NV/=K.MV
K étant Un coefficient que l'on sait calculer. Des équations (i) et (4) on déduit
(5) !(«„-«) =KMV^R(sin^-^/"cosç)-+- ^M=^V^^\
De ce que la came et le mentonnet sont censés dépourvus d'élasticité, leur vitesse normale au point m est la même, ce qui s'exprime par la relation
(6) . V = wRsin«p.
3o4 QUATRlfeMB PARTIE. — CHAPITRE lY.
On déduit des équations (5) et (6)
, -+. ™ R siny rR(siny -f-/"co8(p) -h -~-t^ V^ ^-/'"l (7) ' -^^
Rsin^
i-f- ^ Rsm?rR(sin'f-+-/"cos^^)-f- -4^£= v^i -t-/"'!
Après le choc le pilon s'élèvera, sans exercer de frottement
appréciable sur ses guides, à très-peu près à la hauteur —
et retombera de la même manière en possédant au bas de sa
course la demi-force vive ? qui sera plus ou moins bien
utilisée à produire le travail voulu.
Si la force motrice restitue à Tarbre, entre la Qn d'un choc et le commencement du suivant, la perte de force vive qu'il a éprouvée, sa vitesse moyenne sera
et l'on trouvera facilement les expressions de to, wo, V en fonction de 12. Quant à la perte totale de la force vive due au choc, elle a pour expression
I(wJ~«')-MV'
et pourra s'exprimer en fonction de la vitesse angulaire moyenne.
121. Choc des cames et des marteaux. — L'usage des marteaux mobiles autour d'un axe horizontal a presque entièrement disparu dans les forges. Au marteau allemand (soulevé entre la tête et l'axe par des cames montées sur un arbre dont l'axe horizontal est perpendiculaire au précédent) et au marteau frontal (soulevé au delà de la tête par rapport à l'axe du marteau auquel est parallèle celui de l'arbre), on a substitué les presses, puis le marteau pilon et les cylindres cingleurs.
CALCUL DES RÉSISTANCES PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 3o5
Au martinet franc-comiois (soulevé au delà de son axe par rapport à la lëte) a succédé, pour la fabrication de la verge, le train de cylindres connu sous le nom de petit milL
Ces marteaux offrent néanmoins, au point de vue de la théorie des chocs, un véritable intérêt, ei nous allons étudier en particulier le cas du martinet.
Si l'on veut que la vitesse angulaire du martinet reste dans un rapport constant avec celle de l'arbre, comme l'épaisseur du manche est petite, on donnera au profil des cames la forme épicycloïdale des dents de l'engrenage a flancs rectilignes (15).
Soient {Jig. i55}
Fie. i55.
0, 0' les axes de l'arbre el du marteau ;
m le point de contact d'une came avec le manche au moment
où le choc a Heu; R la distance Om; OK la perpendiculaire abaissée du point 0 sur la tangente en m
à la came; çl'angle mOK; R' la distancée m;
K'Ia projection de 0' sur le prolongement de Km; ç' l'angle formé par 0' m avec O'K';
1, l' les moments d'inertie de l'arbre et du marteau par rapport à leurs axes respectifs ;
M' la masse du marteau; G' son centre de gravité; a la distance O'G';
3o6 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
H' la projection de G' sur la parallèle en 0' à Km;
a l'angle formé par O'G' et O'H' ;
p, ç> les rayons des tourîllons de l'arbre et du marteau ;
/i,/*, les coefficients de frottement de ces tourillons sur leurs
coussinets; / le coefficient de frottement de la came sur le marteau ; &)o la vitesse angulaire de l'arbre avant le choc; (ù, (ù' les vitesses angulaires, après le choc, de l'arbre et du
marteau; N la réaction normale variable du marteau sur la came pendant
le choc.
La direction de N/est celle du glissement du marteau sur la came, ou de la résultante des vitesses eu'R' du point du marteau qui se trouve au contact, et de la vitesse —coR égale et contraire à celle du point de la came qui se trouve aussi en m; N/est, par suite, dirigé vers la droite, comme l'indique la figure.
