III

de dents vienne à succédera celui du couple précédent, il faut que les circonférences primitives aient tourné du mên^e arc.

Si l'exécution des roues était parfaite, il suffirait que les bases fussent égales aux intervalles; mais, comme il est impossible d'arriver à cette perfection, on a soin de donner aux vides sur les pleins un excédant de largeur qui est généralement compris entre — ou âV du pas, et qui eslle jeu de l'engrenage. Après avoir tracé sur les circonférences primitives les divisions correspondant au pas, on détermine les pleins et les vides en tenant compte du jeu fixé d'avance, d'après le degré de précision que doit comporter l'exécution de l'en-» grenage; puis on trace le profil des dents de l'une des roues en se donnant celui des dents de l'autre roue; le rapport du nombre des dents des deux roues est par suite égal à celui des circonférences primitives, c'est-à-dire à celui de leurs rayons.

Généralement on forme chaque dent de. deux parties symé*^ triques par rapport au rayon qui passe par leur milieu ; de sorte que, si la largeur des dents était égale à celle de leurs intervalles ou s'il n'y avait pas de jeu, le contact aurait lieu en môme temps des deux côtés de chaque dent, ce qui est irréalisable dans la pratique, car les moindres irrégularités arrêteraient le mouvement de l'engrenage.

Pour limiter l'influence du frottement, comme nous le verrons dans un autre Chapitre, il convient de faire en sorte que le contact n'ait lieu que sur une petite étendue de part et d'autre de la ligne des centres, ou que les arcs correspondants des circonférences primitives, par suite le pas, soient relativement petits.

Du choix des profils, — Pour que la construction du n" 12 puisse conduire à un résultat pratique, il faut choisir l'enveloppée de manière qu'il n'en résulte pas de pénétration avec la partie utile de l'enveloppe. Ainsi, par exemple, si les centres des cercles tangents de la tête et de la face de ren-< veloppée se trouvaient d'un même côté de son point d'inter^ section avec la circonférence primitive (S), les deux parties correspondantes de l'autre profil se trouveraient aussi du même côté de leur point comroqn ; et comme elles se péné-*

TRÀNSFORMJkTlON l^U MOirVEHENT GiaCULÀl]ia& CONTINU, BTG. 35

trer^ienty elles ne seraient pas susceptibles d'une extécution malérielle; il faudrait donc opter entre Tune ou Taulre de ces parties, et renoncer à faire conduire les roues avant, et après la ligne des centres, ce qui peut offrir des incon«vénients.

On doit autant que possible rejeter également tout système de courbes dont Tune serait compléternent ou partiellement concave, parce que: cette forme peut donner lieu à des arcsboutements que: nous définirons plus loin, qu'elle présente des difficultés d'exécution, et enfin que les dents qui en résultent ont une plu3 grande tendance à retenir les corps étrangers quipe:Uvent s'introduire entre elles.

C'est pourquoij.dans la pratique,. on.n'emploie que quelques formes d'enveloppées à l'abri des inconvénients précités, qui offrent une facilité convenable d'exécutipn, et qui sont comprises dans les cas. spéciaux dont nous.nous sommes occupé à la fin du numéro précédent. Nous aurons donc à. examiner plus Ipin Iqs différentes solutions pratiques, dp problème des: engrenages.

De la continuité du mouyemenL ~ Il est nécessaire et il: suffit, pour qu'il y aijl. continuité daqp le mouvement, qu'il yait toujours deux dents en prise; on satisfait généralement à cette condition en disposant l'engrenage de manière que chaque dent cesse d'agir lorsque la suivante arrive à la ligne des centres. Il faut donc limiter les deqts dans le sens de leur longueur, par la circonférence de même centre que la circonférence primitive correspondante, passant par le point de contact du couple de dents qui. suit celui qui se trouve sur, la ligne des centres, en ayant soin d'adoucir les arêtes vives résultant de cette troncature.

