III
2IO QUATRlftHB PARTIE. — CHAPITRE III.
M. Tchébichef a vérifié, dans plusieurs cas particuliers, ses formules et a pu constater que son système conduisait à l'isochronisme avec une approximation inattendue.
82. Régulateur isochrone à ressort de Foucault* — Foucault a cherché à obtenir TLsochronisme de la manière suivante : le losange (fig, lai) articulé BCDC est relié à l'arbre
par son sommet inférieur B. Au sommet opposé se trouve la douille D; les côtés CD, CD' sont prolongés en CA, C'A' de longueurs égales à la leur, de manière que les centres des boules A, A' restent constamment dans le plan horizontal du point B. De part et d'autre de l'arbre, les boules sont reliées par un ressort à boudin, aboutissant aux extrémités des diamètres perpendiculaires au plan CDC, et les deux ressorts sont complètement identiques.
Soit a' la valeur de a. correspondant à l'état naturel du ressort; la résistance opposée aux boules par le ressort, étant proportionnelle à son allongement (deuxième Partie, n" 189), peut être représentée par /r(sin a — sin a'), lorsque l'écartement CBD est devenu a, k étant qne constante. L'équation du travail virtuel donne
ou
a-w^sinacosaflfoc— 2^(8ina — sina') cosa^oc = o S
sina( - fv*— ^J = — ^sina'.
DBS RÉGULATBOftS*
Si a' = o, cette équation sera satisfaite en posant
àii
formule qui permetti^a de calculer le poids des boules pour une vitesse déterminée cv, connaissant k.
Hais, comme on est obligé de donner une certaine valeur à l'angle aS la condition de Tisochronisme ne peut être satisfaite que par approximation.
83. Régulateurs à boules conjuguées. — Ces régulateurs, qui sont dus à M. E. Rolland, sont formés de deux systèmes identiques de tringles articulées, à liaisons complètes, situés symétriquement par rapport à l'axe de l'arbre dans un même plan méridien. Des masses sont calculées et disposées sur cer taines tringles, de telle façon que l'on puisse annuler les termes variables qui entrent dans l'expression de la vitesse de régime.
Nous nous bornerons ici à étudier la combinaison la plus simple à laquelle H. Rolland est arrivé :
B£ {/ig* 122) est un bras horizontal fixé en B à l'arbre;
Fig. 133.
CILT-
B'E', B^'E" deux bras horizontaux égaux au précédent, adaptés à deux douilles B', B" qui ont la faculté de glisser le long de l'arbre et dont l'une commande la vanne.
Les points W et E' sont reliés par articulations en C et Ç' par deux tringles C"W, CE' à un levier à angle droit CEC
ai a QUATRIÈMB PARTIB. — GHAPITEB IIK
mobile autour d'un axe Qxe projeté en E. Les longueurs E^C", EC", EC sont égales.
Les points A, Ai sont les centres de deux sphères égales, situés à la même distance de £ sur le prolongement de C'^'E et sur EC.
Soient
P le poids de chaque boule;
a la longueur des tiges EB, E'BS E^'B'';
b celle des tiges E^'C", C^E, EC CE' ;
c la distance EA ou EAt;
9 Tangle formé par EAi avec la verticale ;
w^ la vitesse angulaire de régime.
On a
BB''=2èsinG, BB'=2^C08Ô.
Le travail virtuel de la force centrifuge des deux boules est
(a-+-csin9)ccosÔt/eH (a — ccos6)csin0£i9
= - «fj ac (sinô -4- oosô ) é/Ô ;
le travail dû au poids des boules,
{b) Pc(cose-sine)rfe.
Comme, en égalant à zéro la somme des deux expressions (a), (6), il n'est pas possible d'obtenir pour w» une valeur indépendante de d, on adapte respectivement aux deux bras B"E'' et B' E' deux poids Q*' et Q' que nous chercherons à calculer de manière à satisfaire à cette condition. Leur somme de travail étant
(c) -Q"^.BB''h-Q'^.BB'= — 2^(Q''cos0H-Q'sine)eiO,
en faisant la somme des trois expressions (a), {b), (c) et égalant séparément à zéro les coefficients de sind et cos0, il vient
DS8 RÉGULATBCR8. 31 3
Le système peut donc être réalisé si — ^a^i; dans le cas
de régalité^ la portion AiC'EB' des tringles du régulateur deviendra inutile» et la vanne devra être commandée par la douille D''.