Les quantités de mouvement perdues de l'arbre, formant un couple, n'exercent aucune action sur l'axe; l'impulsion de la réaction des coussinets sur les tourillons se réduit, par suite,
à ^i -hp.f^dt et donne, par rapport au point 0, le moment
^/n-/^/Nt/^
Il vient donc, en exprimant que les quantités de mouvement perdues et les impulsions des forces se font équilibre autour du point 0,
ou
(i) I(«-«J=.-/NûfrrR(sinYH-/cosç)-^ -M=- y/T^^^l.
L vi-h/î J
Considérons maintenant le marteau sur lequel agissent en m les composantes N', N'/de la réaction de la came, égales et contraires à N et N/. La résultante des quantités de mouvement perdues, étant la quantité de mouvement perdue du
CALCUL DES HÉSISTANCES PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. So^
centre de gravité où toute la masse serait concentrée^ a pour expression
et ses projections» Macù'cosa, Maoï^^sina, sur les directions de N' et N'/ sont de même sens que ces forces. Les impulsions de la réaction du coussinet faisant équilibre à celles deN', N'/età — -Mao)', ont pour résultante
et Ton a, pour l'équation des moments par rapport au point 0', IV= O'm.f^'dt'i'ÇyK^SfKde
-^'^ V^(Mûw'cosa -h /N^o'-^- (Mflw'sinan-/. jN dtf
OU
(IV = /N£//R'(sin7'H-/'cosf)
équation dans laquelle on pourra remplacer le radical par une fonction linéaire des racines des deux carrés qu'il comprend, en remarquant que, en général, le premier sera supérieur au second.
On a d'ailleurs la relation
(3) wRsin(p = w'R'sinç',
qui exprime que, à la fin du choc, les vitesses normales de Tarbre et du marteau sont égales, puisque l'on suppose que les deux pièces sont complètement dénuées d'élasticité.
En éliminant /N^f/ entre les équations (i) et (2), l'équation résultante, jointe à l'équation (3), fera connaître o) et (ù\
Si nous négligeons l'influence relativement faible du frottement sur les tourillons, les équations [i) et (2) se réduisent aux suivantes :
V) I (« — o)J = — /Ni//.R(8inf -h/cos<p ),
2) r»'-= /Nrf/.R'(8m(p'-h/cos?');
3o8 QUATRifiHB t>ARTIE. — GHÀPITHE IV.
d'où
w^ — w TR sincp-^-/cosy
w^ ~" 15^ sin(p'H-/cosflp'' et, en vertu de la relation (3),
FR^ 8myH-/cosy siny
R sincp (4) ..'- "•»'^'
, " K' smy
~ l'R^ sinyH-/c08(p siny IR'* sin«i/'H-/cos«p' siny'
11 sera facile d'exprimer Wo, w, w' au moyen de la vitesse moyenne de l'arbre
et de calculer I, par suite le moment d'inertie d'un volant, pour que l'écart relatif de vitesse
soit au plus égal à une fraction déterminée.
122. De la levée du marteau. — Après le choc, le marteau s'élèvera à une certaine hauteur, puis retombera sur la masse à élaborer placée sur l'enclume. Nous nous bornerons, en conservant les dénominations précédentes, à étudier le mouvement ascendant ou la levée : la théorie de la chute s'établirait de la même manière.
Soient, à un instant quelconque (Jig. i56), B l'inclinaison
dO de O'G' sur l'horizon; &>'— -^ la vitesse angulaire du marteau. Appelons co^ la vitesse angulaire du marteau après le choc, ou ce que nous avons désigné plus haut par o)' et que nous supposons connu ; 0i la valeur correspondante de 9. La pression exercée sur l'axe 0' est la résultante du poids M'g^ et de la force d'inertie de la masse M' supposée concentrée en G, qui se compose de la force centrifuge M'w"a et de la
force tangentielle Ma-T-> dirigée en sens inverse de la vitesse (ù' a. Or» le poids Wg donnant les composantes — M'gpsin Q,
Fi g. i56.
