G', H- F'UÔ'J --^ + « rM) -^/'(^'iHô J
En augmentant l'indice d'une unité, on aura une expression semblable pour le maximum ^t, et il sera facile de trouver la valeur de la correction que Ton doit faire subir à une première valeur approchée du moment d'inertie A du volant, résultant de l'hypothèse de 6 = 0, lorsque l'on voudra tenir compte de la seconde puissance de l'obliquité.
Comme, exemple, reprenons la question d'une manivelle simple à double effet du n^68; nous avons, pour la condition de périodicité,
4SR = 27rRQ;
par suite
S = QRr^(i-cosÔ)-e- ^esin^ol,
50,==esin0',,
5, = 5', -• "^ (i 4- ecosO', ) e sin^Ô', .
Si nous écrivons l'expression des Ci de la même manière, en nous rappelant que les angles ff^, &^ sont supplémentaires (68), nous trouvons
6, - t5\ = S^ - r,-H ^ e»cos9', sin'ô', .
Nous voyons ainsi que, dans le cas actuel, l'obliquité de la bielle exige, pour arriver au degré de régularité voulu, une légère augmentation du moment d'inertie du volant. En effectuant les calculs numériques, la formule précédente prend la
forme
o,42ioRQ(i-+-i,i68fi*).
Il arrive rarement que e atteigne |, et dans ce cas limite la première valeur approchée de A devrait être augmentée de 0,08 environ de cette même valeur. 11 n'est donc pas superflu, dans certains cas, de faire entrer en ligne de compte l'obliquité des bielles.
72. Remarque relative à rétablissement des volants, — M. Kretz a fait observer à juste titre que, lorsqu'il s'agit de faire fonctionner des machines outils, il ne suffit pas de limiter les écarts de vitesse à une certaine fraction de la vitesse moyenne : il faut encore, au double point de vue de la qualité et de la quantité de l'ouvrage produit par unité de temps, et de la conservation de Toutil, que raccéléralion de ce dernier ne dépasse pas une certaine limite; ce qui revient à assigner une limite maximum ^ à l'accélération angulaire -^ •
En négligeant l'inertie des pièces oscillantes, et dlfférentlant l'équation (2') du n** 66, on obtient
d'où
dt
fl^d^ dBdî
aSô"
rfe
• On déterminera la plus grande valeur A de -y^-» et l'on devra
s'assurer que le moment d'inertie A, calculé comme on l'a indiqué plus haut, satisfait à la condition
73. Conditions de résistance à la rupture d*un volant» — Ldijig, 1 1 1 représente une section faite dans un volant par son
Fig. III.
plan moyen perpendiculaire à l'axe de rotation 0.
DBS TOLANTS. l8l
Nous appellerons circonférence moyenne de Tanneau à l'état naturel le lieu géométrique des centres de gravité de ses sections méridiennes, et nous désignerons son rayon par po-
I® Nous considérons d'abord le cas où le volant possède une vitesse angulaire û sensiblement constante.
Soient
OAi, OA', les axes de Ogure de deux bras consécutifs;
ai 9 d^ leurs naissances respectives comprises dans l'angle
la et 6 les angles OiOa,, a,OA, = a',OA', ;
OA la bissectrice des angles A,0 A', , «lOû'i ;
A't A A, la portion de la circonférence déformée déterminée par
les directions de 0A|, OA', ; p le rayon de courbure de la courbe A^i en un point M dont
les coordonnées polaires sont r = OM, AOM = 9;
(7 la section méridienne de l'anneau ;
I le moment d'inertie de cette section , par rapport à la perpendiculaire au plan de la figure passant par son centre de gravité;
(7' la section transversale des bras que nous supposerons constante jusqu'au moyeu;
Qy N les composantes élastiques développées dans les sections méridiennes aux naissances a^^d^ des bras, dirigées respectivement suivant le rayon et sa perpendiculaire;
E le moment d'inertie de la matière ;
n son poids spécifique;
r l'effort maximum de compression ou de traction qu'on doit lui faire supporter par unité de surface.
La force centrifuge agissant sur aïkd^ faisant équilibre aux forces élastiques développées en ax^d^y il vient, en projetant sur OA,
aQcosa-+- îNsma = i n^pjCOSy.ppaf = — cil^pj sina.
En posant
l82 QUÀTRiiMB PARTIE. — CHAPITRE II.
réquation précédente se met sous la forme
(a) N, sina -+- Q cosa = 6.
