TÔ
Si Ton sait seulement que y est plus grand que x^ on pourra prendre
v{p-^' = o,96jr -+- o,4ox, en commettant une erreur relative au plus égale à ^ (').
(') Poocelet, qui le premier a traité cette question, est parvenu aux formules (7) et (8'), mais non pas aux formules (8), parce qu'il est parti d'autres considérations que les nôtres.
(') Approximation linéaire de sjx^-\~jr^-^z^ . Proposons-nous de substituer au
radical y/j:'-4-j>"'-H^* le trinôme ot.jr-{-^x-\-yz dans des conditions telles que, en considérant jr, r, 2 comme les composantes suivant trois axes rectangulaires Ox, OjTf Oz d'une force F, l'erreur commise soit aussi petite que possible lorsque la direction de cette force doit être comprise dans l'angle trièdre formé par trois droites données OFj, OF,, OFg. L'erreur relative
{aj e ^^ — - =s — ' • — I
n'est autre chose que la difierence entre lés rayons vecteurfi de deux sphères»
in. 21
QUATRikHB PÀRTIX. — CHiriTU IT,
''(''^^=;^-hi-' '''^'•^^ =^ iTi^
En continuant à poser - — tangO, on trouve
asinô -+-f>cos6
Tune (A), dont Téquation est
(A) x*-*-y*H-«' — (a^-i-/3xH- y«)= o,
et qui passe par Torigine, et l'autre (a) ayant pour centre cette origine, et dont le rayon est Tunité.
Le moyen qui paraît le plus ayantageux, pour atteindre le but proposé, eonsiste à exprimer que la valeur de e est négative et est la même pour les droites 0F|, 0F„ 0F„ et que, prise positivement, elle est égale au maximum de Terreur relative.
La question ainsi posée, soient G le centre du petit cercle de la sphère [a\ déterminé par les droites ci-dessus désignées; Jl, /a, v les angles formés par oC avec iJjTy oXf oz, et qui sont des données de la question, de même que l'angle a ( du cône (s) ayant o pour sommet et le cercle précité pour base.
Il est visible que le centre O de la sphère (A) doit se trouver sur oG, et que la position de la somme géométrique F, au lieu d'être limitée par l'angle trièdre, peut occuper une position quelconque dans l'intérieur de (s)»
Soient (/^. i63)
Fig. i63.
ox' la trace, sur xoy du plan mené par 02 et o G ;
A„ a, les intersections de oG avec (A) et {a);
A^, A, les points de (A); a^, a^ les points de (a) respectivement situés sur les
GALGUL DES EÉSISTÀNGES PASSIVES BANS LES HAGHINES, ETC. Z3g
équation d'une droite qui sera nécessairement parallèle à la corde a^ a, qui coupera le rayon Oa^ en un certain point I.
Si Ton appelle a la distance 01 et ae l'angle B.^ — 0,, la condition (5) donne
I — û = 1 , d ou a= ï— tang^ - »
coS€ ° a
génératrices du cône {s) comprises dans le plan xoG, et qui sont le plus petit et le plus grand angle ayec ox*; <R = oO = OA3 le rayon de (A).
On doit d'abord àYoir
Ajûj = A,a, =: A«<i„
ce qui se traduit par l'égalité
a ^—1 = 1 — 2^cose, d*où
a cos' -
L'erreur relative maximum est par suite
W tf^ = 2 ^ — I = tang» - »
et Ton a pour T équation de (A)
(^ — ^ C08A)*-i- (X — ^ C08/l)« -+- (z -^ cosv)* = ^' ou
(e) x*-+-y*-hz* {ycosX-i-xcosfjL-i-zco8y) = o.
De la comparaison entre les formules {a) et (e) on déduit, pour les valeurs des coefficients cherchés,
, ^. ces A ^ CO8 fJ. C08*v
cos' - cos' - cos* -
Supposons, par exemple, que F puisse occuper une position quelconque dans Tangle trièdre formé par les axes coordonnés; les angles A, /a, y, e sont égaux,
\fh
et leur cosinus a pour valeur \/-^; de sorte que Ton a
K = IB = y= =0,732, é?^= 0,268.
1 H-yà
Dans le cas de deux variables étudié plus haut, les sphères sont remplacées par deux cercles; mais il se déduit du précédent en y supposant v = go^.
34o' QUATRIÈIB PAKTIB. — CHIPITRB IT.
et Ton a, d'après la figure.
par suite
~Q| — «) \ ^°^'a/ Lsinesin(0,-he) + cos0cos(e, h-sJ'
^^sin(Q.H-e)^ cos(9,i-e).
quant à l'erreur relative max imum
^„ = i~a = tang'^,
elle a la même valeur que dans la question précédente. 3*»
^(^if) = )/^-yj F,(x,7) = ar+p.^?.
En posant - = sinO, on a
__ asinô-h P ~~ cosO
En exprimant que les valeurs de e pour 6 = 0, et &= d, sont égales, on trouve
sin-2 — ^
( \ — 6 (cosQ, — cosQ^) __ Q
19) a- "sine, COS0, — sine, cosÔ,~" ^ 0.-6/
Le maximum ou le minimum de e correspond à
sm '
(lo) sinÔ3 = — r^^
COS-2 î
et, en exprimant qu'il est égal et de signe contraire à la valeur <?. de e pour ô = e„ on trouve
acos-^ î
(II) p =
- — ' ■+- vcose, cose.
cos
par suite
2Sm — -*
(la) a=
cos
+V^cos6jCOSÔ2
SCOS-^ 2C0S-^- '
COS — COS -^ ■+- vcos ô, COSÔ»
V'cOSÔi COS Ô, — COS -^ ^
COS H- /cosÔ,cosO,
Dans le cas de A\ = o, ^^^ = i ou 9^ = o, Ô, = 3o", on trouve
^i„ = 0,0209, app roidination dont on pourra se contenter dans bien des circonstances ( * )
On a,, en continuant à poser -= sinô,
