I -h *- — i- cos 2 <ï
En général, comme nous Tavons vu plus haut, i' est égal à j augmenté du jeu, que nous supposerons d'abord nul. II nous reste, par suite, à satisfaire à Tinégalité
Ixsin^T >ta„g(|(..a),
' 2 H- /X — a/X C0S2Cp ~ o^»*^ ''
qui devient, dans le cas de p = o,
sin2<p >> 3
ou, en évaluant 9 en degrés,
(3) c. o,oi3i.
Si Ton remarque que le minimum de n est donné par
9 étant la valeur en degrés donnée de la formule (2) transformée en équation, on trouve, en résolvant cette équation :
Pour |x = o (p = 37°, o, d'où n = 10,
Pourp=:i (î> = 33",5, /i=ii,
Pour }*-—% op = 3o°, 5 , 72 = 12 ,
Pourp = | (p = 28**, 5, 72= i3,
Pourfx=| <p = 26%4, n=\\,
Pour |x= I (j> = 23°, 6 , // = 1 5 ,
OU très-exactement
(4) /l=3lO-r-5fA(').
(' ) Au lieu de cette formule, Savary est arrivé à la suivante :
« = 10 (i -H/a) qui donne des résultats plus forts lorsque /& atteint une valeur appréciable.
TRÀNSFORlfÀTION DU MOUVEMENT GIUCULAIRE CONTINU, ET£. /{S
Supposons maintenant que Ton veuille tenir compte du jeu, que nous représenterons par di', cette quantité, ainsi que la variation correspondante d(f de 9, étant supposée assez petite pour que Ton puisse en négliger les puissances supérieures à la première;
En différentiant la formule (i), considérée comme équation, par rapport à la caractéristique S, on trouve
,- r 2008 2? usin2(p T ,
COSHm? -7 vl — î
quantité qui est évidemment égale à -En ayant égard
aux valeurs de 9 données plus haut, on trouve :
Pour ti = o — = I ,o5^/',
Pour ii=i -^ = i,o8(î/',
Pour fx = | -^ = 1,11^1',
Pour II =^1 — = i,ii^/',
Pour fx = 4 — = 1,11 ^1",
Pour /x=i — = 1, 08^/',
de sorte que, en prenant pour /i le nombre entier immédiatement supérieur à la valeur de
(5) « = (lo-h 5^)(n-i, u^i ),
on sera certain que Tengrenage sera possible, au moins en dehors des conditions de résistance qu'il doit remplir, et qui ne le seront pas, notamment dans le cas de dents trop pointues et d'efforts moteurs et résistants trop considérables. 2® Le pignon conduit la roue. ~ Au lieu de la formule (2)
46 QUàTElftH PART». — GRA.P1TRV IH*
on obtiendra la suivante :
6) i -,2tang— -j — 2(p',
qui s'en déduit par analogie, en y remplaçant jul par - et cp
par ?'=^ ^•
De la limite de 9' tirée de cette inégalité, on déduira celle qui résulte de la condition relative à un engrenage réciproque, et qui sera la seule à laquelle on aura à satisfaire. Il suffit, pour s'en convaincre, de remarquer que les faces des dents de la roue sont des épicycloïdes aplaties, et que celles du pignon sont des épicycloïdes allongées, de sorte que, pour un contact d'une même étendue, l'arc dé la circonférence primitive correspondant à la naissance et à Textrémité d'un arc de face sera moindre pour le pignon que pour la roue.
Si Ton n'exige pas que le contact cesse pour un couple de dents, lorsque la nouvelle prise commence à la ligne des centres, ou que l'on admette qu'elle puisse se produire avant cette ligne, la Jimite inférieure du nombre des dents du pignon peut être plus grande que celle que donne la formule (5); il faut alors faire intervenir les arcs d'approche et de retrait^, que nous représenterons par aa, ax,^ a et tt étant des fractions du pas dont la somme est égale à une ou deux unités, selon que, lorsque le contact est sur le point de cesser entre un couple de dents, il commence entre le couple précédent de l'autre côté de la ligne des centres, ou qu'il y a déjà une prise sur la ligne des centres et une autre qui commence. immédiatement en deçà de cette ligne; 9 continuant à désigner
27r l'angle — > nous devrons avoir n
mais on a
Ao^>f*^(iii'-«y
TRANSFORMATIOll INI HOUYBHENT ClmGUJUAmi GOHTINU, ETC. 4?