84. Régulateur pneumatique de Larmère.— Ce régulateur, qui sort complètement de la catégorie des régulateurs généralement employés, se compose d'une pompe à air à double effet E {Jig. i23 et 124), mise en mouvement par Tarbre de la machine, dont les deux clapets d'aspiration et de refoulement s, s'f dans Tatmosphère, sont placés à chacune des extrémités du corps de pompe.
L'aspiration a lieu dans un cylindre A par l'intermédiaire d'un tuyau T qui, en se bifurquant près dij corps de pompe, aboutit aux deux clapets d'aspiration. Le cylindre se termine à la partie supérieure par un cône qui laisse passer à son sommet, à frottement doux, la tige du piston B. A l'extrémité supérieure de la tige est adaptée une boule B',' munie d'une embase cylindrique qui vient reposer sur la troncature horizontale du sommet du cône; son extrémité inférieure est articulée à la manivelle d'une tringle horizontale C qui, en tournant, ouvre plus ou moins la vanne.
Au moyen d'une petite roue D, cannelée sur le pourtour, faisant corps avec une vis adaptée à un registre, on peut faire varier à volonté la section d'un oriOce qui établit une communication entre l'air atmosphérique et le dessus du piston.
Supposons que, la pompe arrivée à fond de course, la boule repose sur son siège, ce qui correspond à l'ouverture complète de la vanne. La pompe venant à se mouvoir, il se produira dans le cylindre une diminution de pression d'autant plus grande que la vitesse de la pompe sera plus considérable; bientôt le système de B et B' sera soulevé, et l'arbre C fera fermer plus ou moins la vanne; par suite de l'introduction de Tair par Torifice réglé par la roue D, le système BB' retombera sur son siège, et ainsi de suite.
L'ouverture de la vanne sera d'autant plus rapidement restreinte que la vitesse de l'arbre sera plus considérable. La
ai4 QUÂTklfiM P»TII. — CH&PITIB III.
roue D permet de régler l'introduction de l'air pour une vitesse moyenne déterminée, qui peut être ainsi maintenue sensi-
PtB.133. Rg. 114.
blement consume, lors même q ue la réslsunce utile vient à varier.
BBS RÉGULATBUtS. 31 5
La détente étant très-faible dans le tuyau T, nous pourrons en faire abstraction et considérer l'air comme incompressible.
Soient
P la pression atmosphérique ; n le poids spécifique de l'air à cette pression ; (ù la vitesse angulaire de l'arbre de la machine; A la surface du piston de la pompe ; a celle de l'orifice d'aspiration; p la pression variable dans te cylindre ; S la surface du piston B; Q le poids du système BB' ; r le rayon de la manivelle de la pompe ; ' 9 l'angle dont cette manivelle a tourné à partir d'un point mort.
Nous négligerons l'obliquité de la bielle de la pompe et TefiFort très-petit, par rapport à Q, nécessaire pour faire fonctionner la vanne.
La vitesse du piston de la pompe étant oarslnO, celle de
l'air à son entrée dans le cylindre B estwr - sinô, d'après l'équivalence des masses ou des volumes. On a donc
d'où
'r'sin'
ag'
Hsin
Soit maintenant z la hauteur à laquelle le piston s'est élevé à partir»de sa position la plus basse, ou pour & = o. Il est clair que Ton a
d'où
(a) — -jêâ = -ïSm'®— I)
2l6 QUÂTaiÈMB PAETU. — CfiAPITM III.
en posant pour abréger
et remarquant que (ùdt = dO.
Pour que l'appareil puisse fonctionner, il faut que^ pour une certaine valeur de 6, on ait
-j sin'0>i,
ce qui exige que 6> soit au moins égal à la valeur Ui» que nous prendrons maintenant pour vitesse angulaire minimum.
L'équation (a) ne sera donc applicable qu'à partir de la valeur ff^ de 0 donnée par
(b) sinô', = î^,
dz pour laquelle le piston B tendra à se déplacer, la vitesse --r
étant nulle.