Si Ton prend, par rapport au point M, les moments des forces qui agissent sur Mai, on a, en appelant vj^Tangle formé avecOA par un rayon quelconque Om de Tare aiM,
^Mr - 7)=Np,[i-C08(a-(p)]-fQf),sin(a-9) \r Po /
o'û'pj / sinfif — (p) fl^p H- const.
La constante étant le moment du couple élastique développé dans la section normale en ai ou at, on tire de là, en désignant par Cp« une autre constante qui comprend la précédente,
(^> 5I(i-l)=-N.cos(a-y) + Qsin(a-^)-C.
L'influence du bras sur Tanneau en AiAi doit, à très-peu près, produire l'effet d'un encastrement; de sorte que, après comme avant la déformation, OA, Oai sont des normales qui font entre elles l'angle a. On a donc
fo'Q -})''"' = ''
en négligeant la dilatation de la circonférence moyenne; d'où la condition
(c) N, sina — Q (i — cosa)— Ca= o.
En posant r — p, (i-f- w), nous aurons, d'après le n® 188 de la deuxième Partie,
I /(Pu \
L'équation (b) devient par suite
(d) l^Vd^^^ =N,cos(?-a)H.Qsin(y — a)-C
DES YOLANTS. l83
et a pour intégrale
— - (<p — a)C0S(f — a) -f- MGOS(f — a)-f- M'sin((p— a) h
M et M' étant deux constantes arbitraires. . MaiSy comme OA, O^i sont deux normales après comme
avant la déformation, on doit avoir -i- = o pour <p = o, 9 = a, ce qui donne les conditions
[e) Ni (sina-+- a cosa) — - (cosa — asina) -f- MsinaH-M'cosa = 0,
ie') M' =5.
Soient a^ la naissance du bras OÂi extérieure à l'angle ^ta, F l'effort de traction exercé par ce bras sur l'anneau. Comme l'angle a.Oaj^ae est toujours petit, on peut sans inconvénient en négliger le carré.
En exprimant que F fait équilibre aux deux forces — Q, aux deux forces — N développées dans les sections normales en ai, a^ ainsi qu'à la force centrifuge de la portion de l'anneau limitée par ces sections^ on a
•F=2^Q-HNc-h-8(ja»pA =2^Q-HN,s-+-2"saa»p;y
Soient
r la distance à l'axe d'une section quelconque du bras ; d la dilatation dans cette section; r» la valeur de r à la naissance.
Nous pourrons, sans*grande erreur, faire abstraction de la déformation du moyeu ou anneau central par lequel le volant est monté sur Tarbre. En considérant l'équilibre d'une tranche du bras, d'épaisseur (/r, on établit facilement l'équation
dr g
l84 QOATRltHB PARTIS. — CHAPITRE II.
d'oùy en désignant par K une constante,
n r* gE a
L'allongement total du bras sera, à peu de chose près,
comme cet allongement est égal à la valeur de po^^ pour d = a, on a la relation
(M-C)g = -iû'Pi^H-K(p.-r.).
On déduit de là la valeur de K qui, reportée dans TexpressioD de d, donne
d*où, pour r = pof
Mais cette dernière valeur n*est autre chose que celle de-;;;
on a donc
iL a»[24crep; + (t' (apî -p,r. ~ r] )] j
En éliminant M, M' entre les formules (e), (c') et {g), on arrive à la suivante :
^- r sina-f-acosa 2lfp»— rj . 1
N. [ + -^^r- .s.naj
La pi»' J 6jf pia"
x[a4<repj -t- <T'(ap5 — p,r, — rjjjsina-t- Csina =o.
BE8 YOLANTS. l85
L'élimination de C entre les équations (c) et (A) donne
N, I sin'a (sina -h a cosa ) h ^ , , la sina 1
L ^ pi^ J
(0 j ,QJ(,^eos«)-^«[?^îIig^
sina
et les équations (a) et (i) permettront de déterminer Ni et Q; mais, comme -r-r ( i — ^ | et ~ sont toujours de petites frac-
^Pl\ P»/ Po
tions, on peut, sans erreur sensible, réduire l'équation ( /) à la suivante :
IN, sin*a (sina h- a cosa) -+"0 — (i — cosa) h I sïiux. L . ^ J L 2 J H- :r- 1 û l I 1 ( 24 -7 « -H 2 2 ) a sm a = O,
cosa
i „ (i ' I (a '-t-ai — , «) «sina
U-E. lu» '^ P'^> P° '' '
1 oi? a a
1 ® h - sinacosa — sin'a
Q = JLlû'A &lAA Po. <'L ,
ofiT a a ** 1 — sina cosa — sin'a
par suite, en vertu de l'équation (c},
f I - CA f a __ ^0 ^ ^4 ^ \ gi^î^
(X.) C = - ^ uv ^ P-^^ P- 'lJ.
