I -lôNR'tf (•^'^"^'^R Sinvcose^ - (Q'4- q') | = o

Soient maintenant

V, la vitesse du train à partir du moment où l'on serre les

freins ; s le chemin parcouru au bout du temps t; Si la valeur de s correspondant à l'arrêt ou à V = o.

On tire de l'équation (4)

i6NR^(^/'7+/^sin7COS6) + (Q'+5r')|~(Q'^5r>in/^/£0' ''~^^~ Q'-^ g' T; ''

i6RNc(/'y-/-sin7CO8«\-t-(0'-Hî')|- (Q'H-î')sint-<-/| Q'

332 QUATRIËMB PÂRTIB. — CHAPITRE IT.

Si Ton se donne s, N, Vo, i, cette équation permettra de calculer Q' et par suite le nombre de wagons que doit desservir un wagon-frein pour pouvoir s^arrêter à une dislance déterminée sur une pente donnée, et enfin le nombre de wagons-freins que Ton doit établir dans un train se trouvant dans les conditions ci-dessus.

Soit/'' le coefficient du frottement de glissement des roues sur les rails; pour que les roues du wagon-frein ne glissent pas, il faut que Pi<(Qi -+-fli)/', ou, en vertu de l'équation (i), que

-+-/^U6R^N8in(pco8« + 0,)<(0,-+-y,)/".

Si Ton Rajoute cette Inégalité à Téquation (4) pour éliminerN, on trouve

dt\ g g )

rfV et Ton voit que -— -tt-» c'est-à-dire le ralentissement, atteindra

son maximum lorsque les roues glisseront sur les rails, ou que le maximum d'effet du frein sera produit lorsqu'il y aura glissement.

Supposons maintenant que Ton veuille calculer le nombre n de véhicules que doit desservir un wagon-frein serré à fond; pour plus de sécurité nous ferons abstraction des résistances passives autres que le frottement sur les rails, ainsi que de l'inertie des roues, et nous aurons ainsi

Si Qi -f- qx représente le poids moyen d'un wagon, nous poserons

CALCUL DBS RÉSISTANCES PASSIVES DANS LBS MAGHIKBSy ETC. 333

et nous aurons

(Ç-sin/)^/,

d'où

V,-V=(Ç-sini)yr/.

Le temps au bout duquel le train s'arrêtera est

'i — TTS ^ — '

(•^-Sin.)

et le chemin parcouru correspondant

(Ç-sin/)'

d'où, pour le nombre des wagons que doit desservir un v^agonfrein.

— - -h sini

334 quàtrièmb partib. — chapitre ly.

NOTE

SUR LA SUBSTITUTION PAR APPROXIMATION 9 ENTRE DES LIMITES DÉTERMINÉES DU RAPPORT DBS VARIABLES ^ d'uNE FONCTION HOMOGÈNE DE DEUl VARIABLES A ONE AUTBB FONCTION HOMO- GÈNE DU MÊME DEGRÉ.

So'ii F {x,jr) une fonction homogène du degré m; proposons-nous de déterminer les valeurs de deux coefficients arbitraires a, p d'une autre fonction homogène F, (j?, y) du même degré, de telle manière que les erreurs relatives

se trouvent partagées, dans les meilleures conditions, entre les limites supérieure A-, et inférieure ^\ du rapport -• Nous pouvons poser

F(.r, yr) = ^y^Z^ , F. (*, y)=aff, (£j ,

et nous avons par suite

Nous poserons

•^ = tangO,

ou, lorsque la valeur absolue de - ne pourra pas dépasser l'unité,

^ = sinO.

Dans les deux cas e prendra la forme

Nous pouvons considérer e comme étant la dififérence du rayon vecteur de la courbe représentée par l'équation polaire

et du rayon, égal à l'unité, de la circonférence ayant le pôle 0 pour centre.

Soient ô, et 0j les valeurs de 9 correspondant aux limites k^ et /-, du

r rapport - •

L«s termes dans lesquels nous avons posé la question, nous devons l'avouer, sont assez vagues et peu susceptibles d'une définition analytique. Pour les préciser il nous faut avoir recours à une espèce de sentiment sur la manière dont les erreurs relatives doivent être le mieux partagées en vue de rendre au^si petite que possible la plus grande valeur absolue de ^.

La solution suivante se présente naturellement à l'esprit :

Exprimer que les deux erreurs relatives pour — = X',, — = A-^ sont

égales et de même signe et égales et de signe contraire au maximum ou au minimum que prend la fonction e entre Q = 9^ et 0 = 0,.

Soient

fl„ «j, «3 les points de la circonférence de rayon égal à l'unité correspondant aux angles 0j, 0,, 03;

A„ Aj, A3 les points de la courbe représentée par l'équation (3), situés respectivement sur les mêmes rayons que les précédents.

Nous devrons exprimer que l'on a

et nous aurons ainsi deux relations qui nous permettront de déterminer les coefficients a et p, ainsi que la valeur absolue e^ de la plus grande erreur relative représentée par dz A^a^.

applications.

En posant

J = tang0.

QUATRifeME PIRTIB. — CHAPITRE IT.

p = asinôn-pcosô,

équation qui représente un cercle qui passe par Torigine 0. Pour que la condition (4) soit satisfaite^ il faut que 0^3 soit {Jlg,i^)

FIg. i6a.

la bissectrice de l'angle a^Of^^ = B^-'B^, angle que nous désignerons par 2e.

En appelant Si le rayon OC du cercle OAj, la condition (5) donne

I — a^cose = 2^— I,

d'où

par suite,

^„, 2^—1 tang* -

Soit 0/w = p le rayon vecteur du cercle de rayon H correspondant à Tangle polaire mOx= 0; la figure donne

ff = 2^cos[Ô — (0, 4-6)]= — î— [cos0cos(6,-he)-hsin0sin(9,4-s)];

cos^-

d*où, par comparaison avec la formule (6),

sin(9, -f-e) o cos(9,-he)

cos"-

cos*-

Dans le cas où A-, est infini, on a

tang^-> P = atang-)

formules qui ont permis de former le tableaif suivant (* ] :

^fll