D'autre part, on trouverait comme plus haut, en remarquant que l'angle AOm est égal k v<p,
iangXOm = i- 1 •
Il faudra donc satisfaire à Tinégalilé
(7) = tangfAfl a),
qui permettra de déterminer le maximum de 9 et le minimum de n pour des valeurs attribuées à jx, a et t'.
On déduira facilement de la formule (7) celle qui serait re~ lative au cas ou la roue serait conduite par le pignon.
(g"). Limite du nombre des dents dans l'engrenage à flancs intérieurs. — Il est facile de s'assurer que les formules relatives à celle question se déduiront des équations (i),(6), (7 ), en y changeantle signe du cosinus qui entre dans la dénomina tion du premier membre; mais, comme l'engrenage intérieur est peu employé, nous n'avons pas cru devoir faire l'application de ces formules.
(A). Relations entre le pas, la saillie et l'épaisseur des dents dans l'engrenage extérieur, — Soient
«, aa, av le pas, les arcs d'approche et de retraite ; e, e' et e, , e\ les épaisseurs du pignon et de la roue à la circonférence primitive et à l'extrémité; /i, fi les saillies de ces dents.
Occupons-nous d'abord de la roue 0' {/ig. Sg). On a
= — ,- = a. d'où R= — î R'= —
puis
AO/w = j AOA| = — —1
• 2ir
Mais on voit facilement que
O'm = WR''
Am'-h aR'AwsinAO/?!
et, comme plus haut,
-^, usin2Au/7t « tangOO'm = ^ ;^^^ = j^^.
d'où, en remarquant que l'angle B',0' A', est généralement assez petit pour que Ton puisse le considérer comme égal à sa tangente,
B;0'A; = tangB'.O'A', = tang(AOA', - OO'm)
2/2 -f- /2 — w cos - — I tang — ; n sm
i^*' . 4^*' , 27rv
2/2 H- /2 •— /2 cos h n sin ~ — tang
par suite
V) \ , J \%n'-^ n — nco&~ — I tang — ; /îsin-î— 7
lin -h n — n cos h n sm ^ — tang
On obtiendra des formules semblables pour le pignon en changeant dans ces dernières ^ en a et n en w', et inversement.
Ces formules sont trop compliquées pour qu'on puisse les discuter facilement; mais dans les cas ordinaires de la pratique, que nous allons maintenant examiner, on peut leur faire subir sans erreur appréciable des simplifîcations importantes.
!*• Cas des petits arcs d'approche et de retraite, — Supposons que n, n' soient assez grands pour qu'on puisse négliger les
puissances supérieures à la seconde des angles — > ^* La
TRâNSFOBMATIOR du HOUYEUERT GIRGULAIRB CONTINU, ETC. 49
première des formules (i) donne, en conservant seulement les termes du second ordre.
rt ~h aw'
(a) /' = flTTr -. — v^
On trouverait de même
En admettant un J^u de -jV du pas pour le creux, ou à trèspeu près ^) on a, pour la longueur totale des dents des deux roues,
// , ., r(/?-f-2/2>'-+-(/i^-f-2/g)a» ,1 l-l,-hl,~na^ —, +â«J.
La seconde des formules (i) donne, en continuant l'approximation adoptée,
a -h pt
On trouverait de même
d'où
e — ^, 27ra*
Nous remarquerons que, dans les cas ordinaires où o(,=zx,-=^ i , on a
2° Cas rf'w» pignon d'un petit diamètre. — Lorsque le rapport ^ = — est petit et descend au-dessous de | par
Th
exemple, on peut, sans grande erreur, négliger le carré de f^ III. 4
5o QUÀTRIÈMB PARTIE. — GHAPITRI III.
