CHAPITRE III

74. Il arrive dans la plupart des machines que, par suite d'eirigences particulières, le travail utile doit rester pendant un temps, plus ou moins long, tantôt au-dessous, tantôt audessus de la valeur pour laquelle la machine a été établie : c'est ce qui arrive, par exemple, si, la machine ayant pour objet de faire fonctionner à la fois plusieurs outils, on vient à en diminuer ou à en augmenter le nombre.

Pour éviter les effets nuisibles d'une trop grande augmentation ou diminution de vitesse, il faut réduire ou augmenter le travail utile et, par suite, l'énergie de la force motrice. Cette variation d'intensité, pour les moteurs inanimés, se produit à la main, ou automatiquement, à l'aide d'un méca* nlsme appelé régulateur^ qui agit sur le distributeur de la force motrice, la vanne d'une chute d'eau, ou le robinet ou la valve d'une conduite de vapeur, par exemple, lorsqu'on emploie pour force motrice le poids de l'eau ou la pression de la vapeur. Pour simplifier le langage, nous supposerons dans ce qui suit qu'il s'agit d'une vanne.

Comme on le voit, le volant et le régulateur remplissent deux fonctions distinctes : le volant a pour objet de restreindre entre certaines limites les écarts de vitesse dus à la présence d'organes oscillants dans la machine, lorsque le travail est régulier, tandis que le régulateur a pour but de limiter les écarts de la vitesse moyenne quand le travail à effectuer est soumis à des irrégularités.

Dans ce qui suit nous ne nous occuperons que des régulateurs le plus en usage.

ig4 QOlIHifeMB P&KTII. — CBàPITRB III.

75. Régulateur à boulet ou à force centrifuge. — Ce régulateur, qui est le plus généralement employé, se compose Ifig. 112) de deux, boules A, A' de même poids, fixées aux

extrémités de deux tiges égales AB, A'B, qui sont articulées à charnières à l'extrémité supérieure B d'un arbre vertical BX, dont le mouvement de rotation est transmis par l'arbre ou l'un des arbres de la machine au moyen d'engrenages ou de courroies. Deux tiges ou bielles égales CD, CD' sont articulées en C et C à AB, A' B à égale distance du sommet B, et à une douille DD', qui peut glisser le long àt l'arbre BX. La douille, en s'élevant ou s'abaissant par l'effet de la force centrifuge qui s'exerce sur les boules, et d'une manière secondaire sur les tiges, agit sur la vanne de la force motrice par l'intermédiaire d'un système de tringles relié à la douille par une articulation, et dont la disposition varie avec les circonstances.

Quelques constructeurs remplacent les boules par des lentilles dont les arêtes sont comprises dans des plans passant par les axes de figure des tiges AB, A'B, et perpendiculaires à celui dans lequel sont compris ces axes et celui de l'arbre.

Cette disposition a pour objet de réduire la résistance de Tair ; mais, comme un régulateur marche toujours lentement, l'avantage des lentilles sur les sphères est pour ainsi dire illusoire.

Supposons les quatre liges réduites à leurs axes de figure, et les sphères et la douille à leurs centres A, A' etD.

Soient {fig. ii3)

AB = A'B~a, I

BC = BC =6, > des longueurs données; CD=C'D = c )

I l'intersection de AA' avec BX; P le poids des boules ;

p Teffort que doit vaincre la douille, tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre, pour faire varier la position de la vanne; w la vitesse angulaire de l'arbre; oL l'angle formé par AB ou A' B avec la verticale BX.

On a

AI = asina, BI = ècosa,

et le triangle BCD do nne

BD = ^ cosa H- y/c^— è'sinV,

d'où

a, où — — b sina dot. — -

Comme la massé des tiges est toujours relativement faible par rapport à celle des boules, nous en ferons abstraction. Les forces centrifuges des éléments matériels de chaque boule supposée homogène ont une résultante passant par le centre de gravité de la boule et qui n'est autre chose que la force centrifuge de ce centre où toute la masse était concentrée; cette résultante a pour expression

- (v*. AI = — w^a sina.

En exprimant que, pour le déplacement angulaire ^a, la somme aes travaux virtuels du poids et de la force centrifuge des boules et de/? est nulle, on a

(i) aP — flSinac^.AI H-a- c?.BIdb oflf.BD = o,

196 QUATmiÈMB PAETIB. ^ CHAPITRE III.

d'où

. . P , - . ^ . , / 6co8a \ .

(a) a-fl'(v'sinacosa — aPasmazp/?^! i-+- — — )8iiia=ro,

le signe — et le signe + se rapportant respectivement à la tendance à la levée et à l'abaissement de la vanne.

