CHAPITRE III

HT, Des pivots. — Les exlrémilés de l'arbre d'un mobile d'un chronomètre qui pénèlrenl dans les guides du mouvement ne sont pas, à proprement parler, des pivots, comme les appellent les horlogers; rar chacune d'elles est formée d'une partie cylindrique frottant, par sa surface latérale, sur le guide correspondant, sous l'action de la force molrice, et ce n'est que dans les montres, lorsqu'elles sont posées à plat, qu'un frottement dépendant uniquement du poids de l'organe se développe sur une surface perpendiculaire à l'axe de rotation. Ainsi donc le rôle principal des exirémités d'un arbre est celui d'un tourillon; néanmoins nous maintiendrons l'expression de pivot.

Pour les rouages, le pivot se compose généralement {^g. 190} d'un tourillon {tige des horlogers) dont l'épaulement ( la por-

Fig. 190.

tée) est formé, soit par une zone annulaire, soit par un tronc de cône qui se raccorde suivant sa grande base avec l'arbre;

4lO QUATRltal PAftTlB. — CHAPITRE III.

l'œil (irou) est évasé sur une certaine profondeur, de manière à fornuer un petit godet destiné à recevoir l'huile.

Comme le graissage des organes ou le renouvellement des huiles ne doit se faire qu'à de longs interyalles, il importe de réduire autant que possible la masse des particules matérielles que le frottement détache du pivot et du coussinet, et qui ont pour effet d'épaissir et d'altérer les huiles, et par suite d'augmenter l'importance de cette résistance. C'est pourquoi on n'emploie que des trous en acier trempé très-dur, et le plus souvent en rubis; les trous en cuivre ne sont employés que dans les montres d'une certaine valeur que pour l'arbre et la roue du centre.

Pour obtenir une bonne marche, il est nécessaire que les frottements de la denture, qui sont de beaucoup les plus considérables, soient uniformes : c'est pourquoi on ne lubrifie pas les engrenages. D'ailleurs, si l'on faisait le contraire, on ne remplirait pas les conditions de propreté que l'on exige de ces organes. Il est donc indispensable de prendre les mesures nécessaires pour que l'huile d'un pivot ne puisse pas pénétrer dans l'intervalle des dents du pignon; pour atteindre ce but, on se contente, dans les montres, de creuser une petite rigole ou piqûre dans le pignon, suivant la circonférence de jonction avec l'arbre, et qui forme un réservoir destiné à emmagasiner l'huile qui peut sortir du pivot.

La piqûre circulaire est très-souvent remplacée par un tronc de cône renversé de même base que l'épaulement, ménagé à l'extrémité de l'arbre.

Lorsque le pignon est très-voisin de l'arbre, pour plus de sécurité, on emploie simultanément la piqûre et le tronc de cône.

Le frottement a une plus grande influence sur le mouvement du balancier des montres, en raison de la faible énergie du spiral, que sur le jeu de la transmission mise en mouvement par une force motrice plus que suffisante; c'est pourquoi on cherche à donner au tourillon du balancier le plus petit diamètre possible; comme, pour le moindre choc, il pourrait se briser à sa naissance, on a soin de le renforcer (j^g*. 191) en le raccordant par un profil continu avec le cône renversé qui termine l'arbre; mais, l'épaulement de l'arbre se trouvant

ainsi supprimé, on est obligé de le remplacer par un épaulemenlexlérieurappelécoii/re-j!?iVo^contrelequeirexlrémilédu tourillon vient s'appuyer; l'huile se loge entre le contre-pivot et le trou qui ne se touchent pas, et l'évasement que l'on observe dans ce dernier n'a pour objet que d'empêcher tout frottement de la part de la naissance courbe du tourillon et de faciliter la mise en place du pivot.

En représentant par l'unité le diamètre des pivots (*) de la première et de la deuxième moyenne, on admet souvent les rapports suivants :

Diamètre du pivot de la roue d'échappement {

» de la roue du centre 5

» du barillet 8

Le diamètre de l'arbre de la roue d'échappement, de la première et de la deuxième moyenne, est à très-peu près le triple de celui du pivot.

