III
4o2 QUATRIÈME TAETlB. — CHAPITRE II.
l'équation (5) nous donnera
ds^ —zz — ;
^c ^1 -T- a C08Ô -h p sinô
par suite, en vertu des deux premières des relations (i),
sic t/o i/T
V'c */o ^\ H-aco8Ô -t- p sind -, I r^ Sin0rf9
ycJù vi-r-a
^c Jo y'i-r-a cosô-t- psinô ^ cosO^Ô
v/c «/o v^i -H zcosO -1- p aind
On peut supposer que ^c -r^ soit développé en une série indéfinie de sinus et cosinus d'arcs multiples de 0, et poser
(8) (i -+-acosô-+-p8inô) * = > (A,c08/iO-HB„sin/ie),
Ah. B„ élant des fonctions de a, ^, n que nous déterminerons ultérieurement ; nous aurons alors
x-R.. - J. (a. (, - cosO) ^ ^a sin'S . |(S - ?^«)
(9)( — ^^[A.co8(«+i)9H-B,8in(/t+i)9-Ajjj'
1 l'A „ A, /„ 8ina9\ B, . ,. /--= - (^A.8me-^ ^(^9+ -^j ^ ^s.n'9
H ' — '[A,8in(/?-i-i)»— B, co8(/t + i)9 + BJ )•
Pour déterminer les A„ et B„, nous remarquerons d'abord que Ton a
(i-+-acos0H- psinô)"^
V/ l\"' 3.5.7... (aW — l) , A û . AX.«
mmo
mais, en représentant ^— -i par /, on a
cos/wô= ,
sinwÔ =
par suiie,
(acosô -+- Psinô)
f 2'" iM 1.2.3. ../? ^ ^ ' ^ ^ ''
Dans cette formule il conviendra de grouper les termes également distants des extrêmes avant de remplacer les exponentielles imaginaires par leurs valeurs en sinus et cosinus, et distinguer, par conséquent, chacun des cas où m est pair ou impair; les „, B^ se déduiront ensuite d'un calcul plus ou moins laborieux; mais, comme il nous suffit d'avoir le moment moteur, nous laisserons de côté la recherche précédente considérée dans toute sa généralité.
Admettons donc maintenant que le point M correspond à un encastrement perpendiculaire au rayon OM, que l'on peut faire tourner à volonté autour du point 0; soient / la longueur de la lame et R le rayon OM, qui sont des données de la question; 9 la valeur de 6 correspondant au point M; nous aurons pour ce point
jp = Rcosf,
r=R9in?; ,
4o4 QUATElftMl PARTIS. — CHAPITRE II.
par suite,
n n » ^* / , A, . , B, / sina«p\
(i3)\ --^[A,cos(//-hi)«p-HB^sin(/7-+-i)?-Aj ],
» • ' ^A • A, / sin2»\ B, . -
R8in?= ^ |^A.sin<p -+- ^ \^î -+- -^ j -4- ^sin'(p
"^ ^2. 1^1^^- ^^"^'^ ~ 0? -+- B,.co8( « - I) ? - BJ \ -^ ^^ [A^sin ( TU- i) (p - B, co8(/ï -+- i)? + Bjjj'
conditions auxquelles correspondent, en fonction de 9, des valeurs de a, ^, c qu'il s'agirait maintenant de trouver; mais, considéré à ce point de vue général, le proWème paraît présenter des difficultés insurmontables : c'est pourquoi nous nous bornerons à calculer ces quantités dans le cas où ^ est un multiple de 27:, ce qui nous suffira pour nous rendre compte de la manière dont varie le moment moteur avec le nombre de tours du barillet.