Soit w% la vitesse angulaire de l'arbre qui correspond à la vitesse de régime de la machine et à la valeur ao de a pour iv=Wcf il ne doit y avoir aucune tendance au déplacement de la vanne dans un sens ou dans l'autre, ou encore aucun effort ne doit s'exercer sur la douille; de sorte que la formule (2) donne, en y supposant w = Wc, cc = aa ei p =^0,

(3) ^ï'Jcosa, = ?.

Les vitesses angulaires maximum w^ et minimum Wi du régulateur correspondant à la tendance au déplacement de la vanne ont respectivement pour valeurs

1 \ v^c*— ^'sin'a./

Le rapport -^— étant toujours une petite fraction, on peut,

sans inconvénient, en négliger les puissances supérieures à la troisième, et écrire, en ayant égard à la relation (3),

et Ton voit que Ton a, à la deuxième puissance près de —»

DBS RfiGOLATBUHS. I97

Wj — (1;^= iVo — (Vi, c'esl-à-dire que là douille et la vanne seront sur le point de se déplacer pour des écarts de vitesse sensiblement égaux de part et d'autre de la vitesse de régime. La sensibilité du régulateur se mesure par Vécart proportionnel -^ ^ que l'on se donne a prioriy et qui doit être

d'autant plus petit que l'on veut obtenir une plus grande régularitédans le mouvement. Désignant ce rapport par -9 nous

aurons, à la troisième puissance près de -^5-"'

d'où

(6) p ^ ^ / ^ 6co8a,\

formule qui fait connaître le poids qu'il faut donner aux boules pour obtenir le degré voulu de sensibilité.

Il est facile de voir qu'aux termes du second ordre près on peut écrire

(7) •^'='*'.('+^)' •^. = "'»('-ii)-

76. Conditions relatives aux limites que l'on assigne à la vitesse delà machine. — Supposons maintenant que, par suite d'une réduction du travail utile, w dépasse (V|, la vanne s'abaissera en même temps que w croîtra; toutefois w ne dépassera pas une certaine limite w'' correspondant à la fermeture complète de la vanne, et qui sera une conséquence du mode de liaison entre la vanne et la douille; mais, à l'inverse, on peut se proposer d'établir ce système de liaison de manière que w'' soit donné a priori, et que l'on ait à remplir une condition semblable en se donnant la vitesse angulaire w' correspondant à l'ouverture complète de la vanne.

Soient a", af les valeurs inconnues de l'angle ABD correspondant aux vitesses angulaires w^, w\ et supposons que la résistance opposée au déplacement de la douille reste constante et égale hp, pour toutes les valeurs de cet angle comprises entre

t*^^ COSa" = wl

igS QUATRIÈMB PARTIS. — CHAPITRE III.

a" ei a'. Considérons le cas le plus usuel où BCDC est un losange, et négligeons le carré de -5 nous aurons, en nous reportant à Téquation (2),

(8) ^^el de même

f w*^ COS a' = (vj COSa. ( t ) •

Or la position de la vanne doit être donnée pour la valeurs de l'angle ABD; on devra donc établir la liaison entre la douille et la vanne de telle manière que, lors de Touverlure et de la fermeture complète de la vanne, Tangle ot soit égal aux valeurs de a", a' données par les équations (8). Dans le cas actuel, la formule (6) devient

et le poids des boules est ainsi indépendant de Tangle a«.

Soient Ao == 2û cosa©, h" z=ia cosa'^, h' =:ia cosa' les valeurs de AD correspondant aux vitesses angulaires w,, «^', w'.

Les équations (8) prennent la forme simple

qui se prête facilement aux applications (^).

( * ) Disposition de Foucault. — Foucault a eu l'idée de chercher l'effet que produiraient les boules placées sur les prolongements des bielles CD, CD,

Fig. 114.

lorsque BADC est un losange (Jîg, ii4); A, A' seraient, dans ce cas, assujettis

DBS RfiGULATEUAS. I99

Pour éviter que les boules oscillenl dans le mouvement

régulier de la machine , il faut donnera -une valeur su-

périeure à l'écart relatif des vitesses maximum et minimum, qui sert de base à l'établissement du volant (').