W gcosO suivant les directions de ces deux dernières forces, la pression sur 0' a pour expression
M' i /(«»'*— g^sinO)'-t- ig'cosO-Hfl -^ ) • On a donc» en prenant les moments par rapport à 0',
(l'^ = -M>cos9
- -^ÉL= My yVa>--^sinô)^+ ^g^cOS0 + « ^y.
d(ù' On remarquera que -^ est négatif, que les deux binômes
sous le radical peuvent passer du positif au négatif et que l'on ne peut pas assigner a priori les limites entre lesquelles varie leur rapport; de sorte qu'il n'est pas possible de remplacer approximativement le radical par une fonction linéaire des racines de ses deux carrés. Nous procéderons alors comme il suit :
Si nous appelons % = tï7~ la longueur du pendule synchrone
de la masse M' correspondant à Taxe d'oscillation 0' et si nous négligeons, comme première approximation, le terme en/; p' oui est toujours très-petit, la formule (5) devient
(6) --^ = 5. cosO;
3lO QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
d'où, en muliipliani par dO et inlégrani,
(7) w'^^w^^'-f- ^(sinÔ,-sin0).
Portons les valeurs (6) et (7 j de Téqualion (5), naultiplions ensuite par dO et intégrons, nous aurons
w; = t^\' 4- ^ (sin9, - sinô) - - ^«^^ ^^'
l y/[^»',-.¥sine.-(-.x)slne]V(.-?)'co.e...
et Ton est ramené ainsi à une quadrature. L'angle de levée 9^ obtenu en supposant cù' = 0 dans cette formule, sera un peu inférieur à celui 6\ que Ton obtient en faisant la même hypothèse dans réquation (7), qui donne
sin 0' = sin 9, h — ^ w? .
Pour 6 = 00, le premier binôme sous le radical a pour valeur
- wj— sin9,
et cette valeur sera généralement positive, parce que l'angle 0, est ordinairement petit; pour 6 = d', il se réduit à
et la considération de ces deux limites permettra de remplacer le radical par une fonction linéaire des racines de ses carrés pour intégrer par approximation.
On limite ordinairement la levée des martinets franc-comtois et des marteaux allemands, en les faisant buter contre une pièce de bois {rabat) encastrée à une extrémité, et assez longue pour présenter un certain degré d'élasticité, de sorte que la force vive perdue par ce choc est faible. Le rabat a pour objet de réduire notablement la durée de Toscillaticm complète du marteau, et d'obtenir un plus grand nombre de coups par minute.
CALCUL DES RESISTANCES PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 3l I
123. Des effets du tir sur les différentes parties de V affût d'une bouche à feu. — La durée du parcours d'un projectile dans l'âme d'une bouche à feu étant très-courte, on peut assimiler à des chocs l'effet de la pression des produits de la combustion de la poudre sur le fond de l'âme et ceux, qui en résultent par contre-coup, de la pièce sur l'affût, de l'affût sur les moyeux, des jantes des roues sur le sol.
De deux choses Tune : i° ou la crosse et les roues exercent une pression sur le sol pendant la durée du choc, et alors tout le système prend un mouvement de translation parallèle au sol sur lequel les roues roulent ou glissent; 2® ou les roues n'exercent aucune pression sur le sol; dans ce cas, la translation parallèle au sol sera accompagnée d'une rotation autour du point d'appui de la crosse sur le sol.
Dans l'un ou Tautre cas, ou la culasse s'appuiera sur la vis de pointage et alors l'affût et la pièce se mouveront comme s'ils formaient un seul corps solide, ou la culasse se séparera de la vis de pointage, la bouche à feu prenant ainsi un mouvement propre de rotation autour de son axe.
Avant d'aller plus loin, nous ferons remarquer que l'on peut supposer le système réduite sa projection sur son plan méridien, perpendiculaire aux axes des tourillons et des fusées, mené en leur milieu, en attribuant, aux projections des différentes parties dont il se compose, les masses^ les moments d'inertie, etc., de ces parties.
Comme nous n'avons aucune notion sur la manière dont se meuvent les éléments matériels de la charge dans l'âme à mesure qu'elle se brûle, nous ne pourrons tenir compte de cet élément que par approximation, en supposant, comme au n"* 46 de la troisième Partie, que la moitié de la charge possède la même vitesse que le projectile et l'autre moitié la même vitesse que la pièce elle-même. Ainsi, dans ce qui suit, nous comprendrons dans la masse du projectile la moitié de la masse de la charge; quant à l'autre moitié, elle est négligeable par rapport à la masse de la pièce.
Comme, dans les questions de choc, on ne fait pas intervenir l'action de la pesanteur, nous pourrons, pour simplifler le langage, supposer que le sol est horizontal.
