I -/s 7 -+- «3P3 ^1-/3 -jj

Les équations (4') et (5) feront ensuite connaître les valeurs deTs, N3, N'3 ; mais, comme elles sont très-compliquées, pour mieux voir de quelle manière les choses se passent, nous négligerons les petits termes en e, y, A et de plus ceux en Hs dans le calcul de V, N3, N'3; nous trouverons ainsi, ftn remarquant que /a devient /j.

m = mp

[(i-7/,)co8/-/,(i-f)sin/]

XT 1 • • I XT # (ïi — A)cos/— (y — /)sin/ }i^l = mvsmi l'-^^l= mt>' ^-^ : ,

T, l = n,^,m = mi> -^ [(/- nf,)cosi-f, (x-l) siai]. En remarquant que x > /, ri'^h, les conditions N3 > o,

3l8 QUATRltaB PàBTIB. — CHAPITRB IT.

Nj > o, Ta < N,/, se traduisent par

En satisfaisant à la troisième de ces conditions, on satisfera a fortiori à la première; les deux limites de i sont donc données par la deuxième et la troisième de ces inégalités. Pour qu'elles soient compatibles, il faut que

ce qui aura généralement lieu; car x est presque toujours égal à / ou en diffère très-peu. L'angle i sera positif et par conséquent la pièce ne tournera pas sur ses tourillons. b. Les roues glissent sur le sol. — Dans ce cas on a

et les équations (2) deviennent

(2') iWi — mp cos/ -h/, (N, -+- N3) = o,

( — mvsini -+- N, h- N3 = o, d'où •

(6') MV = rmf(cosi — /^ 8in^).

Nous pourrons, dans le terme très-petit en p^fl de l'équation (4), négliger M^ V devant NJ, en raison de ce que N3 dépend de MV, comme nous le verrons ci-après, et que le rapport ^^= -^ est toujours petit.

Cette équation donne par suite

M3>^>3=N3{/,R3^/ip3),

et, en portant cette valeur dans l'équation (3), on trouve

(V\ i ^^[^"""ilvs^^' ■^-^0] -+-/nc(xsin/ — >3Cos/)f

et cette équation, jointe aux équations (6') et (2'), fera con-

CALCUL DES RfiSlSTANGBS PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 819

naître Na, N3. Si nous ne conservons que les termes principaux, nous avons, d'après les équations (3), (6'), et la seconde des équations (2'),

N, = j ^ = [(j^/^/,)smi~(>i — Â)cosi],

N, = mvsmi — N^ = — [(/ y^-i~f^h)smi-h(ri — h)cosi'\. Les conditions N3>o, N2> o se traduisent par (8) tang/> ^^— ^' t^ng/ (/-XH"/,^) -*-(>» -/0>o-

Comme t^'ù a généralement /== x> '^ seconde de ces inégalités sera satisfaite pour toutes les valeurs positives de 1 supérieures à celle qui est donnée par la première. Dans ce cas encore, la pièce ne tournera pas sur ses tourillons.

2° V affût tourne autour du point d* appui de la crosse. — D'après la figure, la rotation 0)3 ne peut avoir lieu que de la droite vers la gauche. Nous continuerons à considérer la rotation de la pièce gji autour de Taxe Oi comme positive lorsqu'elle aura lieu de la gauche vers la droite.

Le mouvement de la pièce résulte des translations ayant pour vitesses Y, usOi 0, et de la rotation gji, dont nous ferons abstraction, comme plus haut, dans le calcul de la percussion sur Taxe Oi, en raison de la petitesse de y. La quantité de mouvement translatoire perdue par Mi et m, ayant pour composantes horizontale et verticale, MiV -f- M, oa/j — mt/cosi, — M, ot>2x — 'wv sinï, il vient, en continuant à négliger le carré dey,

±yjp,y/(M|V-i-M,M5» — iMccosi j'-i-{ M, w,x -+-»«' 8in/)'= o; d'où

l»,= - p- (V-+-w,>))7Sin/-*-w,x7COS/

± yj(y+ „,, ^cos/)'+ («,z+ ^ sin;) J,

320 QUATRIEME PARTIE. — CHAPITRE lY.

en prenant le signe + ou le signe —, selon que

(V-h «j>î) 7 sin/ H- Wj XI cosi

sera positif ou négatif.

