COS
COSa =
V^i -+- tang'< -+- tang'v
— tangi V^i H- tang^i -t- tang'X
Les équations d'équilibre de translation et de rotation sont par suite
Q=2(NC087-H^"" . .> / I
N/sini) = {-^
■/sinA 2N,
Ffl=r2(N/cos/ — Nc08a)= ( fcosi tang/ \ ^j^,
\ V ï ■+- tang^/ -H tang*>/
lang^/ -+- tang^X tang
d'où
p ^ Q j, /cos^Vi H- tang'/ -4- tang^ — tengi fsini^i -h tang'/ -t- tang'X -+- 1
Cette équation se discutera de la même manière que Téqua-
CALCUL DES RfiSISTANCES PASSIVES BANS LES MACHINES, ETC. 24 1
tion (i) du numéro précédenl à laquelle elle conduit d'ailleurs, en supposant X = o.
93. Frottement des tourillons sur leurs coussinets. — La considération du mouvement d'un tourillon sur son coussinet se ramène à celle d'une section faite par un plan perpendiculaire aux génératrices.
Soient {Jig. iSa)
Fig. i32.
G le centre du coussinet;*,
0 la position du centre du tourillon lorsque l'arbre estaure-
posy le tourillon reposant, par son point le plus bas m, sur
son coussinet; p le rayon Omdu tourillon.
Dès que, sous l'aclion de la force motrice, l'arbre se met en mouvement, de la gauche vers la droite, par exemple, le tourillon roule à droite sur le coussinet jusqu'au moment où sa réaction tangentielle atteint son maximum, c'est-à-dirCv^ valeur du frottement de glissement.
Soient maintenant
Oi la position que prend alors le centre du tourillon ;
ntt son point de contact avec le coussinet;
F la résultante des forces qui agissent sur le tourillon, estimée
dans le plan de la figure, et qui passe nécessairement par
le point mi; N la réaction normale du coussinet en m, ;
^4^ QUATRIÈMB PARTIS. — CHAPITRE lY.
 i'interseclion de la direction de F avec la verticale du
point 0 ; y Tangle connu mAmi; B l'angle inconnu mCmi.
On a, d'après la figure, en se rappelant que Tangle Cmi A est égal à l'angle de frottement a,
et, pour rétendue du roulement,
mm^ — p (y H- a) ;
comme on a F= N y^i-f-/', le moment du frottement, pris en valeur absolue, a pour expression
N/p = Fp
Les mêmes considérations s'appliquent au frottement de Tœil d'une poulie sur un tourillon fixe.
94. Équilibre des forces appliquées au treuil en ayant égard au frottement, — Pour fixer les idées, nous supposerons que Taxe du treuil est horizontal et que la résistance à vaincre Q est verticale.
Soient (fig. i33)
Fig. i33.
P la puissance censée comprise dans un plan perpendiculaire à l'axe;
a, a' les distances de ce plan aux milieux A, A' des portions des axes des tourillons comprises dans les coussinets;
by 6' les distances aux mêmes points du plan perpendiculaire à l'axe déterminé par la direction Q;
R le rayon de la roue tangentiellement à laquelle agit la force P;
r le rayon du cylindre;
p celui des tourillons;
9 Tangle que forment les directions de P et Q.
Le mode de répartition des réactions normales de chaque' coussinet sur le tourillon qu'il reçoit est inconnu; mais, comme la largeur du coussinet est relativement faible, on peut, sans grande erreur, supposer que leur résultante passe par le milieu A ou A' de la portion du tourillon renfermée dans le coussinet. Désignons par N, N' les réactions normales des coussinets en A, A'.
La force Q se décompose en deux autres parallèles à sa di-
rection Qr t7> Qt — tf' comprises dans les plans (S), (S')
perpendiculaires à Taxe en A, A'; la force P se décompose
de la même manière en deux forces parallèles P ~- »
P — ■ — -fj comprises dans ces mêmes plans. Mais la première
d'entre elles, par exemple, peut être considérée comme la
a' résultante des forces verticale et horizontale P > coso,
a' ^ - sincp. Il suit de là que la résultante des forces com-
prises dans le plan (S), qui passe nécessairement par le milieu de l'arête de contact du tourillon et du coussinet, a pour expression
-, }/( P«'cosv H- y 6' )=• H- ^'a" sin'<p
en remarquant que b -f- b'= a-h a* ; le moment du frottement est par suite
^44 QUATRIÈMB PARTIS. — GHAPITRB lY.