\iS Ot. CL
° 1 — sina cosa — sin'a
II est facile de s'assurer que la fonction de a qui forme le dénominateur de ces trois expressions reste positive pour des valeurs de la variable croissant à partir de zéro.
On voit, d'après la formule (6), que le maximum de E ( j
l8j5 QUàTRI&HB partis. — chapitre II.
correspond à
tang((p-a)=^,
ou à f = 0 en vertu des valeurs de (j); ce maximum a pour valeur
. (i— ^ ) (2 — ^5-a4^e)(a — sma)sma
\Po 9) ^S ^' a' OL . . ,
1 — sina cosa — sin'a
Soit X la composante élastique normale à la section méridienne au point M; en donnant à (p la même signification que plus haut, l'équilibre de MÂi exige que
i)'!!» = Nco8(a— y) — Q8in(a--(j') ^^pl^^ I sin(i^ — <p)rf«I',
d'où
JC>= NjCOS(<p— a) H-Qsin((p — a)H — û'pjo-,
expression dont le maximum correspond à
tang((p-a) = ~
ou à <p =: o, et a pour valeur
(m) SP^==^la^l—IllS Pî ?Z +Bûy,..
^ h - sina cosa — sin*a ®
Si Ton appelle 2 e l'épaisseur de l'anneau dans le sens du rayon, la tension élastique maximum développée sera
h Ee
\9 PJ
XetE(- j ayant les valeurs données par les formules (m) et (/); et, comme elle doit être au plus égale ai,
DBS Y0LÀ1IT8. 187
il faut que Ton ait
o { - sina cosa— sin'a
+ 5a'pja<r.
Cette condition sera satisfaite a fortiori, si celle que Ton
■• obtient en supprimant — Test elle-même, ou s! l'on a
f i-t-ia -7 8 j I - acosa-+- p^e (a — sina) j
"^aVna^-^V sina
On pourra, sans inconvénient, supposer que, dans cette inégalité, 2a est Tangle formé par les axes des deux bras consécutifs. La même inégalité suppose nécessairement que son second membre soit positif ou que Ton ait
ûp.<y/Ç,
ce qui donne une limite de la vitesse de Tanneau du volant dont il faut se tenir suffisamment éloigné.
Occupons-nous maintenant des conditions de résistance des bras. D'après la formule (/), le maximum de Ed correspond à r= ro et est égal, à peu de chose près, à
OU, en vertu de la formule (g*),
N 0 Comme -7 et —> en raison du facteur I dont sont affectées
leurs expressions, sont petits par rapport au premier terme
l88 QUATRIÈME PARTIS. — CHAPITRE II.
de celte valeur, on peut écrire simplement
EJ=ii
d'où
** I ^ ^ h - smacosa — sm'a I
^ ? 'p« - 3 7 ï^ ïTT rr "- ni? ""P«
1 — sina cosa — sm a
Nous avons négligé dans ce qui précède l'action de la pesanteur; pour plus de sécurité, il convient de calculer les éléments d'un volant de telle manière que chaque bras puisse résister aux efforts que nous venons de calculer, augmentés du poids total du volant, tandis qu'il n'en supporte jamais qu'une partie, ce qui revient à retrancher de F l'expression
n,27r -ppo, ou à écrire
h - sinacosçt ~ sin'a
Ainsi donc, étant donnés la vitesse moyenne d'un volant à sa circonférence et son moment d'inertie calculé en vue d'obtenir un degré de régularité déterminé, on devra donner à l'anneau et aux bras des sections, et des formes à ces sections, telles que les conditions (i) et (2) soient satisfaites.
n"" Proposons-nous maintenant d'étudier l'influence que doit avoir,surla résistance d'un volant, une variation plus ou moins rapide du mouvement, en faisant abstraction de la force centrifuge.