Les creux de chaque roue sont définis par une circonférence semblable, d'un rayon un peu inférieur à la distance du centre à l'extrémité d'une dent de l'autre roue amenée suivant la ligjne. des centres, de manière à. laisser entre cette, dent et le fond du creux un espace suffisant (que l'on prendgénéralement égal au -^ du pas) pour éviter des rencontres, dans le cas d'un jeu dans les coussinets produit par l'usure.,

Des arcs-boutismenis,— On sait.que tous les corps présentent

à leur surface des aspérités plus ou moins saillantes, selon le degré du poli. Si, sur une surface plane d'un solide, on fait mouvoir sous un certain angle le tranchant d'un ciseau, on n'éprouvera que la résistance due au frottement de glissement, si le déplacement a lieu du côté de l'angle aigu d'inclinaison; dans le cas contraire, le ciseau butera 6u aura une grande tendance à buter contre les aspérités de la surface, en produisant des arrêts ou arcs'bouiements suivis de pénétration dans la matière si l'action exercée sur le ciseau est suffisante.

Une pareille tendance aux arcs-boutements aura lieu entre les dents de la roue menante et celles de la roue menée, l'arête qui termine les premières jouant le rôle de ciseau, si le contact commence avant la ligne des centres, ce qui n'aura pas lieu au delà de cette même ligne.

On devra donc chercher à éviter que le contact commence avant la ligne des centres, et, lorsque les circonstances ne le permettront pas, on réduira autant que possible l'arc d*ap' proche (ou de contact en deçà de la ligne des centres) pour diminuer les tendances aux arcs-boutants (*). Par opposition, on désigne sous le nom d*arc de retraite celui qui correspond au contact au delà de la ligne des centres.

Engrenages réciproques. — On dit qu'un engrenage est réciproque lorsque chaque roue peut être menante ou menée dans les deux sens. On voit facilement que dans ces sortes d'engrenages, lorsque le contacta lieu sur la ligne des centres, les deux couples de dents adjacents, correspondant respectivement à la menée dans l'un ou l'autre sens, se touchent à la

(* ) Lorsque Tare d'approche est considérable et que les dents ne sont pas ou ne peuvent pas être souvent lubrifiées, les arcs-boutements développent une résistance qui surpasse celle qui résulte du frottement de glissement d'uue quantité dépendante de la nature des matières en contact, de l'action mutuelle qu'elles exercent entre elles, de la masse des particules enlevées, de la profondeur du cisaillement, etc. Cette résistance est celle que les horlogers appellent le frottement rentrant en opposition de l'expression de frottement sortant qu'ils appliquent au contact au delà de la ligne des centres. Ces deux dénominations doivent être rejetées et il serait préférable d'introduire dans le langage technique l'expression de cisaillement -pour désigner la résistance qui vient s'ajouter au frottement lorsque le contact a lieu avant la ligne des centres.

TRANSFORMATION DU MOUTEXBNT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. i']

limite du contact. Il y aura donc toujours deux couples de dents en contact, Tun avant et l'autre après la ligne des centres. Il arrive souvent que, par de simples variations de vitesse, les roues, tout en continuant à marcher dans le même sens, sont alternativement menante et menée; pour atténuer autant que possible les chocs résultant de ces changements, il ne faut donner au jeu que strictement ce qui est nécessaire pour parer aux imperfections de l'exécution de l'engrenage.

14. Relation entre les vitesses angulaires de deux roues extrêmes d'un système de roues dentées engrenant successi-vement l'une a^ec Vautre^ — Soient w, w', . . . , w^"^ les vitesses angulaires de ces roues, R, R', .. ., R^"^ les rayons de leurs circonférences primitives; on a, d'après la condition fondamentale à laquelle doit satisfaire tout engrenage

d'où

en d'autres termes, le rapport des vitesses angulaires des roues extrêmes est le même que si elles agissaient directement l'une sur l'autre; d'où le nom de parasites donné aux roues intermédiaires qui ne modifient en rien le mouvement transmis.

Il faut remarquer que les rotations de la première et de la dernière roue seront de même sens ou de sens contraires pour des engrenages extérieurs, selon que le nombre des roues parasites sera impair ou pair : ainsi on pourra éviter la construction d'un engrenage intérieur, en se servant d'une roue parasite intermédiaire entre les roues extrêmes, dont les diamètres seront dans le rapport inverse de celui des vitesses angulaires.

15. Engrenages à flancs rectilignes, — L'engrenage le plus généralement employé est celui dans lequel le flanc des dents de l'une des roues est le rayon de la circonférence primitive;

QUATRIÈMI PARTIE. — CHAPITRS III,

es têies des dents de l'autre roue sont par suite des épicycloîdes/ que Ton tracera d'après la méthode indiquée au n® J2.