Une première intégration donne
Le piston B sera sur le point de retomber pour la valeur ff^ de 9 plus grande que 0', et plus petite que i8o degrés, donnée par l'équation
('■) (^ -')(«'»- 6'.) -^{8inae'.-sinae',) = o.
Enfin on a, pour déterminer l'amplitude totale Zi de roscillation.
(rf)
if.-;fâ-)"--'''
Soient maintenant
0)3 la vitesse angulaire maximum; Q la vitesse angulaire moyenne;
BVS RÉG€LATEUtS. 217
— l'écart proportionnel maximum de on, qui est une donnée de
la question et dont nous supposerons la valeurau plus égaie à 7, de manière à pouvoir en négliger le carré;
6i et 01 les valeurs de ff^ et 6\ correspondante os;
h la hauteur à laquelle doit s'élever lé piston B pour que la vanne soit fermée.
On devra s'arranger de manière que A = Zi pour « = &>,. Nous avons^ comme plus haut>
sin0. = i-i, cosô.= y/^(i-.J^) = y^|(i-J^).
Si maintenant nous posons 6,= j, pétant du même
ordre que -9 nous aurons
d'où et
sin 20, = sin W - 1 cos2d, = — cos i /- L'équation (i) donne la suivante :
qui permettra de déterminer Q , dès que l'on se sera donné r et une moyenne valeur de -•
ai8 QUATRIÈMI PiitTIB. -- CHAPITRE III.
L'équation (c) donne, pour gj = (k>2y {«) gin ae,=: 4 (3 - i) (9,- ^ + y/îj ^-sin y/5.
D'après cette formule, on voit que 0» doit peu différer de -» et l'on aura une première approximation en posant
(a') 8mae, = 4(j-i)y^,"-8iny/^,
et enfin une seconde approximation , en portant la valeur déduite de cette formule dans le second membre de Téquation. C'est ainsi que nous avons obtenu les valeurs suivantes :
' ^=i 0, = 62M4'oo", e,= 78'56'28",
(3) {j^Tô ®, = ôg'^SS' 10", 0, = 86» Sa'S",
L'écart ôj — dt ayant à peu près la même valeur dans ces trois cas, soit environ 16 degrés, un déplacement angulaire égal se produit pendant la chute du piston; de sorte que l'appareil ne fonctionne, ou les étranglements dans l'admission, ne se produisent, que pendant | ou j de chaque révolution. Ce résultat s'accorde très-bien avec l'observation, chaque oscillation étant en effet d'une très-courte durée.
La formule (d) donne maintenant
aV ^Nfcos 2 9,— (50^20., ,. ^,. ûl "JV'^nJl -^ ■ -(e.-9Jsm2G.J,
d'où l'on déduira la valeur qu'il faut donner à h.
85. Du mouvement d'une machine à partir du moment où le régulateur entre en fonction* — Reportons-nous au n° 67, dont nous conserverons les notations.
Soient fY{B)d6, ff{9)de le -travail moteur et le travail
résistant utile; Téquation du numéro précité» qui s'applique au mouvement régulier, peut se mettre sous la forme
en négligeant le travail des résistances passives; on déduit de là
Supposons que la résistance utile éprouve une diminution et que f{0) se trouve remplacé par 9(0); 9(0) pourra, par exemple, être égal au produit de/(d) par un facteur constant plus petit que Tunité, diminué d'une constante.
Soient &)] la valeur de &> correspondant au moment où la vanne est sur le point de se déplacer; 02 la valeur correspondante de 9. Pour Tun des régulateurs à boules que nous avons étudiés (76), la fermeture relative correspondant à la vitesse
angulaire w est de la forme kl-- : U k étant une con-
stante. On a donc, à partir du moment où ct) a atteint (Uj, en supposant, comme approximation, que le travail moteur soit proportionnel au débouché de la vanne,
On ne pourra pas, en général, intégrer cette équation; mais.
si ^—^ est assez petit pour qu'on puisse le négliger devant
Ûl>.
l'unité, elle se réduit à
//w* a^-F(Ô) . 2 -. ^ r /ù\ 17/ûM
et peut se mettre sous la forme
en appelant go'' la valeur de on pour laquelle la vanne est complètement baissée.
