déjà arrivé à cette formule au n^ 93 de la deuxième Partie, nu changement près de a en ^, sans donner à la constante y la signification actuelle de coefficient de frottement ; mais nous avons cru devoir, pour plus de clarté, reprendre directement la question au point de vue où nous devons maintenant nous placer.
Sous l'action de la tension T, dfx éprouvera un allongement relatif, proporlionnel à cetle tension; de sorte que, si nous désignons par k une constante, nous pourrons écrire
d'où
dS = r/j YTTT '
Si le brin To A se dégage de dsf, du cylindre dans le temps dt^
ds sa vitesse sera Vo = -^•, mais, comme la masse de la portion
A m de la corde est constante, et que la section et la densité de la corde ne varient pas sensiblement, il faut qu'il passe en m dans le même temps dt la longueur ds\ la vitesse en ce
point est, par suite, V= -7- ou
D'après M. Kretz (* ), on a, en désignant par A la section estimée en millimèlres carrés,
k = -^ pour les courroies ayant servi quelque temps.
k — -^j- pour les courroies neuves.
Comme on ne doit pas, en vue de la sécurité, faire supporter à une courroie de cuir une charge supérieure à o^«,25 par millimètre carré, il faudra satisfaire à la condition
et l'on voit, par suite, que A-T sera toujours une petite fraclion, dont on pourra négliger les puissances supérieures à la première.
En supposant la vitesse V« constante, et en désignant par p le rayon de courbure du cylindre au point m, nous aurons res*
(') Annales des Mines ^ 1862, i*' volume.
peeti vemerit^ pour les com^osantesi taagftndeHé et Mnmate Ai polot corr.espoiMlBm (fe 1» eierdid
dt ~ i-\- /*T„ e/ç rfjî c/r "~ I -+- AT, P df , p d(f L = ^[,^.aX-(T-T,)].
En appelant p le poids de Tunité de longueur de la corde, il est fecUe de voir qu'an lleu^ des équaUons (i) on a: le& solvantes :
'^T w^ fi 1.^1^^
ds g P d<f
d'où, par Télimination de N,
Si nous posons
l'équation précédente devient, au degré d'approximation convenu,
(7) rfT-/,(,T-T^=o, d'où
et enfin
La vitesse Y diminue donc très-rapidement (mais d'autant moins que To esn plos granid), quavid f aiigaiewe: et aueixit bientte Qwe^ vaAe«r peu différente de ht limite:
Vo(ï4-/-t)
CALCUL DES Rl8iaCàlfeaS:PA8SIVltTDiV8.'U»MAiCHIllE89 ETC. tSSt
quise^rédailià'