148. Choix du système d'engrenages, — On n'emploie en horlogerie que l'engrenage à flancs, dont l'un des inconvénients (15) est ^supprimé, puisque chaque roue ne conduit qu'un pignon; celui qui est relatif au déplacement des axes est peu à redouter, parce que, d'après la nature des pivots, le jeu des axes ne peut devenir appréciable qu'au bout d'une période considérable. Mais, comme dans les montres on est obligé d'employer des pignons d'un petit nombre de dents {ailes), on est conduit à des arcs de retraite très-étendus; d'où, comme conséquence, une augmentation graduelle, à partir du contact sur la ligne des centres, des actions mutuelles entre un couple de dents et par suite une usure inégale que l'on est obligé d'accepter. L'engrenage à développante de cercle ne serait pas admissible, à cause de la convergence trop rapide des profils. Quanta l'engrenage à lanterne, il est évident qu'il ne doit figurer nulle part, même dans les grands chronomètres fixes.

Revenons donc à l'engrenage à flancs rectilignes.

Les flancs des ailes des pignons sont raccordés {fig. 192) à

( * ) Soit ^ de ligne pour les montres.

4ta QUiTHikNB rtHTii. — cntriTRB m.

leurs extrémités par des demi- circonférences, ce qui est défectueux lorsque, par suite de l'emploi] d'un pignon d'un irop petit nombre d'ailes, on est obligé, pour assurer la continuité

du mouvement, de faire commencer le contact entre un couple de dents avant la ligne des centres. Le nombre des ailes a six ei douze pour limites. La faible valeur de ce nombre ne peut se juslifierque par des difficultés d'exécution, eu égard au faible diamètre des pignons, et par l'épaisseur que l'on est obligé de donner aux ailes pour résister aux efforts qu'elles supportent, en raison de ce que le plus souvent, comme dans les montres, la largeur des rouages dans le sens de Taxe est forcément minime.

L'épaisseur des ailes est prise égale au tiers du pas, et celle des dents des roues est par suite égaleaux y du pas,,moîns le jeu qui varie entre ^ et -p; du vide.

Certains horlogers font commencer le conuct entre deux dents un peu après qu'il a cessé entre le couple précédent, de manière a créer des chocs ou chutes qu'ils considèrent comme indispensables pour éviter les arrêta pouvant résulter de l'interposition de matières étrangères dans les engrenages; mais nous pensons qu'il est toujours possible de donner un jeu suffisant, pour éviter les causes d'arrêts, sans èire obligé d'avoir recours au choc qui est une cause de destruction,

(49. De la composition des rouages d'une montre. — Soient f/.!, !/„ li, les rapports respectifs des rayons des pignons de la première moyenne, de la deuxième moyenne et de la roue d'échappement à ceux de la roue du centre, de la première et de la deuxième moyenne;

DU MÉCANISME DE TRANSMISSION. ^l3

n le nombre des dents de la roue d'échappement;

N le nombre de demi-oscillations ou vibrations^ dans le lan*

gage des horlogers, exécutées dans une heure par le balan*

cier.

Comme nous le verrons plus loin, le passage d'une roue de la dent d'échappement correspond à chaque oscillation du ba-

N lancier, la roue d'échappement faisant — tours par heure, tandis que la roue du centre n'en fait qu'un; on a la relation

a/î'"^'' a fx,f*3^

Si l'on se donne à priori N et n, on déterminera les systèmes de valeurs qui conviennent à la question comme on l'a indiqué au n® 18, en s'imposant les conditions que les rapports [i soient compris entre - et yô ; et réciproquement, si l'on se donne n, ^3, ^3, ^4, on déterminera la valeur correspondante de N qui servira de base à l'établfssement du balancier.

Dans les montres ordinaires ( ^j), n est généralement égal à i5, e4 il parait convenable de n^accepter pour N qu'une valeur comprise entre 16200 et 20400. Dans les montres marines, ce nombre atteint souvent 22000.

(*) Nous donnerons comme exemples les diagrammes suivants :

Barillet 80 — 10

. Roue du centre 80 — 10 5o — 6

' Première moyenne 96 — 10 5o — 6

Deuxième moyenne 70 — 7 5o — 6

Roue du centre 80 — 10 56 — 6

(^) { Première moyenne 60 — 8 Sa — 6

Deuxième moyenne. ..... 54 — 6 Sa — 6

N = i8aoo, N=: 19638;

Roue du centre 76 — 10 58 — 6

Deuxième moyenne 54—6 5a — 6

4l4 QUATEltME PAAT». — GHAPITEI III.

