CHAPITRE II

TRANSFORMATION DU MOUVEMENT RECTILIGNE CONTINU EN RECnUGNE GONUNU.

5. Poulie fixe. — Lorsque l'on ne veut transformer que la direction du mouvement ei non sa vitesse, on emploie \a poulie fixe {Jig. i4), qui consiste en une roue mobile dans une chape autour d'un axe fixé, tantdl à la roue, tantôt à la chape qui est accrochée en un point fixe.

ng. .4.

La jante de la roue est creusée en gorge pour recevoir une corde AaAB qui embrasse un ceruin arcafr. Si l'extrémité A de la corde s'éloigne- de a d'une certaine longueur dans la direction de Au, B se rapproche de b de la même longueur, de sorte que la direction seule du mouvemeni est changée.

Si P et Q sont les efforts moteur et résistant, dirigés suivant dA, frB, il faut pour l'équilibre, en vertu soit du principe du travail virtuel appliqué à la corde, soii du théorème des moments appliqué à l'axe, que l'on ait P = Q, en négligeant toutefois le frottement de la poulie sur son axe.

Cette égalité n'est d'ailleurs qu'une vérification d'un théorème plus général relatif à l'équilibre d'un ûl en contact avec une courbe fixe (deuxième Partie, n' 86).

la QDATHIËHB PARTIE. — CHAPITBB II.

Lorsque les deux cordons An, Bfr sont parallèles, la corde embrasse la moilié de la circonférence) et les mouvements des deux cordons sont parallèles et de sens contraires.

On peut transformer l'un dans l'autre deux mouvements rectilignes ayant la même vilesse, dont les directions AB, CD ne sont pas comprises dans le même plan de la manière suivante : on joindra deux points B et C de ces direclions, on disposera ensuite deux poulies dont les gorges seront respectivement tangentes à AB el BC, BC et CD ; on fera enfin passer sur ces deux poulies une corde dont les deux cordons extrêmes seront dirigés suivant AB et CD, et il est clair que la transformation sera opérée.

6. Lorsque l'on veut modiQer à la fois la direction et la vitesse du mouvement, on emploie la poulie mobile ou les moufles.

Dans la poulie mobile {Jig. i5) une des extrémités A de la

Fie i5

corde est attachée à un crochet; la poulie repose sur la corde et à sa chape se trouve ordinairement suspendu un poids Q, qu'il s'agit d'élever en exerçant suivant AB un certain effort P.

TRANSFORMATION DU HOUYBMBNT REGTILIGNB CONTINU^ BJG. l3

Pour qu'il y ait équilibre de la corde sur la poulie, il faut que la tension T de ka soit égale à P; et enfin» en négligeant les résistances passives, il faut, pour que la' poulie soit en équilibre, que Q soit égal et opposé à la résultante de ces deux forces, et, par suite, que la bissectrice de l'angle formé par les deux cordons, ou de celui 2a formé par les rayons Oay 06, soit verticale. On a ainsi la relation

Q = 2p sina.

Soit SY le déplacement élémentaire que subit Q lorsque B6 s'allonge de do-; le principe du travail virtuel donne

d'où, en vertu de la relation précédente.

2Sina

mais ôY ne peut s'exprimer en fonction de a et de sa variation que si le cordon Bfr est assujetti à certaines conditions.

(^) On éprouve généralement quelques difficuUés à établir directement cette relation, et par suite à vérifier le principe du travail virtuel sur la poulie mobile. Ces difficultés ne sont qu'apparenteâ, comme nous allons le voir.

Soient (y?^. i6)

Fig. 16.

B un point déterminé de la corde, correspondant à la longueur S = Aa^B mesurée à partir du point fixe A. Nous supposerons la force P appliquée au point b;

A Xy Ky l'horizontale et la verticale du point A;

or, y les coordonnées de B par rapport à ces axes ;

Y = 01 l'ordonnée verticale du centre O de la poulie ;

]4 QUÀTRifiHB PAATIB. — CHAPITBB II.

par exemple, comme celle de passer par un point fixe ou sur une poulie fixe.

Lorsque les cordons sont parallèles ou que a = go, on a

ce qui est visible a priori.

7. Une mou/le se compose de deux systèmes, formés chacun de poulies réunies dans une même chape : la chape de Tun des systèmes est fixe; à celle de Fautre est accroché un poids Q qu'il s'agit d'élever au moyen d'une corde dont le

J et c les milieux de la corde et de l'are ai; R le rayon de la poulie ; tt = Aa, «'= B3.

On a

aOc = cOb = xA.a = oc.

L'angle aigu formé par kx et B^ est aussi égal à a. La figure donne

(i) jr=z[u — u')8ina.

(2) a: = (a-H ii')cosa-h aRsina.

(3) S — M-t-B'-i-aRa.

(4) Y-+-Rcosa = Ksina

Pour un déplacement infiniment petit du cordon, on a les variations

$j z={^$u — <y«' ) sin a -H ( tt — a' ) cos « Ja, $x=z (Jw-h Jm')co8« — (w-r- u') 8ino((fa+ aRcosa Ja. Le déplacement de B, suivant 3B, a par suite pour expression $9 = $x cos a — ^ sin a — $u (cos* a — sin" a) H- $u' — 2 « sin « cos a ^a -H 2 R cos* a Ja ; mais, s restant constant, l'équation (3) donne

Su' = — $u— 2R^a.

Portant cette valeur dans l'expression de Se, on trouve

Jff = — 2 sin a {Su sina + u cosa J«-f- R sin a^a), = — 2 sin a . ^ ( u sin a — R cos a), ou, en vertu de l'équation (4),-

$<x — — 2 sin a ^, ce qui n'est autre chose que l'équation (2) du texte.

TBAnspomi.Tion on HOcrBMBifT rbctilignb contind, itc. i5 brin libre, suivant lequel s'exerce l'effort P, correspond à one des poulies de la chape supérieure, passe de là sur une poulie de la chape inférieure, puis sur une poulie de la chape supérieure et ainsi de suite, et vient linalement se lixer en un point de la chape si^érieuce.

lorsque les poulies de chaque système sont montées sur leméme axe {fig. 17), comme dans le palan, elles sont toutes de même diamètre, et les cordons intermédiaires sont tous parallèles.

Fig. 1;. Fig. 18.

Dans le cas contraire [fig-^B), le parallélisme n'existe plus; mais comme, en général, les chapes sont éloignées l'une de l'autre, par rapport à la différence de diamètre de deux poulies correspondantes de l'un et de l'autre système, on peut encore sans grande erreur supposer que les cordons sont parallèles.

l6 QUATRIÈME PARTIE. -— GHAP. II. —• TRANSFORMÀTIOIC, ETC.

Soit n le nombre des poulies de chaque système ; si ron remarque que la tension du premier cordon intermédiaire est égale à P, pour qu'il y ait équilibre sur la première poulie supérieure, on voit qu'il en est de même de la tension de tous les autres cordons, de sorte que le poids Q fait équilibre à 2n forces égales à P dirigées suivant les cordons qui soutiennent la chape inférieure; on a donc

et, par conséquent, en vertu du principe du travail virtuel, la

hauteur dont s'élève le poids Q est la fraction — de l'accrois-

sèment correspondant de la longueur du cordon libre, ce qu'il est facile de voir à priori; car, si le cordon libre s'allonge d'une certaine longueur s, le restant de la corde, composé de 2n cordons, se raccourcit de la même longueur; chacun

des cordons se raccourcit donc de -> qui représente la hauteur dont la chape inférieure s'est élevée.

TRAltBFOBMATIOn DU MOEVEMEHI GIRCULllRB GOHTINU,