EE

Soient p l'angle formé par AA' avec IF, qui est du même ordre de grandeur que « et e, et>3 l'inclinaison U x de AF sur l'horizontale A'^.

jTA^-a + S, tangp=^ ou p=^ = ^JZ^.

(a) ïj — JAA' H- 6 = a -h p -+- e.

STABILITÉ DBS HAGHINBS. 347

Le véhicule/se mouvant de telle manière que Tangle A' A|0 reste constant, est animé d'un mouvement de rotation autour

de la verticale 0 avec la vitesse angulaire — (au carré de £ près),

V étant la vitesse des points du mobile qui se projettent sur Tare de cercle moyen de la voie.

On reconnaît sans peine que, par suite de la symétrie et du degré d'approximation adopté, les équations d'équilibre qu'il nous reste à établir sont absolument les mêmes que si le véhicule se trouvait réduit à sa section déterminée par le plan vertical Ci G' {Jig. i64), en lui attribuant la masse totale M, et que si les deux systèmes de roues et d'essieux, dont nous

représenterons par — la masse et par — le moment d'inertie,

étaient remplacés par un système unique de même forme dont Taxe serait projeté suivant CX', de masse M' et d'un moment d'inertie égal à 1'.

Ainsi, dans \^fig> i65, nous supposerons dorénavant que A^ A' senties points dont Ci, C sont les projections horizontales dans la^g. 164.

Soient N' la réaction normale à FF du rail fictif sur lequel A' est censé s'appuyer; H la hauteur du centre de gravité général G du véhicule au-dessus de IF.

La composante de la force centrifuge suivant IF est, en vertu du degré d'approximation adopté,

et son moment par rapport à A,

en donnant à ce moment le signe —, parce qu'il tend au renversement du véhicule à l'extérieur, et négligeant r^ — r devant H.

La pesanteur donne la composante

(a') Mg^siny] = Myg'(a-f- p -f- s) = M/j'fa-i- ^ -^^—j—p Suivant IF,

348 QUATRiftMB PARTIE. — CHAPITRE V.

et le moment par rapport à A

M^.EL-+-M^(H-hr)(P-i-6)

La réaction N' donne la composante

(ce") — 2 N' sin 2 a = — 2 N a, suivant IF,

et le moment

(S") -N'.EE'cosa-^N.'(r-r')sina = -2N7.

La rotation w des essieux ou plutôt de Taxe fictif développe des forces centrifuges composées dont il convient de tenir compte. Dans ce calcul, nous supposerons e = o, ce qui ne modifiera en rien le degré d'approximation adopté. Nous remarquerons d'abord que deux points d'une même circonférence matérielle du système tournant, situés sur une même verticale, donnent lieu à des forces centrifuges composées égales et contraires formant un couple dont le moment est — mVwjX 2û)j, 2j étant la corde qui joint les deux points; d'où il suit que le couple résultant a pour moment

— 2 — 2w my^ = r.

Le rapport — aura des valeurs différehles selon que Tune o)r

ou l'autre des roues roulera, ou qu'elles glisseront toutes deux; mais dans tous les cas il différera peu de l'unité, c'est-à-dire de la valeur correspondant à une voie droite; comme le moment ci-dessus est une petite fraction de celui de la force centrifuge, nous pourrons sans inconvénient le considérer comme égal à

(n ~rj-

En égalant à zéro les sommes des expressions (a), (a'), (a")

STABILITÉ DBS MÂGHII«BS. 349

elde(p), (P'),([3"),(p-), ona

Si, après avoir résolu ces équations par rapport à N' et r, on obtient pour la seconde inconnue une valeur inférieure au rayon n correspondant à la naissance du rebord, la solution sera admissible ; mais, s'il n'en est pas ainsi, cela indiquera que le rebord s'appuiera contre le rail qui donnera lieu à une réaction transversale que l'on devrait introduire dans la première des équations (3), dont on n'aura plus ainsi à s'occuper; on n'aura alors qu'à considérer la seconde de ces équations dans laquelle on fera r= r,.

