deuxième Partie, en y faisant -7- = o. donnent la solution de
•^ dt
cette question; mais cette solution peut recevoir une simpli-
tication noiable en procédant de la manière suivante :
Supposons, pour fixer les idées, que le mouvement de la
tige considérée soit vertical, qu'elle s'élève sous l'action d'un
système de forces ou de leur résultante appliquée en B
Fig. 1-29.
(Jîg. 129), et dont nous appellerons X, Y les composantes horizontale et verticale.
Soient
2/ la distance des deux couples de guides, Â, A. et Â', A'^;
2 6 l'épaisseur de la tige ;
0 le milieu de la portion de son axe de figure comprise entre AAi, A A, ;
jr, y les distances du point 0 à Y et X;
/ le coefficient de glissement que nous supposerons le même pour lesquatre appuis; toutefois, nous représenterons par/' ce même coefficient pour A', A\, pour faciliter la discussion, comme nous le verrons ci-après.
Admettons, sauf vérification ultérieure, que la trge s'appuie contre les guides Â, Â' situés du même côté de Taxe de la pièce, et dont nous désignerons par N, N' les réactions normales. Nous aurons pour les conditions d'équilibre de la lige, en prenant le point 0 pour centre- des moments,,
d'où
Pour que les choses se passent comme nous l'avons supposé, il faut qu'après avoir supposé/' =/ on obtienne pour N et N' des valeurs positives; et, s'il,en est ainsi, la première des équations précédentes fera connaître la relation qui doit exister entre X et Y pour que le mouvement de la tige soit uniforme.
Mais supposons, par exemple, que l'on obtienne pour N' une valeur négative, il faudra faire une autre hypothèse sur le choix des guides qui doivent fonctionner ; celle qui offre la plus grande probabilité de réussir consiste à substituer A', à A'; mais on voit de suite que les formules (2 ) s'appliqueront au cas actuel, en y remplaçant N' par — N', et comme le frottement ne change pas de sens, /' par -— /, excepté dans les termes en e, parce que le moment de N'/' change de signe. Si l'une des valeurs de N, N' était négative, on essayerait les deux autres hypothèses, dont l'une naturellement doit réussir.
91. Fis à filet rectangulaire. — Nous admettrons, pour fixer les idées, que Técrou est fixe et que l'axe de la vis est vertical. Nous supposerons que la vis est sollicitée par une force Q, dirigée suivant son axe [fig. i3o), et, pour ne pas avoir à tenir compte de frottements latéraux, que cette force et le
238 QUàTBIÈMB part». >- CHAPITRE lY*
frottement sont maintenus en équilibre par un couple (F, de bras de levier a» perpendiculaire à Taxe ci- dessus.
Soient
rie rayon du cylindre de Thélice moyenne du filet;
I l'inclinaison de Thélice sur un plan perpendiculaire à Taxe;
/ le coefficient et « l'angle de frottement de la vis sur Técrou.
La saillie du filet étant relativement très-faible, on peut, sans erreur appréciable, supposer que les réactions normales de récrou sur ce filet se réduisent à des forces réparties sur rbélice moyenne. Nous considérerons, dans ce qui suit, le moment Fa comme positif ou négatif selon qu'il tendra à faire descendre ou remonter la vis.
Désignons par N la réaction normale de Técrou sur la vis correspondant à un élément de Thélice moyenne.
I® Supposons d'abord que Q tende à faire descendre ou fasse descendre la vis d'un mouvement uniforme. Dans ce cas, c'est la partie inférieure du filet de l'écrou qui réagit sur le filet de la vis, et à l'inspection de la Jig. i3o on voit que les conditions d'équilibre de translation de la vis parallèlement à l'axe et de rotation autour de cet axe s'expriment par
Q = 2N (cos/ H-/sini) = (ces/ h- /sini) 2N, Ffl = 2N (/cosi — sin/) r^r (fco^i — sinO sN ;
CALCUL DES RÉSISTANCES PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. l3g
d'où, par Télimination de 2Ny
Si i<ioc9 le couple devra tendre à produire le mouvement;
Si i = (Xy la force Q fera équilibre au frottement;
Enfin» si i^a, il faudra appliquera la vis un couple tendant à s'opposer à un mouvement de descente.
2<> Supposons maintenant que la vis ait une résistance à vaincre (c'est ce qui arrive notamment quand on serre une vis dans du bois ou du métal); nous devrons, dans ce qui précède, changer Q en — Q et N en — N, puisque c'est la partie supérieure du filet de l'écrou qui réagit, et enfin /en —/, puisque le frottement ne change pas de sens. On trouve ainsi
(2) ¥a = Qr -. — -^^ . . = Qr tang( a -t- /).
Pour que l'on puisse serrer la vis, il faut que Fa> o ou
Pour i^go*-- ce le serrage sera impossible.
La formule relative au dévissage s'obtiendra en changeant /en —/dans la précédente.
On arriverait à des résultats semblables à ceux que nous venons d'obtenir en supposant la vis fixe et l'écrou mobile sollicité par la force Q et le couple (F, — F).
92. f^is à filet triangulaire, — Conservons les notations du numéro précédent en considérant le premier cas que nous avons examiné.
Soient {fig. i3i)
mz la verticale du point m du filet où s'exerce la réaction normale N;
mx la perpendiculaire abaissée de ce point sur Taxe de la vis ;
mx la portion de l'horizontale perpendiculaire à my située en sens inverse du mouvement de rotation de la vis;
24o QUÀTBIËIIB PàRTIB. ^ CHAPITRE IT.
X rincUnaison du profil du filet sur mjr;
ocf p, y les angles formés par N avec mx, mjr, mz^
Fig. i3i.
En exprimant que la direction de N est normale à mxy mj-,
on a
cosacos/ -h C0S7Sin/ = o,
cos^cosX ■+- CO87 sinX = o ;
d'ailleurs
d'où
COS'^a -+- COS'P ■+- COS'v = I ,
