X = R COS

4o4 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

par suite,

i> n » r^i / X A, . » B, / sin2<p\

Rcos«p-R, = - — j^Ao(i--cos^)+-^sin'v-:-^(^<^----^j

n • ' ^A • A, / sfnaçX B, . , Rsin<p— -" I AjSintpH — ^(9 h ) h — ^sin'cp

yc \ '•* \ 2/2

"^ï2. j/TTr ['^sin(/i - i)ff-h B„co8( /? - I) 7 - BJ

conditions auxquelles correspondent, en fonction de cp, des valeurs de a, (3, c qu'il s'agirait maintenant de trouver; mais, considéré à ce point de vue général, le problème paraît présenter des difficultés insurmontables : c'est pourquoi nous nous bornerons à calculer ces quantités dans le cas où 9 est un multiple de 271, ce qui nous suffira pour nous rendre compte de la manière dont varie le moment moteur avec le nombre de tours du barillet.

Dans cette hypothèse, les formules (i3) se réduisent aux suivantes :

La formule (12) ne donne un terme indépendant des imaginaires ou de sin et cos9 que si m est pair; et, en posant m = 2 g, ce terme est

d'où

"'1 . *. = -2:(;)'*TS:3"^<"-f'''-

DU MOTEUR. 4^5

Le développement (12) ne renfermera des termes en e<' ei e-'* qu'autant que m sera impair, et ces deux termes seront ceux du milieu. Supposons donc

el successivement p = g* p = ? -♦- i ; nous obtiendrons, pour Tensemble des deux termes ci-dessus,

OU, en faisant disp*^raîire les exponentielles au moyen des valeurs de sinô et cosô.

(27-+-1) (r/-i-2) (o,».^p»)7(accosQ-f-psin9),

d'où Ton déduit, en se reportant au développement (10) et effectuant les réductions,

2* /iV^"' 3.5...(4r/ + i) I

, \2; (I.2.3...r/) [1.2.3. ..(7-hl)]\ "^^M'

•" ^(2 Zéx \2; (l.2.3...ry) [1.2.3.. .(ry-f-l)]^^ ^ \'

Comme A, est le produit de — a par une somme de termes positifs, on ne peut satisfaire à la troisième des conditions ( i4 ) qu'en supposant a = o ou Y=o. Les deux premières des mêmes conditions donnent

comme on a ordinairement

on voit que ce rapport est très-petit. Nous pouvons conclure de là que (3 est une petite fraction.

En négligeant d'abord la seconde puissance de (3, on a

4o6 QUATBIËIIB PARTIE. — CHAPITRE II.

£n portant cette valeur de (2 dans les termes du second ordre, on trouve

et enfin ^

L'équation (6) donne maintenant

et enfin Téquation (3' )

Soit 9o la valeur de 9 lorsque le ressort est complètement désarmé. Posons

le moment OïU pourra se mettre sous la forme

(19) aTt = R(A^^B);

A et B étant des quantités censées connues.

On voit que le moment moteur crott â*peu près proportionnellement au nombre de tours du barillet, ce qui est conforme aux résultats de l'observation avec lesquels la formule précédente cadre on ne peut mieux.

La pression sur Taxe du barillet» qui se réduit à Y, étant de Tordre ^, ne peut donner lieu qu'à un frottement insignifiant.

146. Du profil de la fusée. — Dans ce qui suit, nous conserverons les notations du numéro précédent.

Soient en projection sur le plan de la grande base de la fusée

0 Taxe de la fusée;

0^ une droite fixe tracée dans le plan ci-dessus;

DU MOTBUB. 4^7

0/ sa perpendiculaire dans le môme plan; r le rayon vecteur de la courbe formée par la retraite hélicoïdale de la fusée ; ot) l'angle qu'il forme avec la droite fixe Ox.

Nous supposerons que la position de l'axe Ox correspond à û) = o pour 4' = o.

La condition qui doit être remplie est la suivante :

en admettant que le rayon de ta grande base de la fusée soit égal au rayon du barillet; mais on a aussi la relation

eif en éliminant ^ entre cette équation et la précédente, intégrant ensuite et posant A*= -— , on trouve

^i -+- A(ti

ce qui est l'équation d'une spirale dont le rayon vecteur va en décroissant indéfiniment jusqu'à zéro lorsque o) croît dé zéro jusqu'à l'infini.

Pour déterminer la forme de la méridienne de la surface de révolution qui doit limiter la fusée avant qu'elle ne soit entaillée, nous nous placerons dans les conditions les plus simples qui sont celles qui se prêtent le mieux au tracé pratique de la retraite, et nous poserons, comme pour l'hélice,

(2) z = gw,

en désignant par e une constante, et prenant l'axe de la fusée pour axe des z.

La constante s se déterminera par l'épaisseur de la chaîne ou par la hauteur supposée donnée de la fusée.

En éliminant &) entré les équations (i) et (2) et remarquant

que r= ^x^-hf^, on trouve, pour l'équation de la surface,

4o8 QUATRifeMB PARTIE. — CHAPITRE II. — DU MOTEUR.

et, pour celle de la méridienne,

qui représente une courbe convexe vers l'axe desz, qu'elle a pour asymptote.

Si l'on se donne la hauteur S de la chaîne, il suffira de

prendre e un peu supérieure — > ei l'on devra pouvoir en dé-

duire la hauteur yi de la fusée et inversement. A cet effet, appelons X la longueur utilisée de la chaîne, qui se déduit du diamètre extérieur du barillet et du nombre n de tours qu'il doit faire entre les deux arrêts. On a, en remarquant que, en vertu

de l'équation (i), - est l'angle total' que décrit la fusée,

mais ^ est une petite fraction qui est négligeable; de plus, ^

est généralement inférieur à ~; par suite, -j- n'atteint pas ^;

de sorte que l'on peut négliger la seconde puissance du second terme sous le radical, ce qui donne

Telle est la relation qu'il fallait établir.

DU MeCANISME DK THJLHSMISSIOH. 4<>9