On reconnaît sans peine que si une montre ne se règle pas bien, par suite de ce que le balancier n'exécute pas un nombre suffisant d'oscillatlonsi il .faut remplacer une des roues par une autre d'un plus grand diamètre ou, s'il est possible, un pignon par un plus petit.

La denture du barillet doit être calculée en raison du nombre de tours qu'on doit lui faire faire dans le remontage, pour que le fonctionnement du chronomètre corresponde à un nombre de tours déterminé. Généralement, dans les montres, le pignon avec lequel engrène le barillet a dix ailes, le remontage est de quatre tours et correspond à une marche de trente-deux heures. Le nombre de tours que doit faire le barillet en une heure étant ^={.\] devra être muni de — =r 80

dents.

Généralement le diamètre de la denture est égal à i 7 fois celui de la roue du centre et le nombre des dents de ces deux organes est le même.

150. Des angles d'approche et de retraite dans les pignons. Si nous nous reportons aux notations du n® 15 et à la yfg-. 38,

Roue du centre 78 — 10

{d) } Première movenne 64 — 3

Deuxième moyenne 60 — 6

Roue du centre .* 60 — 8

(e) { Première moyenne 60 — 8

Deuxième moyenne 58 — 6

Roue du centre 64—8

(/ ) \ Première moyenne 60 — - 8

Deuxième moyenne 60 — 6

Roue du centre 64 — 8

Çg) { Premier» moyenne» (« — 8

Deuxième moyenne 56

nous avons

ou, en négligeant les puissances de p supérieures à la troisième,

tang//iO'A= - (i — fxsin'f jsinaf».

En désignant par y l*angle au centre du pignon correspondant

au pas, et par iRy le jeu, l'épaisseur des ailes sera -^ y, et celle des dents de la roue.

Si donc le point m est la limite du contact, on a

En exprimant que Tangle mO'A est égal à AO'A', = fx(f' diminué du précédent, puis estimant 9 et y en degrés, on trouve

afj) =r 57,2957 sinay {'""."" C0S2«p) -+• (7— i)y.

Désignons par 9« la valeur de 9 obtenue en négligeant les termes en [i et /, ou qui vérifie Téquation

(i) 2<p,= 57,2957sin2(p,-4-|7.

Si ^9 est la correction qu'il faut faire subir à cette valeur pour tenir compte des termes négligés, on trouve

(2) ^29 = — i- 57,2957 sin2i>. — •

On voit ainsi que 9 = 90 + ^9 sera de la forme

(3) ç = A-^Bfx-C/,

A, B, C ne dépendant que de l'angle y qui est égal à — 9

4l6 QUATRlftHB PAtTlB. — CHAPIT«B III.

n étant le nombre des ailes. En effectuant les calculs, on arrive aux résultats suivants :

et l'on voit ainsi qu'entre n = 6 et /i = 12 on a à très-peu près

(4) <p=(57'\55~i,7Aj)-i4°,3f*~22°/.

Lorsque n < 9, l'angle 7 — 9 étant positif, la prise devra commencer avant la ligne des centres, et les ailes devront, par suite, être munies de têtes épicycloYdales; il en sera encore ainsi pour n = 9, même en admettant ^ = 70» ' = iV comme valeurs minima.

Au delà, ou pour n^io, il suffira de faire commencer la prise à la ligne des centres et de limiter le contact à une distance de cette ligne égale au pas pour donner une plus grande épaisseur à T extrémité des dents de la roue, et rien ne s*oppose alors à ce que les ailes soient terminées par des demicirconférences.

Nous calculerons plus loin les saillies des dents et les effets du frottement pour les pignons de moins de dix ailes, en prenant pour arcs d'approche et de retraite ceux qui correspondent aux valeurs moyennes /jt =r^, / = /-, ce qui conduira à des résultats peu différents de ceux auxquels on arriverait dans les cas extrêmes; on trouve ainsi

aie

xica

ou MÉGAIVISME DE TEANSMISSION. il'J

151. Saillies des dents. — Reportons-nous au n" 15 (p. 4?) dont nous conserverons les notations, en y supposant fi^=^iex / = -nr; nous aurons

en posant

/, = "kûy e = 0,333a,

V= o,o84/2f I — cos — j) ^= 3,84 °z

En ayant égard à ce qui précède et en se rappelant que Ton a a = o, t/ = I pour n> o, nous avons formé le tableau suivant :

On voit^insi que la portion utile des saillies des pignons est une fraction assez sensible du pas pour qu'il soit nécessaire de donner à leur profil, sinon la forme épicycloïdale, du moins approximativement celle de deux arcs de cercles tangents aux flancs. La tête, dans les pignons de huit et neuf ailes, ne jouant qu'un rôle secondaire, rien ne s'oppose à ce qu'on la repré sente par une demi-circonférence.