Nous nous occuperons spécialement de la flexion des bras supposés rectilignes, et nous négligerons l'angle e, ce qui est permis sans erreur sensible, comme l'indique la suite des calculs; nous conserverons les notations précédentes, aux exceptions suivantes près : i^ au lieu de représenter l'angle aiOcl^ par 2a, nous le désignerons par a; 2® nous représenterons la vitesse angulaire variable par gj, en supposant qu'elle ait lieu de la gauche vers la droite ; 3® les composantes des
DES YOLàNTS. ï8q
actions élastiques dans les sections méridiennes en at et a\ n'ayant plus ici la même valeur, nous les représenterons par les mêmes lettres que plus haut, mais en accentuant celles qui sont relatives à la seconde de ces naissances.
En projetant sur les directions de N' et Q' et prenant les moments par rapport au point 0, on obtient, pour les conditions d'équilibre des forces qui sollicitent Tare aia\^
N cosa — N — Q sina ^pl-j" 1 COS«p d<f = o,
Q cosa H- Q'-h N sma apj — / sinf d<f = o,
Si l'on pose
ces équations prennent la forme
/ N'= N cosa — Q, sina, (,,) / Q'=-Nsina-Q,cosa-f--(Tp;^,
d'où
N-N'=-<rpJa-,
(p) N(i — cosaJH- QjSina = - (Tpja^-
On a pour l'équation relative à la flexion de aid^
\r ro/
~ J ^P» SF j t^"" cos(^^-?)]4-h const. ou, en désignant par C une constante,
ig\ — ( i i.\ = — .Ncosfa — (f) ■+- Q.sinfa — ©) H- c.
^ Po\P ?J
L'angle aiOa\ restant égal à a, et les tangentes en «i et a\
igO QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
ayant la même inclinaison sur Oa,^ Oo^, après comme avant la déformation, on doit avoir
ou
(r) Nsina — Qj(i — cosa) — Ca = o.
En opérant comme plus haut^ on tire de l'équation ( q )
~" (? — a)C0S(y — a) +Mcos(<p — a) -h M'sin((ï>— a) ,
M et M' étant deux constantes arbitraires.
Nous ferons remarquer maintenant que les éléments matériels de chaque bras n'étant sollicités que par des forces
en -TT9 toutes très-sensiblement perpendiculaires à son axe
de figure, la dilatation de cet axe est uniforme et ne dépend que de Q -f- Q', résultante qui, d'après la nature même de la question, doit être très-faible, ce que, d'ailleurs, nous pourrons vérifier ultérieurement; de sorte qu'il nous sera permis de négliger la dilatation dont il s'agit, ou de supposer que u=zo pour <p = a, 9 = 0, ce qui donne les conditions
(s) — C(i— cosa)-f-^Nasina-4- ^acosa — M'sina = p.
D'autre part, les tangentes en Oi, {/, devant être également inclinées sur 0'«i, Oa\, la dérivée -7- doit avoir la même valeur pour (^z=: a, 9 = 0, ce qui s'exprime par
\ —(sma-hacosa)
I — -^ (1 — COSa-4-asina) — Csina-HM'(i — COSa) = 0.
L'élimination de M' entre les équations {s) et (0 conduit à
DBB YOLANTS. 19I
la suivante : . -
/ V N . Q. . . aC(i~C08a)
(w) — sma— -^(i — cosa) î ; 1 =0.
a 2 ^ ' a + sm a
Il résulte de la comparaison des formules {r) ei{u) que C est nul et que Ton a tout simplement
(f») Nsina— Q^(i — cosa) = o
De cette équation et de la formule {p) on tire
V n flfc»
et enfin
^8 ^ n a rfw
0 = j^Pî(itang?-i),
Ainsi donc reflfort Q + Q', qui agit longitudinalement sur chaque bras, est nul, ou plutôt de Tordre des quantités que nous avons négligées, comme nous l'avons admis a priori.
Soient maintenant
r le moment de la section du bras par rapport à la perpendiculaire au plan de la figure passant par son centre de gravité;
p le rayon de courbure au point de la fibre moyenne déformée situé à la distance rde Taxe de rotation;
ae' l'épaisseur du bras.
On a
d'où pour le maximum de —
ig^ QUATRlftMB PARTIE. — CHAPITRE II. — DES YOLANTS.
la tension ou compression élastique maximum développée est, par suite,
et doit être au plus égale à F; on satisfera a fortiori à cette condition si l'on satisfait à la suivante :
r > n gp^g flfo e' "=" g r dt'
En désignant par P le poids de l'anneau, par n le nombre des bras, et remarquant que l'on a à peu de chose près
a = — 9 l'inégalité ci-dessus peut se mettre sous la forme
suivante :
e' - ngV dt '
qui est d'une application plus facile.
DBS RfiGULÀTEURS. ig3