Soit h la valeur de AD correspondant à la vitesse angulaire <v; on a, selon que cette vitesse est supérieure ou inférieure à (Vo,

Si GO, 0)3, gdi sont les vitesses de Tarbre qui correspondent aux vitesses w, w^, Wx auxquelles elles sont proportionnelles, on peut écrire

(9) ^'=;4^o. ^^=^TiK

Soit Ç, pour la vitesse cv, l'augmentation relative éprouvée par le débouché de la vanne correspondant aux vitesses angulaires W2 eX Wx;Z sera proportionnel à A — Ao; nous pourrons

à se trouver sur un ellipsoïde substitué à. la sphère du régulateur ordinaire. Posant AD = A'D = a et conservant les notations du texte, il est facile de reconnaître que les formules (4) s'appliquent au cas actuel, en remplaçant Pa par P(2^ — «), après y avoir supposé ^ = c. Cette disposition est loin d'offrir quoi .que ce soit d'avantageux.

(*) Le mouvement oscillatoire des boules résultant d'une variation de la vitesse angulaire est un mouvement relatif par rapport au plan mobile AD A' ; les forces centrifuges composées pour chaque boule ayant une résultante perpendiculaire à ce plan, on n'a qu'à introduire dans l'équation (1) le terme

— 2I -— • ^a, I étant le moment d'inertie de la boule par rapport à l'axe projeté en B. Au lieu de l'équation (2), on a la suivante :

,rf»a P,,. „. ,. /. 3cosa \

I -TT- ■= — oi à* sin a cos a — Va sin Kzr:pb8ina. | IH — l •

On devra faire l'intégration pour chaque demi-oscillation ascendante et descendante, correspondant respectivement au signe supérieur et au signe inférieur du dernier terme du second membre ; les constantes introduites se détermineront

par la double condition que a et -=- ont des valeurs connues au commence-

ment de chaque demi-oBcillation.

aoO QUÀTRlftMB PARTIE. — CHAPITRE III.

écrire en vertu de la formule (9), selon les cas,

k et kl étant deux coefflcients connus.

77. Jutre disposition.— Dans certaines circonstances, motivées par des difBcuItés d'emplacement» on est obligé de placer la douille au-dessus de l'articulation D; on emploie alors la disposition représentée par la^g^. i iS, dans laquelle les tiges de

Fig. ii5.

même longueur BC, BC sont également inclinées sur les tiges AB, A'B, d'une manière invariable, avec lesquelles elles sont respectivement reliées. Les bielles CD, CD déterminent un losange BCDC. Nous ne nous arrêterons pas à la recherche (qui ne présente d'ailleurs aucune difficulté) de l'écart proportionnel dans l'expression duquel doit entrer nécessairement l'angle CBA.

78. Des régulateurs isochrones. — Dans le régulateur à boules il y a, pour chaque valeur de a, une vitesse de régime déterminée w; de sorte qu'il ne peut remplir l'objet

DBS RÉGULATEURS. SOI

qu'on se propose que par approximation , à la condition que l'angle a varie peu en passant de l'ouverture complète à la fermeture de la vanne.

On compfend ainsi l'avantage, au moins au point de vue théorique, que doit présenter un régulateur disposé de manière que la vitesse angulaire de régime w^ soit indépendante de l'angle a. Les dispositifs de cette nature qui ont été imaginés par divers ingénieurs et constructeurs ont reçu le nom de régulateurs isochrones.

Nous allons passer en revue les principaux types de ce genre de régulateurs.

79. Régulateurs paraboliques. — Concevons un dispositif tel que le centre de chaque boule soit assujetti à rester sur une courbe fixe, déterminée de manière que le poids et la force centrifuge de la boule se fassent constamment équilibre pour la vitesse w^j quel que soit l'écart a; on obtiendra un régulateur isochrone. En efFet, par suite d'une diminution de la résistance utile, w croîtra à partir de w^ et en même temps a à partir de oc^; mais bientôt , par la fermeture graduelle de la vanne, w et par suite oc atteindront chacun un maximum ; w, a décroîtront, atteindront respectivement un minimum, et ainsi de suite; mais, sous l'influence du frottement (*), les oscillations de chaque boule sur sa courbe s'éteindront rapidement, et, lorsqu'elle sera arrivée à l'état stationnaire, la vitesse du régulateur sera redevenue w^.

Soient x l'abscisse verticale d'un point de la courbe que doit décrire le centre A, mesurée à partir d'un point déterminé de l'axe de l'arbre; jr l'ordonnée horizontale correspondante : le principe du travail virtuel donne

p d'où, en appelant C une constante,

(*) Voir la Note, placée à la fin de ce Chapitre, relative à Tinflaence que peut avoir le frottement sur les mouvements oscillatoires.

302 QOATHlbMB PàRTII. — CaAPITBB III.

équaiion d'une parabole, comme on devait s'y attendre (deuxième Partie, n'aOT), dont le paramètre est— f et C l'abscisse du sommet dont on fixera la position comme on l'entendra.