Pour trouver le rayon du noyau du pignon, il sufQra, dans

l'expression de (R — /'), de remplacer a par sa valeur •

152. Épaisseur des dents de la roue à leurs extrémités. — Dans le cas actuel, l'équation (9) du n^ 15 (p. 5o) prend la forme

„t^, 2 — (2-~cos-î — h{sin — ) • ,56G4 L 9\ « ^ /J

4l8 QUATElftMB PAITIB. — CHAPITRE III.

Il est inutile de l'appliquer pour n = 6, 7, 8, g^ puisque les angles de retraite ont été calculés dans ces hypothèses en supposant e', = 0. Pour n = io elle ne donne pour e'— e', qu'une valeur ne différant de e' = 0,567a que d'une quantité de l'ordre de l'approximation que suppose cette même formule» ce qui revient encore à considérer e', comme nul ou négligeable.

Pour n= 12, on a

d'où

Pour n = i5, on a

d'où

153. De V influence du frottement dans les trains d'engrenages. — Nous allons traiter cette question d'une manière générale pour arriver ensuite aux applications que Ton en peut faire à l'horlogerie. Nous supposerons que dans le train il n'y a jamais à la fois qu'un couple de dents en prise entre un pignon et une roue.

Soient

Ru, r» les rayons respectifs de la m'^' roue et du m'**** pignon; Pu la normale commune aux dents de ces deux organes; N« leur réaction normale ;

Ou l'angle formé par cette normale avec la ligne des centres ; Qu Rtt le moment des forces qui agissent sur le k'^"' rouage; / le coefticient de frottement des dents en contact, supposé le même pour tous les organes;

Si l'on applique ici la méthode exposée au n® 97, on trouve^ les signes supérieurs et inférieurs étant respectivement relatifs

DO «ÉCANISXE DE TBANSMISSION. 4'9

au cas où le contact a lieu après ou avant la ligne des centres s

Q, -N,[sin9.±/^cos9,±J^)]=o,

Q, + N, ^^ [sinO.zt /^cos9, =f ^)]

- N, [sine, ± / ^cose, ± g)] = o,

N,f^[sin0.±/(cos9,^^')]

- N3 [siiô, ± /(co89, ± g\] = o,

Qs-,

fe)]

fc)l

N...5^[sin0,,±/(cos9,.,

Si Ton pose

a„ = dtz

•^V=^R„co"seJ

a„ = 8in9„-(-a'„cos9

?„=^(8in9„+p'„co89J,

les formules précédentes deviennent

/Q. -«.N, = o, O3 -^PjN,— a3N3=o,

420 QUATEiftHB PART». — CHAPIiaB 111.

d'où l'on tire

oe fit iZ âc

valeurs dont la loi de succession est facile à saisir. Les 5—1 premières équations (i') suffisent pour déterminer N,,..., N,,; et, en substituant ces valeurs dans la dernière des équations précitées, on trouve la relation

dont le terme général du premier membre peut être représenté par

Si maintenant on néglige le carré du coefficient de frottement, on a

a, «a- • •*«-! = sinÔjSinÔ,. . . sin©^, ( *"^ S ^^'ttCotôjj P.P«+. • • • Ps-i = 8in0„sinô„^,. . .sinO,

et réquation (2) peut se mettre sous la forme suivante :

( -^p>tô,+...+p;,cotp,,,)=o.

Nous n'insisterons j)as davantage sur ces généralités, et nous allons immédiatement étudier le seul cas particulier dont nous ayons à nous occuper dans ce qui suit.