220 QUATRIÈHB PABTIB. — CHAPITRB III.
L'équation ( 3) a pour intégrale
Si la résistance utile vient à augmenter, il suffira de remplacer dans cette formule &)a par la valeur 6)i de tù pour laquelle la vanne est sur le point de se lever, et u'' par celle u' qui correspond au débouché complet.
Considérons, par exemple, le cas d'une manivelle simple à double effet; on a, d'après le n® 69,
F(Ô)=^QRsinÔ, /(Ô) = QR.
Supposons que Q ait été réduit à yQ, y étant une fraction, nous aurons (p(9) = yQR, et, en posant a = J7__ — j-? Téquation (4) donne
L'intégrale comprise dans cette formule n'étant pas réductible en fonctions simples, on voit que le problème que nous nous sommes proposé de résoudre présente» dans l'un des cas les plus élémentaires, des difficultés de calcul inextricables. Néanmoins il ne nous a pas paru inutile de poser la question.
(*) En supposant que Ton ait constamment F (0) > ^ (0), le maximum que m atteindra sera infériear à û)", valeur pour laquelle, d'après l'équation (3),
—7-- est négatif; w décroîtra ensuite sans pouvoir atteindre la valeur a)„ pour
laquelle —r^ est positif. On comprend ainsi comment, par l'effet des résistances passives, que nous avons négligées, il s'établisse, après quelques périodes oscillatoires de w, une vitesse de régime comprise entre les limites a), et »''•
D£8 RÉGULATBUKS. 22 t
NOTE
DE l'influence d'une RÉSISTANCE CONSTANTE SUE LE MOUTBMENt OSCILLATOIRE d'uN CORPS, PRODUIT PAR UNE CAUSE PÉRIODIQUE.
1. Il est à peu près impossible de se rendre compte, a priori, de l'effet produit par une résistance constante ou un moment constant sur un mouvement oscillatoire de translation ou de rotation autour d'un axe, d'un corps solide, dû à une cause périodique.
Supposons que le mouvement oscillatoire soit défini par une équation de la forme
A -^5- = Bcos(nt'^e) ±o,
s étant l'angle que forme le plan méridien d'un véhicule avec un plan vertical de direction fixe, A, B, /z, e étant des constantes, de même que^, qui représente le terme dû à la résistance, et que l'on devra prendre avec le signe — ou le signe +, selon que la vitesse sera positive ou négative. Si l'on choisit convenablement Torigine du temps, on peut supposer
^ = o ; en remplaçant n par f , s par -r- '»^> s par 7» l'équation ci-dessus prend la forme plus simple
^ = cos/ ± 7.
Par la nature même du problème, la vitesse ^ sera nulle à certains
instants; si 7 était supérieur à l'unité, il arriverait un moment où le mouvement oscillatoire ne pourrait plus se continuer ; laissons de côté ce cas, qui ne présente aucun intérêt, et posons 7 = cosa. Nous aurons
(1) -^ = cosf ±cosa.
Nous pouvons, si l'on veut, considérer cette équation comme étant celle du mouvement d'un point oscillant suivant une ligne droite, s représentant le chemin parcouru.
QUATRIÈMB PAKTIE. — CHAPITRE III.
2. Décrivons une circonférence d'un rayon quelconque OA, de centre 0, et soient
AOA', BOB' (fig, 125 et 126) deux diamètres rectangulaires;
t Tangle que le rayon Om fait avec OA ;
I le nombre de circonférences que comprend cet angle ;
a le point de la circonférence OA défini par Tangle aOA = a.
Nous rappellerons que Tangle r', immédiatement supérieur à t^ et qui a ]e môme sinus, est
lorsque m se trouve entre A et B, et
r= (4iH- 5)7r— ^
quand m se trouve entre A' et B'.
Soit t^ le temps au bout duquel le mobile atteint une position pour laquelle sa vitesse est nulle. Si l'on a cos/« > 0, on doit prendre, tant que la vitesse ne change pas de signe ni de sens,
-jT = COSÏ — COSa,
Dans le cas où cos^« serait négatif^ il faudrait employer Téquation
-— - = C08/-*-C0Sa,
qui rentre dans la précédente, en y changeant f en / + tt et s en — ^; nous sommes ainsi conduit à supposer cos/o > o, et à faire usage de réquation (a).