(a). Engrenage extérieur {Jlg.3S). — Si l'une des roues doit

Fîg. 35.

toujours conduire l'autre dans le même sens, en s'imposant la condition que la prise ne commence qu'à partir de la ligne des centres^ il suffît de limiter les dents de la roue menée par des flancs rectilignes, et celle de l'autre roue par des faces épicycloïdales. L'engrenage ainsi construit pourra également fonctionner dans l'autre sens, la première roue conduisant toujours la seconde; mais le contact n'aura lieu qu'avant la ligne des centres, ce qui est un inconvénient, comme nous l'avons dit plus haut. Pour rendre cet engrenage réciproque, il suffira de former chaque dent d'un flanc rectiligne et d'une face épicycloïdale, correspondant respectivement à la face épicycloïdale et au flanc rectiligne des dents de l'autre roue, ce qui est

TRÀNSFORHATION DU HOUVEUBia OiRCULAltfi liOKTINU, ETC. 89

toujours possible géométriquement et matérie)lefment. D'après le mode de tracé du profil épicycloïdal^ on sait que le contact d'un flanc a lieu sur la circonférence décrite sur le rayon de la circonférence primitive comme diamètre» ce qui permet de limiter facilement les dents.

(b). Engrenage intérieur. — Si la grande roue doit conduire le pignon, on formera chaque dent (Jig. 36) d'une face épicy-

cloïdale, engendrée par le roulement sur la circonférence primitive d'une circonférence ayant R pour diamètre, et le contact avec les plans du pignon n'aura lieu qu'à partir et au delà de

la ligne des centres.

Fig. 37.

Si, au contraire, le pignon doit conduire, il devra être armé de foces épicycloYdales qui agiront sur la portion des flancs de

io QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

la roue extérieure à sa circonférence primitive; mais il faudra entailler en conséquence les jantes des deux roues pour laisser passer les dents de l'autre {^g. 87).

Cet engrenage ne peut pas être réciproque, car on voit que dans \3ijig* 87 on est obligé d'entailler les flancs reclilignes du pignon pour que, à l'approche, les dents de la roue puissent se loger dans les intervalles du pignon. En se reportant à la Jig. 36, on reconnaît sans peine qu'une difficulté analogue se présenterait si l'on voulait munir de têles les dents du pignon.

(c). L'engrenage à crémaillère {fig. 38), qui sert à transformer un mouvement circulaire continu en rectiligne continu,

n'est qu'un cas particulier du précédent, en supposant que le rayon R' de l'une de ces roues devient infini, ce qui la transforme en une tige rectiligne dentée. La relation û)'R' = &)R se trouve remplacée par la suivante :

dans laquelle V désigne la vitesse de la crémaillère. Le profil de la tête des dents de la crémaillère est évidemment la cycloïde décrite par un point de la circonférence de diamètre R, roulant sur la droite primitive de la crémaillère.

Le profil de tête de la roue est l'enveloppe d'une perpendiculaire à la droite ci-dessus roulant sur la circonférence primitive de la voie, enveloppe qui n'est autre chose que la développante de cette circonférence.

[d). Tracé approximatif des flancs» — Les constructeurs, dans les cas ordinaires, remplacent l'épicycloïde de l'engrenage par un arc de cercle décrit de la naissance correspondante de la dent suivante, avec un rayon égal au pas ou plutôt

TRAliSFORVÀTION BU MOUVEUBNT GIRGULÀIRB CONTINU, ETC. 4'

à la corde qui le sous-lend. Cet arc se confond très-sensiblemenl avec l'épicycloïde, lorsque le pas est très-petit et que les den^ ont peu de longueur. S*il s'agit de pignons très^petits à dents très-épaisses pour résister à des efforts considérables, on peut déterminer le centre et, par suite, le rayon de Tare de cercle que Ton doit substituer à l'épicycloïde, par la condition qu'il passe par la naissance de la face et son dernier point de contact, et qu'il soit tangent au rayon meneau premier de ces points.