C'est sur le principe que nous venons d'énoncer que soni basées les deux dispositions suivantes :

1° Régulateur de Franke. — C'est le premier régulateur parabolique qui ail été construit : il se compose de deux guides curvilignes {Jig. 1 16) MN, M'N', symétriques par rapport à l'axe

Fig. Ii6.

de l'arbre, correspondant respectivement k deux couples de galets C, C qui terminent les tiges des boules A, A' ; les axes des galets sont engagés dans deux fenêtres courbes pratiquées dans les extrémités de deux tiges CE, C E' qui vont en B s'ar-

DBS RÉGULATEURS.

ticuler à l'arbre. Deux tringles t, t' sont articulées à ces deux liges et supportent, également par articulation, la douille D. On voit que chacun des guides doit affecter la forme d'une parallèle à la parabole que doivent décrire les centres des boules, tracées à une distance de cette courbe égale à celle de ces centres aux circonférences de gorge des galets.

Cette disposition n'a pas eu de succès pratique, en raison de sa complication et des frottements des galets sur les guides et sur leurs axes, qui diminuent notablement la sensibilité du régulateur.

2* Régulateur à bras croisés. — M. Farcot a eu l'idée de remplacer la parabole par son cercle osculateur dans la position moyenne que doit occuper le centre de chaque boule, ce qui lui a permis d'établir un régulateur à très-peu près isochrone, d'une construction très-simple.

Soient (yîg'. 117 et ii8)

Fig. 117.

Fig. 118.

A, la position moyenne du centre de la boule A; S le sommet de la parabole ;

F son foyer déterminé par SF = — ^ *,

ao4 QUATRIÈHB PARTIS. — CHAPITRE III.

A.B la normale en A« limitée à Taxe de la courbe ;

H l'intersection de la direction du rayon vecteur A«F avec la perpendiculaire en B en A«B ;

K celle de la perpendiculaire en H à A«H avec le prolongement de la normale qui est le centre de courbure de la parabole en Ao(*];

K' le centre de courbure de la même courbe correspondant à

la position moyenne A\ du centre de la boule A% qui est le symétrique de K par rapport à BS.

Portons, à partir des points K et K' sur KA, K'A, deux longueurs égales KG, K'CS puis joignons G, G' à un point D de Taxe.

On obtiendra un régulateur sensiblement isochrone, en supposant que KAoy K'A'^ représentent deux tiges articulées en E et K' à une pièce KK' faisant corps avec Tarbre, que la douille D soit reliée, par articulations, à ces tiges par les tringles GD, G'D.

Proposons-nous maintenant de déterminer les conditions relatives à la sensibilité du régulateur, en plaçant l'origine des coordonnées au milieu I de KK'.

Supposons, pour plus de simplicité, comme cela a lieu d'ailleurs en général, que les tiges GD et KG aient une même longueur 6, et conservons aux lettres P et /> la même signification qu'au n** 75; nous aurons, pour l'équation du travail virtuel,

w étant Tune ou l'autre des vitesses angulaires de l'arbre pour lesquelles la vanne est sur le point de se déplacer. Posons w = «^0(1 + e)> nous aurons, en négligeant le carré de e,

(10) - wj Bfdy = dz'-d. ID.

Soit a l'angle formé par la normale AoK avecIS; de l'équation

(•) Foir mon Traité de Cinématique pure, n® 57, p. 57.

DBS RfiGULÂTEUHS. 2o6

on tire

(m) tanga = - — = --ijr,

d'où

Hais on a

ID = 2 6cosa, d'où rf.ID=— a6sinaûfa= —aè— i cos^asina^fr,

et réquation (lo) donne par suite

. pb cos'asina aP j

OU, en remplaçant y par sa valeur, en fonction de a, tirée de l'équation (ii),

nous aurons donc

Supposons que l'écart proportionnel - soit donné pour la-

valeur moyenne «o de a; de la condition - =. — on

déduit la relation

^ z= pn—^— cos'a..

L'écart proportionnel, pour une valeur quelconque de a, a par suite pour expression

I cos'a

mais, comme l'angle a — a^ est toujours petit, on peut en négliger le carré, et cet écart prend la forme

i[i— 3tanga,(a-a,)l,

ce qui met bien en évidence la manière dont il varie avec a

206 QUATElftMB PÂtTIB. — GHâPITRB III.

80. Régulateur isochrone à contre- poids de Meyer { ' ). — Reportons-nous à la théorie du régulateur à boules (75), en conservant les mêmes notations. Dans le régulateur dont nous nous occupons actuellement, la douille fait corps avec un manchon enveloppant l'arbre, et qui se termine inférieuremeift par un galet E (^g^. 119) s'appuyant sur Tune des branches £F d'un levier coudé EFG, mobile autour de Taxe F, à

l'extrémité duquel se trouve adapté un contre-poids Q. En raison de son faible diamètre, nous pourrons, sans erreur sensible, supposer que le galet E se réduit à son axe.