3l2 QUATHifcllB PÂBTIE. — CHAPITRE IV.
hifig. iS-] représente, à une échelle réduite, une pièce de 7 se chargeant par la culasse.
Fiff. 1S7.
Soient {Jig- 158), en projection sur le plan vertical passant par l'axe de la pièce,
0,, 0, les axes des tourillons et des fusées; 0, le point d'appui de la crosse sur le so) ; BO,B' l'axe de la pièce; I son inclinaison sur l'horizon considérée comme positive ou
négative selon que la portion OiB de l'axe, dirigée vers la
volée, se trouve au-dessus ou au-dessous de l'horizon; G, le centre de gravité de la pièce, censé situé sur son axe; y sa dislance à l'axe 0,, égale, environ, au -^ du diamètre de
l'âme; G] le centre de gravité de l'atTùt et des roues; h„ a, sa hauteur au-dessus du niveau du sol et la distance de
sa projection horizontale g, au point d'appui de la crosse ; A le point de conuct géométrique des roues avec le sol ; / sa distance au point Oi ; n la hauteur verticale 0,o, de l'axe Oi au-dessus du sol et;^
la distance de sa projection horizontale o, au point Oi; p = xsini — »cosi la distance du point Oi à l'axe de la pièce; Rj le rayon OgA des roues; m la masse du projectile augmentée de celle de la moitié delà
■ charge ;
CALCUL DES RfiSISTANCBS PASSIVES DANS LES MACHlNESy ETC. 3l3
vh vitesse du projectile à sa sortie de Tâme;
Uy Mi^ M3, M3 les masses de tout le systèmey de la pièce, de
Tensemble de l'affût et des roues, et des roues ; ni» n^y /is les rapports à M de Mi, Ms, Ms;
Fig. i58.
}/iik]y Mikl, M^kl les moments d'inertie des masses M,, M2» M3 par rapport aux perpendiculaires au plan de la figure passant par leurs centres de gravité respectifs ;
Pi, p3 les rayons des tourillons et des fusées;
fit fi 9 fi les coefficients du frottement de glissement des tourillons sur leurs coussinets, des fusées dans leurs boîtes et des roues ou de la crosse sur le sol;
d, le coefficient du frottement de roulement des roues sur le sol;
N„ N',, N',, N3, N3 les impulsions des réactions normales de Taffût sur les tourillons, de la vis de pointage sur la culasse, des fusées sur Taffût, du sol sur les roues, du sol sur la crosse;
T3, T3 les impulsions des réactions tangentielles correspondant à N3, Na;
<ài, ui, ût>a les vitesses angulaires de la pièce autour de Taxe des tourillons, de l'affût et des roues autour de Taxe projeté en Oa, et des roues autour de l'axe des fusées ;
V la vitesse de translation horizontale de tout le système au moment où le projectile sort de l'âme et qui est de sens contraire à la projection horizontale de v.
Nous allons examiner successivement les deux cas qui peuvent se présenter.
3l4 QUATRiftMB PARTIE. — CHAPITRE IV.
1° Les roues et la crosse restent en contact avec le soL — Tout le système sera, après la sortie du projectile» animé de la vitesse Y et les roues tourneront autour de leur axe en glissant ou roulant sur le sol.
La pièce, ou se détachera de la vis de pointage par une rotation Oi autour de Taxe Oi de la gauche vers la droite, ou ne sera animée que du mouvement de translation.
Si la pièce tourne autour de Oi, l'impulsion N', est nulle et
la quantité de mouvement perdue qui fait équilibre à Ni -+- N,/, se compose de MV, -— mu et de — M. Wiy, que nous négligerons dans l'évaluation du moment du frottement des tourillons, eu égard à la petitesse de y et de ftp,. On a donc, en négligeant de plus/' devant Tunité,
— M, (A-Jh-y') w, — M,V7sini — /, Pj /(M, V — mvcosiY •+- ni^v^ sin'/.