3. Si cos« = cos/f, on ne voit pas a priori ce qui doit se passer. II esl clair que le mobile reste d'abord au repos pour t — /,. Quand on a sin/,> 0,
DB8 RÉQULATBeES. 223
cos^' allant en diminuant, le mobile continue à rester au repos; cost devient ensuite négatif, et alors on doit prendre la formule (2'), qui ne sera toutefois applicable qu'à partir du moment où l'on aura — cosf >co8a, et c'est alors seulement que le mouvement oscillatoire continuera.
Lorsque sin^^ < o, cos^ va en augmentant, et le mouvement a lieu sans délai.
L'équation (2) donne, en appelant V la vitesse,
ds
(3) V= ^ = sin< — sin/, — (/ — /J cosa,
et^ en mesurant le chemin parcouru s à partir du point correspondant
(4 ) s— ~ cost -f- cos^o — (f — ^0) sin^è — ^^°^ ( -— -^ ) •
Comme pour t = t^ le second membre de Téquation (2) est positif, y croît à partir de zéro et est positif; il atteint son maximum lorsque cost = cosa, et enfin devient nul pour la racine t^, immédiatement supérieure à ^0 , de Téquation
(5) sin^i — sinr, — cosa(/, — /J = o.
De ce que V > o pour cos^ = cosa, la position m, de m correspondant à / = ^1 ne peut se trouver qu'au delà du point a. Pour une même valeur de t^ mais en faisant varier l'angle a, on a
dV . , ,
;^=sma(^-0-
y croît donc avec a et atteint son maximum lorsque a = 90^ ; il suit de là que, généralement, t^ est inférieur à la valeur qui correspond à a== 90**. Car si , pour une certaine valeur de a , y est nul , pour une valeur plus grande, y est positif. Dans le cas limite on a sin/'i = sin/^, et, en substituant cette valeur dans le second membre de l'équation (3), on obtient
--cosa(f; — /,), qui est effectivement négatif, comme cela devait être.
Première oscillation,
4. Prbmibr cas : an£, > o (fig, i25) , ce qui , avec la supposition de cos/f > Of indique que le point m^ de la circonférence correspondant à Tangle /« se trouve sur ce premier quadrant AB , et est placé entre a et À, puisque cos^o > cosa.
2^4 QUAmftMB PAKTIB. — GHIPITEB III.
Soient
m\, a' les symétriques de m^ et a par rapport à B'B;
<f^ oT les symétriques de a! et a par rapport à ÂA'; m\ correspond à
(4i + i)7r^/*, d'où il suit que m^ ne peut se trouver que sur
Tare ûB/w',.
Si le mouvement oscillatoire continue immédiatement après que Ton a ; = /(, il est défini par la condition (2'), pourvu que
ce qui exige que la position m^ correspondant à /^ se trouve entre cf çini^. Il faut donc pour cela que ; = aiTr -»- tt —a = ( a i -h i) tt — a r^ide V positif, ou que
(6) sina — sinfj — COSa [(21 -h i) tt — a — ^,] > o.
Si Ton désigne, pour abréger, le premier membre de cette inégalité par ?, en faisant varier t^ depuis aiir jusqu'à s/tt + a, on a
^ = — cos/. -f- cosa < o.
La fonction f de t^ est donc décroissante et sera positive pour t^ = ^in si
tanga > TT — a ou a > 64®, et négative pour r^ = aiw -h a. Pour toutes les valeurs de a comprises entre 64 et 90 degrés, il y a donc une valeur '0 ^ . •'^ 4^ annule 7,
et lorsque t^ < t\ la condition est satisfaite.
On a pour
= aiir.
aiir -+- 24",
a/TT -h- 38%
a/TT-t- 36%
a/ff -t- 70°.
Lorsque Ton aura * ^ / > ou a < 64^*, le mouvement s'arrêtera jusqu'au
moment où le point m viendra en a', et c'est seulement à partir de ce moment que cominencera la seconde oscillation.