On obtiendrait de même» pour le moment du frottement relatif à Tautre tourillon.
— N'/p = '' ^ ^ v^(Pacos(p-r-y^)^-t-P^fl*sin'<p.
L'équation des moments est par suite
( PR - Qr — '^^ [i/lPû'cos? -F ^b'Y-^ P'û" sin='(p
H-V^ (Pacos<p-i- 0^)''-»- P*a''sin''<j)] =o.
Si les forces P et Q sont parallèles ou si 9 = o, l'équation précédente devient
PR-Qr~ ^£L^(P-+-Q) = o,
et fera connaître Teffort P qu'il faut exercer tangentiellemeni à la roue pour faire équilibre à la résistance utile Q et aux frottements dos tourillons.
Mais, si cp n'est pas nul» en faisant disparaître les radicaux, l'équation (i) est du quatrième degré en P, de sorte que la solution du problème est assez compliquée ; mais on peut la simplifier en remplaçant, par approximation, en vertu d'un théorème dû à Poncelet, chacun des radicaux par une fonction linéaire des racines des deux carrés qu'il renferme (* )» ce qui sera généralement possible, car une discussion simple permettra généralement de voir a priori quelle doit être la plus grande de ces deux racines. Supposons, par exemple, que dans chaque radical le premier carré soit supérieur au second; nous aurons, pour déterminer P, l'équation
(2) PR-Qr=p:--ÉiL= [o,96(PcoS(p-4-Q)-ho,4oPsin<p],
en commettant une erreur relative au plus égale à ^^ du terme dû au frottement, qui est déjà relativement petit.
On peut encore opérer autrement en négligeant devant l'unité le carré du frottement, qui est toujours une petite frac-
(*) Fçir la Note placée à la fin du Chapitre.
lion. En supposant /= o, l'équation (i) donne, comme pre-
mière approximaiiof), P = Q ït j en portant cette valeur sous les radicaux, on trouvé '
W^YCOs^h-^J H-^û'sin'J
Enfln, si dans l'équation (i) on suppose a;=:a' =: 6 = i', r=:R, elle devient celle de la poulie, dont nous nous occuperons plus loin d'une manière spéciale, en tenant compte en même temps du frottement et de la roideur des cordes.
95. Du frottement des épaulemehts et des pivots. — Soient Q la résultante des efforts longitudinaux qui agissent sur un arbre; r,, r«les rayons extérieur et intérieur d*un épaulement; dans le cas d'un pivot, on supposera To = o.
Comme on ne connaît pas le mode de répartition des pressions de l'épaulement sur le palier, on fait une hypothèse qui consiste à supposer que ces pressions sont uniformément réparties sur la surface de contact.
Mais alors on retombe sur Te problème résolu au n° 147 de la deuxième Partie, et l'on a pour le moment du frottement
Si l'on appelle r' le rayon delà circonférence moyenne
de la zone de contact; / la largeur r, — r» de cette zone, on reconnaît sans peine que le facteur de Q/ou le bras du levier moyen du frottement prend la forme
lar
et l'on voit que l'on pourra prendre cette longueur égale à r' toutes les fois que / sera petit par rapport à ce rayon.
96, Du frottement dans les articulations,— Soient (Jig*^%) BA, AB' deux pièces articulées en A ;
Fig. 134.
p le rayon de Tarticulation;
S, S' les centres instantanés deBA, AB', tous deux situés sur la normale à l'élément que décrit le centre de l'articulation ;
w, w' les vitesses angulaires correspondantes.
Concevons que Ton imprime à tout le système une rotation, autour de S, égale et contraire à &>, de manière à ramener BA au repos; ia pièce AB' tournera alors autour du point fixe A avec la rotation w' — w, et le glissement élémentaire de Tariiculaiion sera ±p(û)'— w) rf/, en prenant le signe ± selon que Ton aura &)'> o. Si F est la résultante des forces qui agissent sur AB', le travail élémentaire du frottement sera
p (w' — w) dt.
Appliquons ces considérations à l'excentrique circulaire en nous reportant aux n"*' 34 et 35, dont nous conserverons les notations, et à la Jig. 73.
Nous avons trouvé pour la vitesse angulaire instantanée de la bielle
or on a