Bans cette dernière hypothèse, qui sera réalisée pour de grandes valeurs de V, la condition de stabilité N'> o s'exprimera par

Soient ^e la largeur de la jante; h la surélévation du rail extérieur; on a

par suite

,> V^^r r 1 el f H + rA î

On satisfera a fortiori à cette condition si l'on satisfait à la suivante :

A>a — I-+-TÏ — ro r I ~ û (' — ^)'

pgl Mr,(H4-rjJ H H- r/

Cette formule, transformée en égalité, donnant à la vitesse Y une valeur égale ou supérieure, la plus grande valeur qu'elle peut atteindre fera connaître le dévers h.

35o QUATRIÈUB PÀRTIB. — CHÀPITKB V.

Revenons maintenant au cas où r<C r,, et soit N la réaction normale du rail extérieur. On reconnaîtra facilement que la relation qui lie N aux autres cléments de la question s'obtiendra en changeant N' en N et a en — a dans la première des équations (3), ce qui donne

(4) hMg'I — a-+-8 — ^|-i-aNa = o.

Celte équation fera connaître N après avoir éliminé r au moyen de l'équation (3).

§ III. — De la stabilité des machines locomotives,

131. L'inertie des organes, relativement mobiles, d'une locomotive, produit ou tend à produire sur toute la masse des mouvements Secondaires ou nuisibles, mais qui n'affectent que périodiquement le mouvement moyen de translation de cette masse.

Les composantes normales à la voie (censée horizontale pour plus de simplicité), dues à l'inertie de ces organes, ne peuvent donner lieu qu'à des oscillations très-faibles, puisqu'elles n'existeraient pas si la matière des rails et des roues était absolument dure.

Les composantes horizontales produisent un mouvement oscillatoire auquel on donne, par suite d'une certaine analogie, le nom de tangage; mais ce mouvement a lui-même très-peu d'importance, puisqu'il se communique delà machine au tenderetaux véhicules qu'elle remorque.

Le moment, dû à l'inertie, des mêmes organes par rapport à l'horizontale passant par le centre de gravité G de la partie relativement fixe de la locomotive, et perpendiculaire à la direction des rails, tend à produire un mouvement rotatoire périodique sur lequel l'attelage avec le tender, en raison même du système employé pour les attelages, a peu d'influence. Ce mouvement dit de galop n'a pas plus d'importance que le mouvement oscillatoire vertical et pour les mêmes causes*

Le moment par rapport à l'horizontale en G, parallèle à la di-

STABILITÉ DBS MACHINES. 35 1

rection des rails, tend à donner lieu, autour de cette droite, à un mouvement dit de roulis^ qui n'est pas plus important que le précédent, et pour les mêmes motifs.

Enfin le moment par rapport à la verticale de 6 donne lieu, autour de cette droite, à un mouvement angulaire dit de lacet et qui peut acquérir une certaine valeur, en raison du jeu existant entre les champignons des rails et les rebords des roues; mais, si son amplitude est limitée en raison même de la disposition adoptée, et accessoirement par le frottement latéral de glissement auquel il donne lieu, comme il tend à produire des déraillements, à imprimer aux véhicules des secousses désagréables aux voyageurs et à détériorer, à la suite de chocs souvent répétés, les rebords des roues et les champignons des rails, on doit chercher à distribuer la masse des pièces mobiles de manière à réduire autant que possible le mouvement de lacet.

D'une manière secondaire, il faut chercher à réduire la tendance aux quatre autres mouvements nuisibles, qui peuvent dans certaines circonstances produire des effets fâcheux, par exemple, dans le cas où, par suite de défectuosités delà voie, les points d'appui de la machine seraient mal assurés.

Dans ce qui suit, nous ferons abstraction du mouvement relatif des pièces de la distribution, dont la masse totale et l'inertie sont en effet très-petites par rapport à celles des autres pièces mobiles de la locomotive.