5. Deuxième cas : sin/, < o [Jîg. ia6) , ce qui, avec cosr, > o, indique quei^o se trouve sur le quatrième quadrant, et, comme cos/. > cosa, il ne peut être situé qu'entre o^ et A. Dans le cas actuel, on a
DES RËGULàTBURS. TiOiS
cette limite supérieure correspond au symétrique v/, de m^ par rapport àBB^
Gomme Y est maximum en a, le point m^ ne peut se trouver que sur Tare aBm\, S'il tombe entre m', et a', on a — cos/> cosa, et le mouvement oscillatoire continue sans interruption ; pour qu'il en soit ainsi, il £aut que
/, > (ai -H a)7r H-TT— a = (2/ -h 3)ir — a,
OU que cette limite, substituée à t, rende Y positif, ou enfin que sina — 8Ïnt^ — cosa[(ai -+- 3) tt — a — /J > o.
En désignant par 7 le premier membre de cette inégalité, on a
-i = — COS/^ -H- COSa,
qui est négatif pour toutes les valeurs admissibles de r^, c'est-à-dire pour
/g ^ ^ . ( ; par conséquent (p est une fonction décroissante de i^
entre les deux limites ci-dessus.
Lorsque
I® /ç = (ai H- a)7r — a,
on a
y = 2 sina — it COSa,
et cette valeur sera positive si
tanga > - ou a>57°3o'environ;
a" f, = (aZ-H a)7r,
<f est positif si
tanga-+-a>7r ou a > 64*.
Pour a compris entre 67* 3a' et 64 degrés, il y a donc une valeur
/« , !"^^ de L qui annule ?, et pour t^ <.t'^ le mouvement
• <(2i-ha)'T ^
oscillatoire n'éprouve pas d'interruption, comme pour d > 64"*.
Lorsque
a = 57*»3o', on a r; = ( ai -f- 2 ) tt — 67^30',
60**, (ai-+-2)ir — 22**,
Si m^ tombe entre B et a', on a — cost^ <cosa; le mouvement s'ar- III. i5
rête jusqu'au moment où — >cos^ = cosa, c'est-à-dire lorsque m est venu
en ci. Cette circonstance se présente quand t = ['ki -\- i) t^ -\- - rend Y positif, ou quand
I — sin/, — cosa I ( ai H- 2 ) TT H ^ 1 > o.
Si le premier membre 7 de cette inégalité est une fonction décroissante de t^ entre ^ ^ / • \ » ^®**® fonction est positive pour a = 90°
et négative pour a = o. Elle s'annule pour a = 40* 3o' environ; de sorte que i7i( se trouve entre a' et B pour les valeurs de a comprises entre 40" 3o' et 57° 3o'.
Pour a < 40** 3o', w, tombe entre « et B; cosf, est positif, mais inférieur à cosa; il y a donc un temps d'arrêt jusqu'au moment où m, ayant dépassé B, arrive en a\ et c'est seulement alors que commence la seconde oscillation.
En résumé, pour qu'il n'y ait pas d'interruption dans le mouvement,
il faut que a < 64° 3o', ou "^ y .
Oscillations successives.
6. Examinons maintenant ce qui se produit à la fin de la seconde oscillation.
De la formule (2') on tire
(7) v= ^ = — sm/-f-smr, — co8a(^ — ^j
ou, en ayant égard à l'équation (5),
(8) V = — sin/ -+- 2sin/, — sin^o ~- (^ — 'e) cosa.
/^ fx sin/, >o sin/. >o a>64'* ,, ^
Premier cas ( /f^. 126) : * ? .^ » - ^ 7 î ©» d autres '•'^ ' cos/o>o cosfj<o t^<t^ '
termes, m^ tombe entre a! et m\.
Soient t^ le temps au bout duquel se termine la seconde oscillation et
m^ la position correspondante de m» On a
(9) — sin/j-Hsin/, — (/j — f,)cosa = o.
Si, dans l'équation (8), on fait / = /, h- 27r, on trouve
V=2(sinfj— sin/J — (t^-^ 27r— 7J cosa;
DBS RÉGULATEURS. 277
d'où, en vertu de la relation (5),
Le point m, se trouve ainsi au-dessous de m^, et, àfortioHy d'après ce que Ton a vu plus haut, m, est compris entre d et la symétrique m\ de /Tt, ; la quatrième oscillation succède donc immédiatement à la troisième.