(<?). Inconvénients de Vengrenage à flancs rectilignes. — Engrenage à flancs épicycloïdaux. — Les inconvénients de l'engrenage à flancs sont les suivants : i° le tracé des dents de l'une des roues dépendant de la circonférence primitive de l'autre, on ne peut lui faire conduire à la fois plusieurs roues de diamètres différents; 2*» si les axes des roues éprouvent le moindre déplacement tout en restant parallèles, l'engrenage n'est plus exact; 3<» l'intensité de la pression exercée entre deux dents augmente à mesure que l'on s'éloigne des points de contact, ce qui tend à les faire user inégalement, en raison de Tinclinaison variable que prend la normale au point de contact; mais cet effet est presque annulé lorsque, comme cela a lieu généralement dans la pratique, le pas est trèspetit.

On peut éviter le premier inconvénient que nous avons signalé, lorsque la roue 0 doit faire mouvoir à la fois plusieurs roues extérieures, en donnant à ses dents pour profil de face l'épicycloïde décrite par un point de la circonférence P [fig. 2g) roulant sur sa circonférence primitive et en prenant pour profil de face l'hypocycloïde engendrée par le même point de la circonférence P, roulant sur la circonférence 0'. Le flanc et la face de la roue 0' s'obtiendront de la même manière, en faisant à l'inverse rouler la circonférence P à l'intérieur et à l'extér rieur des circonférences 0 et 0'. Le Cercle générateur est tout à fait arbitraire, pourvu qu'il soit le même pour toutes les roues qui doivent engrener ensemble; toutefois il faut que son diamètre soit au plus égal au rayon des cercles primitifs, afin que îe flanc ne soit jamais convexe, ce qui aurait pour

42 OUATAliOlB PARTIS* — QHJLPITSX III.

effet de donner à la naissance des dents une épaisseur moindre qu'à la circonférence primitive, condition mauvaiise au point de vue de la solidité. «

Lorsque le contact est peu étendu de part et d'autre de la ligne des centres, on peut remplacer approximativement les arcs d'épicyclolde par les arcs de cercle osculateurs correspondant à leur partie moyenne, ce qui a conduit M. Willis à un tracé auquel nous ne croyons pas devoir nous arrêter.

{f ) . Minimum du nombre des dents d'un engrenage extérieur. — Pour qu'il y ait compatibilité entre les conditions, que les dents aient une forme symétrique, et que le contact ait encore lieu entre un couple de dents lorsque celui du couple précédent commence, il faut que le nombre des dents de chaque roue ne descende pas au-dessous d'une certaine limite, au delà de laquelle les vides qui les séparent ne seraient plus suffisants pour recevoir les dents de l'autre roue, et c'est cette limite que nous nous proposons maintenant d'établir.

Nous restreindrons d'abord la question au cas où, la prise ayant lieu sur la ligne des centres, le contact cesse entre le couple de dents suivant.

Soient

71, 7i' le nombre des dents du pignon 0 et de la roue 0'; R n ^

i, V les rapports, au pas, des intervalles des dents des roues 0,0'j

« = = — 7— le pas;

<p = — l'angle au centre de la circonférence 0 correspondant

au pas.

i"* La roue conduit le pignon, — Les dents du pignon sont formées de flancs rectilignes, et celles de la roue de faces épicycloïdales; si m {Jig. 39) est le dernier point de contact entre deux dents, on a

AO/w = f .

TRAHSFORHÀTION BC HOUYEHENT CIRGlJLÀlBfi CONTINU, ETC. 4^

Il faut d'abord, pour qu'une dent de chaque roue puisse être contenue dans le vide de l'autre, que

d'où

condition que nous supposerons remplie.

Fig. 39.

L'angle mO'A doit être au moins égal à l'angle formé avec 00' par le rayon mené au milieu de la dent de la roue en contact au point m, ou à

et l'on doit avoir

tang/wO'A^tang- (i 4- l'jp.

Si mN est la perpendiculaire abaissée du point m sur 00', on a

/wN = Om cosf = — sina^,

CN^: R' -t- AN = R'-+- R sin*(p, /wN II sina®

tangwO'A =

O'N a I -H fA sin^y

44 QUÀTRifiHB PARTIE. — CHAPITRE III.

L'inégalité ci-dessus devient par suite

(t) — — ^tangfx -7—27.