Dans cette hypothèse, les formules (i 3) se réduisent aux suivantes :
La foniiule(ia) ne donne un terme indépendant des imaginaires ou de sin et cosd que si m est pair; et, en posant m = ^q^ ce terme est
/iyva7(ay-i)...(7 + i) , ^
Le développement (ta) ne renfermera des termes en e^^ et ^~io qu'autant que m sera impair, et ces deux termes seront ceux du milieu. Supposons donc
et successivement p = ?» p = q -h i; nous obtiendrons, pour l'ensemble des deux termes ci-dessus,
OU, en faisant disparatire les exponentielles au moyen des valeurs de sind et cosd,
d'où l'on déduit, en se reportant au développement (10) et effectuant les réductions,
' (2 Jh^i \2/ (i.2.3...y) [i.2.3...(<7-Hi)] ^ ^' r
R -fi5l^V* /»\*^"' 3. 5,.. (47 + 0 . , , a,y\
'~ '^(a -^i Va;/ (i.2.3...7)[i.2.3...l7-hi)]^ P M*
Comme Ai est le produit de — a par une somme de termes positifs, on ne peut satisfaire à la troisième des conditions ( i4 ) qu'en supposant a = o ou Y = o. Les deux premières des mêmes conditions donnent
comme on a ordinairement
^•=3' 4ÏÏ""''
on voit que ce rapport est très-petit. Nous pouvons conclure de là que ^ est une petite fraction.
En négligeant d'abord la seconde puissance de ^, on a
A — . A— ott — 4(R — RJ
A«=ï, p=— al5, = ^ •
4o6 QUATRlfcllB PARTIK. — CHAPITRE II.
En ponant celte valeur de p dans les termes du second ordre, on trouve
A, = I -fd'où
,(»-■)■ ...s[,.^(»^.yi
et enfin L'équation (6) donne maintenant
et enûn l'équation (3' )
Soit 9« la valeur de <p lorsque le ressort est complètement désarmé. Posons
le moment 011/ pourra se mettre sous la forme
(19) aiL=.R{A^-^B);
A et B étant des quantités censées connues.
On voit que le moment moteur croît à peu près proportionnellement au nombre de tours du barillet, ce qui est conforme aux résultats de l'observation avec lesquels la formule précédente cadre on ne peut mieux.
La pression sur l'axe du barillet, qui se réduit à Y, étant de l'ordre ^f ne peut donner lieu qu'à un frottement insignifiant.
146. Du profil de la fusée. — Dans ce qui suit, nous conserverons les notations du numéro précédent.
Soient en projection sur le plan de la grande base de la fusée
0 l'axe de la fusée;
Ox une droite fixe tracée dans le plan ci-dessus;
0/ sa perpendiculaire dans le même plan; r le rayon vecteur de la cou^rbe formée par la retraite hélicoïdale de la fusée ; tù l'angle qu'il forme avec la droite fixe Ox.
Nous supposerons que la position de Taxe 0^ correspond à w = o pour 4;=o.
La condition qui doit être remplie est la suivante :
(A^^B)r=BR,
en admettant que le rayon de la grande base de la fusée soit égal au rayon du barillet; mais on a aussi la relation
et, en éliminant ^ entre cette équation et la précédente^ inté-
grant ensuite et posant kz=^ ^^—^ on trouve
}Ji -H ktjn
ce qui est l'équation d'une spirale dont le rayon vecteur va en décroissant indéfiniment jusqu'à zéro lorsque u croît de zéro jusqu'à l'infini.
Pour déterminer la forme de la méridienne de la surface de révolution qui doit limiter la fusée avant qu'elle ne soit entaillée^ nous nous placerons dans les conditions les plus simples qui sont celles qui se prêtent le mieux au tracé pratique de la retraite, et nous poserons, comme pour l'hélice,
en désignant par e une constante, et prenant l'axe de la fusée pour axe des z.
La constante e se déterminera par l'épaisseur de la chaîne ou par la hauteur supposée donnée de la fusée.
En éliminant u entre les équations (i) et (2) et remarquant
que r= v^j7*-f-/% on trouve, pour l'équation de la surface,