Les points m,, m^,. . . s'approchant de plus en plus de a"^ il arrivera un moment où m^^ se trouvera entre al" et û*, et il y aura un arrêt en a^ entre la 27^"*' et la ( 2/4- 1)*^*^ oscillation; mais, à partir de ce moment, le mouvement prendra un caractère périodique, et il y aura un arrêt constant entre une oscillation de rang pair et la suivante.
Deuxième cas : Des conditions précédentes, * ) ^^ sont
^ ' cos/,> o cosr, <o
les seules qui subsistent; en d'autres termes, m^ tombe en deçà de a\ et
il y a un arrêt en ce point; mais à partir de là tout devient périodique.
Les oscillations seront donc toutes périodiques et séparées Tune de l'autre
par un arrêt constant.
a > 64« cos t ^ o ^ ■»
Troisième cas : . • "^ ou < 67° 3o', où [fig, 126) le point m^ tombe • sin 1 0 <C o ^ "^ /f
entre a' et n/^.
Les circonstances se produiront de la même manière que dans le premier cas , c'est-à-dire qu'au bout d'un certain temps les oscillations de rang pair commençant à partir de a" seront identiques et séparées des oscillations de rang impair par un arrêt constant.
Quatrième cas : Des conditions précédentes, les suivantes seules subsistent :
cos/j>o, sin^<,<o.
Il y a un arrêt entre la première et la seconde oscillation , puis les choses se passent comme dans le premier cas.
Des oscillations périodiques,
7. Nous sommes, par ce qui précède, ramené aux oscillations qui ont pour point de départ a', a" ou a"*. Nous choisirons le dernier de ces points.
Reprenons l'équation (5), en y supposant r, = 2/7r — a ; si nous posons /, = 21 TT + or, nous aurons
sino: — x cosa = a cosa — sin a,
228 QUATMftMB PAKTIB. — GHAPITU III.
d*où Ton déduit les résultats suivants :
Io^
Pour que la seconde oscillation succède immédiatement à la première, il faut que Ton ait o: > tt — a, ce qui n*a lieu qu'à partir de a = 60®. Audessous de cet angle, on a, pour la durée de Tarrêt it^oL — x^ entre la première et la seconde oscillation,
i5o° pour
Sg*»
La seconde oscillation est identique à la première, et ainsi de suite.
Pour calculer la durée de la seconde oscillation lorsque a>5o^ nous appliquerons l'équation (9), qui donne, en y faisant t^^^i'K + z et /, = 21W -+-a:,
sinz H- z cosa = sin x -h x cosa,
pour a = 6o*, z = i38® «— j:( durée de l'oscillation) = 9"3o' 70^, 160** ( » ) 2",
La dernière des valeurs de z — j; étant négative, les prenùères oscillations de rang pair n'existent plus à partir de a = 80°, comme pour a = 90**, cas pour lequel le mouvement est continu.
Les arrêts entre les oscillations de rang impair et celles de rang pair, mesurées par «• — z-H(7r — a) =27r-— (2 h- a), sont :
pour a = 60**, 162**,
Pour a = 80*", l'arrêt entre deux oscillations consécutives est
DBS RÉGULATEURS. 229
Ainsi, au bout d'un certain temps, qui pourra être très- long si a est très-voisin de 90 degrés , le mouvement devient périodique ; mais deux périodes consécutives sont séparées par un arrêt constant.
En résumé :
I® Au bout d'un certain temps, dépendant des conditions initiales du mouvement, et qui sera d'autant plus long que a différera de moins de 90 degrés, le mouvement devient périodique;
2° Au-dessous d'une valeur a^ de a comprise entre 5o et 60 degrés, deux oscillations sont identiques, mais sont séparées par un arrêt constant;
3® Dans les autres cas, on a une série de groupes de deux oscillations consécutives non identiques ; deux groupes successifs sont séparés par un arrêt constant, qui devient mil l|rsque a atteint 90 degrés.
Ces différents résultats sont en désaccord avec ce principe a priori posé par Laplace : Vétat d'un système matériel dans lequel les influences des conditions initiales du mouvement ont disparu par suite des résistances dépeloppées dans ce mowfement est périodique comme les forces qui sol^ licitent ce système,
La périodicité, telle qu'elle est comprise dans cet énoncé, ne peut avoir lieu que si les résistances sont des fonctions impaires de la vitesse.
23o QUATRIÈME PAIITIB. — GHAPITBB IV.