Supposons que le mouvement soit varié, et soient A» et 91 le moment d'inertie du u^^'"' rouage et l'angle dont il a tourné

DU MÉCANISllB DE TRANSMISSION. 4^1

à partir d'un instant quelconque pris pour origine. On a

dt '^^^ dt' ' dt ^'-' dt ^ d'où

dT -^«•••^-> di '

Y2«» fïs étant deux constantes arbitraires. D'autre part on peut écrire

(6) Q.R„ = QLRu-^^«K»-A„2'S

(y^Btt étant le moment des forces extérieures agissant sur le ^ième rouage, et ^aRu celui du frottement développé sur son axe. L'équation (4) devient par suite

d}o , X(l + a',COt9,-i-...-4-a'^^^COt0„..-t-p;^COt0„-t-...-Hp;,COt0,^,)

Si les pivots ou tourillons sont d'un diamètre suffisamment petit, on peut, comme première approximation, négliger d'abord qu devant Q'„, ce qui donne

/l -l-.a',C0t9, +...-I- a'„,COte^,\

^ ^ Q;,R.(h.- • -ft-.) (^ ^ p> cote. + . ■ ■ + ^;, cot e.. )

<W /«-+-a',COt9,-t-...H-a'j^jCOt9^,\

^K\v- • -ft-.)' (^ ^ p;^cote„+. ..+ p;, cote,., j

Les actions mutuelles normales seront données par les formules (<?), dans lesquelles on remplacera

Q» par 0L-5^>»---P-.^'> puis

par sa valeur (8), de sorte que finalement elles seront expri-

4^2 QUATRIÈME PAETIB. — CBAPITftB III.

mées en fonction des forces équivalentes aux/orces extérieures agissant sur ce système et des éléments géométriques de ce système.

On peut supposer la force Q'^ parallèle à la résultante des forces extérieures agissant sur le u*''"' rouage, à laquelle elle est équivalente, et représenter par suite celte résultante par KQ'u* K désignant une constante.

Si, pour éviter toute ambiguïté, on désigne par -+- N„, -4-/N, Taction normale 'et le frottement résultant du u''"' système sur le(a-i-i)'*'"' système, par — N«, —/Nb les réactions correspondantes du second système sur le premier, on voit de suite, en employant la notation connue des sommes géométriques, que la pression exercée sur le m'^' axe sera

(9) QL^N.-,-+-/N^.-N„~/N.,

expression dans laquelle on éliminera -^^- au moyen de la

formule (8).

En négligeant le cube du coefficient de frottement, le produit de la pression précédente par ce coefficient représentera le frottement sur le pivot, et Ton obtiendra q» en le multipliant par le rapport du rayon du pivot à B.. En portant cette valeur de Çu dans Téquation (7), il en résultera une équation différentielle du second ordre en 9^, qui ne dépendra que des forces extérieures 0« et des éléments géométriques de l'équipage.

15!^. Des chocs dans un équipage de roues dentées. — Supposons que le système tournant 0« reçoive un choc de la part d'un autre système tournant, étranger à l'équipage considéré. Pendant la durée du choc, d. ne variera pas d'une manière appréciable; les forces continues seront négligeables; on ne devra tenir compte que de la force Q^ équivalente à l'action normale au contact et des frottements q» sur les axes résultant de la percussion. Or, si l'on ne considère que le cas de chocs peu violents, on pourra calculer qu sans tenir compte

de l'inertie, et, d'après ce que l'on a vu précédemment, ?r

DU HfiGANISME D8 TRANSMISSION. 4^3

sera une constante pendant toute la durée du choc. SI donc

on désigne par w,, w'^ les vitesses angulaires -^j avant et

après le choc, l'équation (7) donne, en intégrant pour toute la durée de la percussion,

(«;-«j2(fx„...f.,J»A„(l + a',COt9,+...+ a'^.^COt9„., + f'^COt0„-f-...4-p;^^C^

X (l -+- a', cote, H- .... -h a„,COtô„, -+- P'^COt0„-h ... -h p,, C0t9,,) /Q^ ^,dt.

On voit ainsi que l'effet du choc sur l'équipage est le même que si le 5'*"* engrenage, étant supposé complètement libre, avait pour moment d'inertie

2(f*«...p.,)'A„(i-t-a',cot0,-4-...-+ ^;^cot0„...)