Pour simplifier le langage, nous appellerons plan méridien de la locomotive le plan de séparation de deux machines identiques, qui réunies constituent la locomotive elle-même. Ce plan renferme le centre de gravité de la partie fixe, des essieux et des roues de la locomotive.

Le plan moyen d'un organe mobile sera pour nous le plan passant par son centre de gravité et parallèle au plan méridien.

Nous désignerons sous le nom dH attirail du piston^ A* attirail de la bielle d'accouplement de chaque machine partielle, l'assemblage du piston, de la bielle motrice et de sa manivelle d'une part, de la bielle d'accouplement et des manivelles qu'elle commande de l'autre.

35a QUATRIÈMB PARTIE. — CHAPITRE Y.

Les pièces composant chaque attirail seront supposées avoir le même plan moyen*

Les conditions que doit remplir une locomotive pour supprimer les causes des mouvements nuisibles, si toutefois elles sont compatibles, est que sa partie fixe soit animée d'un mouvement de translation dont la vitesse et Taccélération soient les mêmes que celles du mouvement des roues à leur circonférence. Si donc on conçoit que l'on imprime à tout le système une vitesse et une accélération égales et de sens contraire à celles du mouvement précédent, la partie fixe devra se trouver réduite au repos, ce qui exige :

1° Que Tinertie de ces pièces ne donne aucune composante parallèle et perpendiculaire à la voie, ou que le centre de gravité de leur ensemble, par suite celui du système total, reste invariable, quelle que soit la position des manivelles. S'il en est ainsi, il n'y aura aucune tendance au tangage ni au mouvement oscillatoire normal à la voie;

2<* Que le moment des forces d'inertie des pièces mobiles pris par rapport à chacun des trois axes rectangulaires, parallèle, transversal et normal à la voie passant par le centre de gravité ci-dessus soit nul, ou encore que le moment semblable relatif aux quantités de mouvement soit constant; on évitera ainsi les mouvements de roulis, de galop et de lacet.

Pour donner autant de généralité que possible au problème que nous nous proposons de résoudre, nous considérerons une machine fictive, telle que sa partie mobile comprenne comme cas particuliers les différentes dispositions usitées. Mais, tout en supposant que la manivelle motrice puisse être distincte de la manivelle d'accouplement de la roue montée sur le même arbre, comme cela a lieu pour les machines couplées à cylindres intérieurs, nous supposerons que toutes les manivelles d'accouplement lui sont parallèles et oni la même longueur.

Soient [Jig. i66)

/ = AB la longueur de la bielle motrice; B sa masse;

b la distance A 6 de son centre de gravité b au bouton A de la manivelle;

P la masse du piston et de sa tige;

Bp = ph dislance de son centre de gravité p à Tarticulation B;

r, fji le rayon et la masse de la manivelle motrice OA;

a la distance Oa de son centre de gravité à Taxe de rotation 0;

r', p.' le rayon et la masse des n manivelles d'accouplement supposées identiques CD, CD', . . ., situées d'un même côté du plan méridien, et dont Tune coYncide en projection avec OA;

Fig. 166.

af la distance de leurs centres de gravité à leurs axes de rotation respectifs C, C, . . . ;

D, D' leurs articulations avec la bielle d'accouplement; il est évident que le centre de gravité général de ces n manivelles est le même que celui d'une manivelle hypothétique CiD, identique aux précédentes, tournant autour d'un axe Ci dont la position est complètement déterminée, mais dont la masse serait n^';

d la distance OCt ;

B' la masse de la bielle d'accouplement;

b'= AF =2 OE la distance de son centre de gravité F au bouton de la manivelle d'accouplement projeté en A.

Ib les moments d'inertie de la masse B par rapport à la per* pendiculaire à son plan moyen passant par son centre de gravité;

I =BOC l'inclinaison de la direction de la tige du cylindre sur la voie ;