Concevons que l'on imprime à tout le système une translation égale et contraire à la vitesse du point Oi, ce qui ne changera en rien le mouvement relatif de la pièce par rapport à raffut; ce mouvement sera dû à la rotation gûi + tù^ autour du point Oi, qui doit être positive pour que la culasse se sépare de la vis de pointage, et c'est ce qui aura généralement lieu. La condition cûi + us <[ o, exprimant que la pièce se meut avec l'affût comme un seul corps solide, ne pourra être remplie que par des valeurs négatives de cui ou positives de i, pour lesquelles ui sera du même ordre de grandeur que (Oi pris en valeur absolue. Dans ce dernier cas, nous pourrons négliger uj dans le calcul de ût)i, qui sera ainsi donné par la formule (i) de l'article précédent ou par

(I) ".= -|-[v«n'^/.P.Y/(^-i)Vî^]-

Nous avons, pour les équations d'équilibre, relatives à tout le système, entre les impulsions des forces et les quantités de mouvement perdues,

MV — mu cosi H- Nj/, -h [|Mi (>î — 7 sin/) -+- Mj^J w^ = o, — mvsini -*-Nj— [M,{x — '/cosi) -h '^^a^']<0.^ — o,

' VrM,/i,H-M,(>î-7sini)] Posons, comme plus haut,

{b) M,rj-hM,A,= M//,

et de plus

Les équations (10) prennent la forme

[ MV — m('COS/-hM(// — «^7sini)&),H-Nj/^ = o.

(II) \ — /«('sin? — M(« — «i7 cos/)cOj-+-N2= o, MV(/i — w,7 sini) -h wp/?— M,/-;{«, -h wJ -k M/'w^ = o.

Des deux premières on déduit, par rélimination de N2,

( MV — /wp(cosi— /jSin/)

( H- M[A — /i,7sin/ -+-/j(« — /i,7C0s/)]w.^= o.

Nous avons maintenant à examiner les deux cas qui peuvent se présenter.

a. La culasse reste en contact avec la vis de pointage. — Ce qui correspond, comme nous l'avons vu plus haut, à la condition ana1)^tique gi)i+ 6>)3<lo; mais nous devrons supposer 6), + 6)2 = 0 dans les équations précédentes.

De la troisième des équations (11) et de l'équation (12) on lire, en se rappelant que /? = x sin i — yj cos i

[ mif >} cos/ — X sin/ — (cos/ — /j sin/) (// — /?,7 sin/) ) '~ M X-'— • [A— //i7Sin/ -Hy,(«-- /i,7C0S/)]1/a — /i,7Siii/)'

I M V — }""*(*' ^^ / — X si n /) [/i — «, 7 sin / -4- /!, ( (7 — /î, 7 cos /)] -+- /-'(cosi — /, sin / , l ~ \ X-— [(// — 77,7 sinZ-H/^^a— //,7 cos/)] (/^— /î|7sin/)

Il nous reste à voir maintenant entre quelles limites de i les quantités 6)3 et N2 sont positives. Pour simplifier les calculs, nous négligerons les termes très-petits en y et nous aurons d'abord

/ mv [m — /i) cos/ — ( X — ///*, ) sin /

) MV- n,v ['<"-»!(/' -H af,)]co8f -I- sin/[x(A -t- af,) — ./;X']

La seconde des équations (ii) donne ensuite

Pour que &>i et Ni soient positifs, il faut que (16) ^ -^^

La limite inférieure de i, fournie par la première de ces inégalités, n'est autre chose que la limite supérieure que nous avons trouvée dans l'hypothèse (6) du cas étudié en premier m. ai

322 QUÀTRiftMB PARTIE. — CHAPITRE IV.

lieu, ce qui devait être, car il est clair que, à partir du moment où les roues cessent de presser le sol, il doit y avoir tendance à la rotation autour du point d'appui de la crosse.

La condition w, -h û),<o donne, en se reportant à l'équation (i),