X (l -h a, COtô, -h . . . -+-a'^,jCOtô^, -f- fi'„COt0„-h ... -h P^jCOt0,,)

expression que Ton pourra simplifier dans un grand nombre de cas, lorsque les pivots auront un diamètre assez petit pour

que l'on puisse négliger les rapports ^'

155. ^application aux engrenages à flancs. — Soient ^'a» Xm les angles respectifs que forme le flanc d'un pignon avec la ligne qui joint son centre à celui de la a'*"* roue, selon que le contact se trouve au delà ou en deçà de cette ligne; ij^L» Xu les limites maximum de ces angles qui correspondent aussi aux arcs de retraite et d'approche. Le dernier de ces angles sera seul supposé suffisamment petit pour qu'on puisse, sans erreur sensible, le considérer comme égal à son sinus ou à sa tangente.

On a, selon l'un ou Tautre cas.

On reconnaît facilement que, au delà de la ligne des centres, on a

< = /(i + PJ» fu = ^'

4^4 QDATBlftHB PAETIE. — CHAPITRE III.

et que, en deçà de la même ligne,

On peut donc écrire

«;^cot0,= (I + pJtaIlg^^„,

et l'équation (8) devient par suite

(lO

~/(i-^f*«) tangx„- . . . -/(i+ f*,^, ) tangx,.]

X [i -+-/(i -h fx, ) lang ^î^, H- . . . H-/{i -+- f*„., ) tang4/„, --/{'•^f*Jtangx„-...-/(ï-+-p,,) tangx,^,].

Nous supposerons dorénavant que Çu a été calculé comme on Ta indiqué plus haut , mais en négligeant le frottement/ et en supposant que le contact a constamment lieu sur la ligne des centres, hypothèse plausible, en raison de la pelitesse de Çu que Ton rend ainsi indépendant des arcs d*approche et de retraite.

Si l'on remarque que ^'^ ne dépasse généralement pas 4? ou 48 degrés, on peut sans grande erreur remplacer tang ^b par

— T7 — 4^a; en posant

1 tang^'^

et remarquant que, par hypothèse, on peut écrire x«= tangx» il vient

X [i -»-/(> -t- f*.) tang^^, -^. . .-+-/(i -+- p„.J tang^^^, (^2) { ~/(i-^-f*„)tangx:-...~/{i^P,-,)X.-J

BU VÉGANISHB DB THAlfSMISdlON. 4^5

Si l'on remplace g. par sa valeur calculée ainsi qu'on Ta dit plus hauty que Ton continue à négliger le carré du frottement, cette équation se met sous la forme

(«3) ' 5-'=:s(HA+K„xJ.

Ha, K« étant des fonctions des forces extérieures.

156. Discontinuité dans la loi du mouvement. — Supposons que l'angle 9» soit mesuré à partir de l'instant où la prise a lieu sur la ligne des centres entre le m"*^ pignon et la a'*'"' roue, et soit m» le nombre de dents qui se sont succédé depuis cet instant sur la ligne des centres jusqu'au contact que nous considérons actuellement. On a

pour ou

Au delà de cette limite, ^ptt s'annule et Xu» qui était nul, prend brusquement la valeur x^ et suit la loi exprimée par

(^) x«=(i-+-«'«)(f«+Xi/)-?«M;

cet angle devient nul pour

et alors on a pour

et ainsi de suite.

Le second membre de l'équation (8) est donc essentiellement discontinu, et si les forces Q'„ sont continues, les accélérations angulaires -^~- et -^ passeront brusquement d'une valeur à une autre lorsque le contact cessera entre un couple

4^6 QUATElfeKB PARTIB, — OBAPITBB III.

de dents pour être remplacé par la prise entre les dents du couple suivant.

La différence entre ces deux valeurs successives d'une même accélération angulaire pourra, dans certains moments, devenir comparable à chacune d'elles, dans un train composé d'un nombre suftisant de rouages, lorsque les arcs de retraite et d'approche auront des valeurs notables. On conçoit, en effet, qu'il puisse arriver que, à des époques périodiques, les arcs de retraite atteignent simultanément leur maximum; les termes en a^, qui seuls existaient, s'annulent subitement et sont remplacés par des termes en p'^, de signes contraires aux précédents, dont la valeur absolue atteint son maximum lorsque rapproche commence. On atténuera cette discontinuité en réduisant les arcs de retraite et d'approche, et même en supprimant ces derniers lorsque l'on pourra se contenter de faire commencer la prise à partir de la ligne des centres.

La vitesse angulaire -^S par suite -^> restera continue,

mais suivra une loi différente, lorsqu'un couple de dents passera de la retraite à l'approche et inversement.