Mais, si Ton néglige les frottements et le mouviement de rotation des roues dont Tinfluence est secondaire, on a, en projetant les quantités de mouvement sur Thorizôntale,
/wpcosz = MV,
de sorte que Ton peut écrire avec une approximation très-satisfaisante
"•= jS [-'^'^"^'^•^'P' V^(;7î -0^"^ À ''''^'']'
mais, pour que les choses se passent comme nous l'avons supposé, il faut que &)i soit positif^ ce qui exige que i soit négatif ou que la volée plonge sous l'horizon; s'il n'en est pas ainsi, la culasse reste en contact avec la vis de pointage.
Nous laisserons constamment subsister (di dans nos formules, sauf à supposer nulle cette vitesse angulaire lorsque i sera positif.
La crosse glissant sur le sol, on a
et, en exprimant que les quantités de mouvement perdues se font équilibre sur tout le système dans le sens horizontal et
CALCUL DES RfiSlSTANCES PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 3l5
le sens vertical, on a
MV — mv cosi -^ T3 -h N,/j -+- M^ w, 7 sinz = o, — mv sini -h N3 -h N2 — M w, 7 cosi = o,
ou, comme ui est de l'ordre de la distance y, dont nous négligerons le carré,
( MV — /IIP cosi H- T, -h N»/, = o, • ( — mffsmi -h N3 -4- Nj = o.
Nous allons maintenant exprimer que les sommes des moments des quantités de mouvement perdues et des impulsions des forces pour tout le système se font équilibre autour de l'axe 0^; nous négligerons le coefficient S par rapport à / quand il y aura lieu de le faire entrer en ligne de compte, c'est-à-dire quand il y aura roulement; nous considérerons là vitesse angulaire wa comme positive lorsque son sens sera de la droite vers la gauche; les quantités de mouvement perdues auxquelles donne lieu cette vitesse se réduisent à un couple dont le moment est Mskloi^. Si l'on continue à négliger les termes du second ordre en y, on peut supposer, dans l'évaluation du terme en wi, que 0, est le centre de gravité de la pièce ; de sorte que cette vitesse angulaire donne lieu à des quantités de mouvement perdues, qui forment un couple dont le moment est — Mik] wi. Nous avons ainsi
Mj/Zj V H- M^ ()3 — 7 smi) V -h mvp h- M^ kl W3 — M, k\ &>, — N3/ = o.
Posons [a] MA = M,/^,-hM.>î;
A serait l'ordonnée verticale du centre de gravité de tout le système si Oi était celui de la pièce ; l'équation ci-dessus devient
(3) (M^ - M,7 sin/) \-+-fmp -+- U.Ji W3- M.^î w, - N3 /= o.
La résultante de N'j, fi^f^ étant égale et opposée à celle de N3, T3, et de la quantité de mouvement transitoire M3 V,
3l6 QUATRlftlIB PARTIE. — CHAPITRE lY.
on a, en considérant les roues et prenant les moments par rapport à Os»
mais T, est au plus égal à N3/3; de sorte que Ton a, en négligeant les termes du second ordre en/,,/, ,
(4) -M3/->3-p3y;v^MrVM^-N3^-+-T3R3=o.
Nous avons maintenant à faire deux hypothèses. a. Les roues roulent sur le sol. — On a
L'équation (4) devient par suite
-M3^^V-p3/,v^JV^^N?-N3^-hT3R3=o
et montre que la quantité de mouvement MsV est de Tordre du frottement^ de sorte que l'on peut en négliger le carré sous le radical; en posant
il vient
La première des équations (2] devient par suite
N3 D- -^- N,/, = mvcosi - M (i -h «3^3) V, "3
et donne avec la seconde
N — ^^ (/a sin I — ces/) -H M ( I -H W3 ^^3 ) V
mv { coai — rj- sinj ) — M (n- «3 », ) V N. = -A^ «?/
CALCUL DES RfiSISTANCBS PASSIVES BANS LES lÉAGHINES, ETC. 817
L'équation (3 ) prend la forme
/ M ( iH- /Î3 U3 ) V -4- iwp (y, sini — cosi)
Si nous posons
el
= -i-[7Siaz-^/,py(ij-i)Vi,tàng'i]
ou w, =«^)
sauf à supposer e = o lorsque i sera positif, et si nous nous rappelons p = x sin i — - rî cosi, Téquation ( 3') donne
r(i-7/,)cos/-sin,(f,-/.f)l (6) m = mp 14 —4 5-N-^^ ■ i •