devant l'unité, et la première des formules (i) donne
OU
/' = — nu î- sin'
On peut aussi écrire
jxsm
tangOO /w = ' — = /xsin ( a ~ /x -h pt ces - — j
2 H- fx — fx COS
OO'm = tangOO'w - tang
u . 4^*'r /^ 4^** I • ajrt.N'l
= 7- sm - — 2 — (Al 2 — COS -î^ h - sin )
4 « L \ « 2 // yj
et enfin
sin
, . e'—e'. n r ( 4""t . 27rt\'l
(9) -^=^'^--4^^[»-f(^'-*'os— -«»— )J
Comme généralement, dans le cas qui nous occupe, on s'arrange de manière que l'arc d'approche soit toujours trèspetit, il suffira d'appliquer les formules (3') pour les dimensions des dents du pignon.
16. Engrenage à développante de cercle. — D'après ce que nous avons vu (12), si le profil de Tune des dents de Tune des roues est la développante d'un cercle qui lui est concentrique, le profil des dents de l'autre roue sera également la développante d'un cercle qui lui sera concentrique, et dont on effectuera facilement le tracé.
Pour rendre l'engrenage réciproque, on forme chaque dent de deux parties symétriques, et on limite les faces de manière que, lorsqu'un couple de dents est en prise sur la ligne des centres, le contact cesse pour le couple suivant en même
TmÀNSFORMÀTION DU MOUTBMBlfT GimCULAIRJt CONTINU, BTC* 5l
temps qu'il commence pour le couple précédent. Si le cercle qui limite les extrémités des dents de l'une des roues coupe le cercle enveloppe du profil des dents de l'autre roue, on complète les dents et les creux de cette dernière par deux rayons et une circonférence qui lui soit concentrique {fig. 4o).
Fig. 40.
Pour éviter que les dents ne soient trop affaiblies à leurs extrémités par suite du rapprochement des développantes, on donne à la normale commune au point de contact la plus grande inclinaison possible sur la ligne des centres. Considérons, par exemple, le cas de l'engrenage extérieur, le même raisonnement s'appliquant à l'engrenage intérieur, et abaissons du point de contact A des circonférences primitives la
52 QUATRIÈME PAIITIB. — GHAPITRB III.
perpendiculaire AC sur le rayon du pignon limitant Tare AB pris égal au pas. Soit C le pied de la perpendiculaire abaissée du point 0' sur la direction de la droite qui joint les points A et C; on satisfera à la condition que l'on s'est imposée en prenant pour circonférences enveloppantes celles qui ont pour rayons OC, O'C. Il est clair, en effet, qu'une dent du pignon parvenue à une distance égale au pas du point A sera poussée par son premier élément, et qu'elle ne pourra plus l'être au delà. Toutefois il faudra prendre Tinclinaison CO sur 00' un peu au-dessous de la limite précédente, pour faire la part de légers défauts de pose.
L'engrenage intérieur est réciproque, mais il offre l'inconvénient de conduire à des dents concaves pour la roue, inconvénient que l'on ne peut atténuer qu'en multipliant suffisamment le nombre des dents.
Si, par un défaut de pose ou l'usure des coussinets, la distance des axes vient à varier, les dents continueront à agir suivant une normale commune, mais différente de celle qui avait été fixée, et les efforts transmis continueront à rester dans le même rapport qu'auparavant, puisque le rapport des rayons des circonférences primitives est égal dans tous les cas à celui des rayons des circonférences enveloppées; de sorte que l'uiure des dents sera beaucoup plus régulière que dans tout autre système d'engrenage.
Le tracé du profil des dents du pignon ne dépendant que de son rayon et de l'inclinaison de la normale sur la ligne des centres, on voit qu'une même roue pourra conduire à la fois des pignons de diamètres différents. On déterminera le profil relatif à la roue pour le plus petit pignon et l'on en déduira ensuite les profils des autres pignons.
Malgré cet avantage, l'engrenage à développante est peu employé, en raison de la convergence des profils qui affaiblit beaucoup les dents, surtout pour les pignons d'un faible diamètre par rapport à celui de la roue.
(a). Tracé par un arc de cercle. — Si le contact est peu étendu de part et d'autre de la ligne des centres, on peut remplacer approximativement les deux développantes par deux arcs de cercle de centres C, G et de rayons AC, AC.