(^) On doit à M. Charbonnier {Bulletin de la Société industrielle de Mulhouse^ 1B42) l'idée première de rendre constante la vitesse de régime d'une machine dans laquelle le travail utile est sujet à des variations ; il proposait, pour arriver au but, l'emploi de contre-poids sans en définir le système. M. Meyer, de Mulhouse, séduit par l'argumentation de M. Meyer, à laquelle il avait d'abord été rebelle, résolut pratiquement le problème, dont, dans plusieurs cas particuliers, les éléments numériques furent déterminés par M. Charbonnier. Les résultats de l'observation vinrent ultérieurement justifier les calculs de ce modeste savant.

Nous aurions dû logiquement, au point de vue historique, commencer à exposer la théorie des régulateurs à contre-poids; mais nous avons pensé qu'en nous occupant d'abord des régulateurs paraboliques nous ferions comprendre plus facilement ce que l'on entend maintenant par régulateur isochrone (d'après Foucault).

DBS RÉGULATEURS* 207

Soient

Wy G' les projections des points E, G sur l'horizontale du

point F; m l'angle constant GFE;

k et l les longueurs des bras de levier EF et GF; q le poids du manchon; 9 l'angle EFE'.

La condition qui doit être remplie pour que le régulateur soit isochrone est que la vitesse de régime soit indépendante de l'angle a, sans faire intervenir la résistance au déplacement de la douille.

Le princjpedu travail virtuel, dans l'hypothèse dé BC—CD=i&, donne

aP d,GG*

( 12 ) — «' fv'sina cosa — a Pfl sina — 2qb sina — Q — ^ — - = o. g dot.

Or on a

EE' = BE'— BE = BE' - DE - BD = A -^ 2^ cosa,

en posant h — BE' — DE, qui est une constante dont on pourra disposer ultérieurement. D'autre part EE'= /Ir tangç ; nous avons donc la relation

(i3) A^ tangy = /i — 2ècosa,

d'où

ib (i3') fl?(j> = -7-8inaC0S*9fl?a.

Si l'on remarque que

GG'= /sin(//î -+- <p),

on a

ilh rf.GG' = /cos(m-i- <p)é/<p = -7-sinacos{![' -h m) cos'9 rfa,

et l'équation (12) devient

P Ib

(i4) -flV*cosa — Pa--^6 — Q --rCOS*<ï>cos(<ï> -H m) = o.

Supposons maintenant que l'on dispose de A ou de la valeur moyenne «« de a en vue d'annuler l'angle 9 pour a = «o. Nous

2o8 QUATRIÈME ^ÂRTIB* — GHAPITRB IIU

pourrons prendre k suffisamment grand pour que, lors des plus grandes valeurs de (a— a•]^ l'angle 9 reste assez petit pour que Ton puisse poser sin 9 = tang9, COS9 = 1. L'équation (i4) devient alors

(i5) -a'*v'co8a — Pfl — ^.^ — Q-j (cos/w —

h — ^écosa .

-. sm/w

Cette équation sera satisfaite, quel que soit a, en posant

f Prt-f- ^6-1- Q-r ( cos/w — -rSinmJj

et Ton pourra donner à Q, 9, m des valeurs telles que ces équations soient satisfaites pour une valeur déterminée de w; le problème de Tisochronisme se trouvera ainsi résolu, du moins par approximation.

81. Régulateur isochrone de M. Tchébichef. — En nous reportant au régulateur à boules (75), supposons que la douille D (fig. 120) soit au-dessus du point fixe fi, et que BC, au lieu de

Fig. 120.

se trouver sur le prolongement de AB, fasse avec sa direction

un angle ABC = m.. Admettons que la douille D ait un poids Q comparable à celui des boules. Rappelons-nous ces notations

DBS RfiâULÂTBURS* 209

AB = a, BC = &9 CD === c, a étant l'angle que forme AB avec la verticale BD.

Il est facile de voir que l'équation du travail virtuel s'obtiendra (en faisant abstraction, bien entendu , comme plus haut 9 de la résistance au déplacement de la douille) en remplaçant, dans le troisième terme de l'équation (2) du n^ 75, zçLp par — Q, et a par 180** — (a -t- m), ce qui donne

-^Sina^ I- ^ SI

sin ( /iiH- a )