Si les Q« sont constants en grandeur et en direction, les coefficients Ha et Ka seront constants, et l'on pourra, après avoir remplacé 4'a et^a par leurs valeurs (a) et (6), intégrer l'équation (8) en la multipliant par d(^,f ce qui donnera la vitesse angulaire --Tj-f et l'on en déduira la valeur du temps par une quadrature. Mais il ne faudra appliquer la valeur finale ainsi obtenue qu'à des déplacements angulaires suffisamment petits pour que, dans leur Intervalle, le contact d'un couple.de dents, à l'approche ou à la retraite, ne vienne pas à cesser. On pourra ainsi obtenir les valeurs successives de t de proche en proche, et par suite celles de (p. en fonction de t au moyen d'une Table résultant du calcul précédent.

157. De Vinfluence du frottement sur le mécanisme d'une montre. — Proposons-nous de déterminer l'accélération que prend la roue d'échappement, par suite de la détente du ressort moteur, lorsque, après être partie du repos ou du léger recul qu'on lui fait subir, elle vient rencontrer l'échappe-

ment. Nous nous reporterons pour cet objet au n** 146, dont nous conserverons les notations en y supposant s =5*

Les engrenages n'étant jamais lubrifiés, nous pourrons prendre /= 0,20 pour les coefficients du frottement qu'ils développent entre eux.

Le coefficient de frottement/, des pivots en acier sur des trous en rubis n'ayant pas été déterminé, nous le prendrons égala 0,16, chiffre un peu supérieur à celui qui s'applique au cas d'un graissage peu entretenu, afin de tenir approximativement compte de la résistance due à la viscosité des huiles, et qui augmente à mesure qu'elles vieillissent, résistance sur laquelle on n'a aucune donnée expérimentale.

Pour ne pas compliquer inutilement nos calculs : i® nous ferons abstraction de l'inertie, du barillet et du ressort moteur, en raison de leur très-faible vitesse par rapport à celle de la roue d'échappement; 2® nous négligerons de la même manière l'inertie du système des minutes et des heures; 3** nous devrons tenir compte de l'inertie de la première et de la seconde moyenne, qui, malgré une vitesse de rotation bien moins rapide, donne des termes du même ordre de grandeur que l'inertie de la roue d'échappement, dont la masse cependant est très-faible; 4° nous considérerons comme négligeable le frottement du canon de l'aiguille des heures, attendu qu'il est réduit à peu près à son minimum, et, comme nous avons fait la même hypothèse relativement à l'inertie du système des aiguilles, il s'ensuit que la quote-part de la force motrice qui met en mouvement leur système peut sans inconvénient être supposée nulle ; 5** pour nous affranchir des irrégularités brusques signalées au n® 14-7, et qui sont d'ailleurs atténuées notablement, relativement à l'unité, par le facteur/ dont elles sont affectées, nous remplacerons chaque groupe de termes, fonctions des arcs d'approche et de retraite, par la demisomme des valeurs extrêmes. Nous supposerons de plus, dans les mêmes termes, les coefficients (n- fjt«) égaux à ~, ce qui revient à faire abstraction de chacun de ces coefficients en augmentant de - la valeur de / qui sera ainsi portée à 0,22. En opérant ainsi, on n'altérera pas d'une manière appréciable le résultat final.

4^8 QUATKlftVI PARTIE. — CBAPITEB UI.

Cela posé, la formule (12) du n^ 155 donne

-^ Pj^^'Z.Ï^, (' -^ ^2) -^- ^ f*2f*3P4 (Q'-t- ^.)Ï^I {l -^ ^1) •

En posant

/-, = o , 1 1 ( tang-y, -f- tang;!/; -h tang ^3 -+- tang y, ) , X, = o, 1 1 ( tang y, -+- tangf, + tangfa - tangx'« ), A,= o , 1 1 ( tang^', -h tang^j.; - tangx', - tang/*), A, = o, 1 1 (tang-y, - tang/, - tang/^ — tangx'4), /•, =- o, 1 1 (tang/, ^- tang/, ■+■ tang/3 -1- tang/J.

La valeur de chacun de ces coefficients sera comprise entre celles qui correspondent aux cas extrêmes dans lesquels les pignons ont six et douze ailes, ce qui suppose d'une part ^}>'=i45*, /= i5°, et de l'autre ^'zzzSo'*, x'=o. On trouve ainsi que