I -h tanga tang/' h — tanga
d'où
tang* ( n-~ tanga)
tang/"= ^ "^ j^
I — a tanga tang/ h — tanga
r 35 Dans le cas usuel où — = ^-> *= 12®, « = 6*>, on trouve
§ III. — Échappement à cylindre.
175. Cet échappement, qui est le plus généralement adopté pour les montres, n'est au fond que l'échappement à repos des pendules dont il dérive, par suite des modifications suivantes :
i^ La traverse de l'ancre est remplacée par les surfaces des repos prolongés en conséquence. Il résulte de là une portion ' de cylindre annulaire à laquelle on donne le nom é'écorce,
2** L'écorce est montée directement sur l'arbre du balancier dont l'axe coïncide avec celui des surfaces cylindriques, ce qui supprime la fourchette.
3® Les dents de la roue d'échappement sont déterminées de manière que chacune d'elles occupe seule et complètement> à un faible jeu près, l'intervalle cylindrique intérieur.
490 QUATAlfeMB PAITIB. — CHÂPITAI TI.
L'écorce se compose d'un demi-cylindre augmenté de part et d'autre d'une partie correspondant à lo degrés. Cet angle complémentaire détermine complètement la lèvre de sortie qui est droite ou légèrement conveie (Jig. 208). La lèvre
Fig. 208.
d'entrée ne résulte que du raccordement des surfaces interne et externe de l'écorce par une surface cylindrique plus ou moins convexe.
Nous n'insisterons pas sur le jeu de l'échappement, qui est pour ainsi dire identique, au point de vue descriptif, à celui de l'échappement à ancre des pendules, et que la j^g". 209 fera
Fig. aog.
mieux comprendre que toute explication. La poriion du profil des dents qui agit sur les lèvres est rectiligne ou légèrement convexe.
L'épaisseur de l'écorce étant assez faible pour qu'on puisse
DBS ÉCHAPPEMENTS. 49 <
en faire abstraction, on calculera la vitesse angulaire de la roue au moment où le choc a lieu» par la formule (ii) du no 171.
La vitesse angulaire du balancier, après le choc» se calculera de la même manière que pour Téchappement des pendules.
Dans le cas d'un profil reciiligne pour les dents, on déterminera l'influence de la force motrice en suivant une marche à peu près identique à celle du n* 173. Si le profil est légèrement convexe, on peut le supposer circulaire sans grand inconvénient, mais alors la solution du problème se complique notablement.
Les horlogers auteurs ne sont pas bien d'accord sur les conditions que doit remplir le profil des dents. D'après Bodin, il devrait être tel :
I* Ou qu*il fasse parcourir au cylindre des angles égaux pour des parties égales de son arc {' );
2® Ou qu'il éprouve toujours la même résistance de la part du spiral.
Moinet ne se prononce pas catégoriquement à ce sujet, et nous avons autant de raisons que lui d'user de la même circonspection.
Nous ne nous occuperons pas des échappements à virgule, de Dupleixy à cfiei^illes, etc., qui sont plus ou moins employés et dont les théories respectives rentrent dans les principes que nous avons exposés.
§ IV. — Échappements à détente.
176. De Véchappement à bascule. — Il existe plusieurs types d'échappement à bascule, pour la description desquels nous renverrons aux Traités spéciaux d'horlogerie. Nous ne
(') 11 est hors de doute que cet auteur a voulu dire que les angles décrits par la roue et par Tancre doivent être proportionnels. Alors le profil de la dent serait un arc d'épicycloide intérieure^ et il serait concave au lieu d'être convexe. Parmi tous les profils admissibles, ce serait donc la ligne droite qui satisferait lepJus approximativement à la condition énoncée. M. Saunier, en partant d'autres considérations, arrive au même résultat.
49^ QUATBIbMH rABTIK. — CHIPITHB VI.
coDsidérerons que le suivant. Il se compose {Jîg.mo): |0 d'une pièce appelée bascule, mobile autour d'un pivot, ei bien équilibrée, afln d'éliminer les effets de la pesanteur sur sa masse, quelle que soit la position que l'on donne au chronomètre; i' d'une lame flexible et rectiligne encastrée dans cette pièce à une petite disunce de son pivot, et établie
Fig. i>o.
de manière à toucher l'extrémité de la même pièce en exerçant en ce point une faible pression ; celle lame se prolon^ très-peu au delà de l'extrémité ci-dessus; 3° d'une roue d'échappement, dont les dents sont pointues et inclinées d'uQ petit angle sur le ra^on pariant du centre précédent et aboutissant à leur extrémité ; 4° d'uQ ressort spiral plat dont le
cenlre se trouve sur Taxe du pivot, qui a pour effet de ramener contre un obstacle disposé à cet effet la bascule dans son état naturel ou de repos, lorsque, après l'avoir fait tourner, on vient à l'abandonner à elle-même ; 5® d'un repos en rubis implanté dans la bascule et taillé de manière à présenter un plan incliné qui fasse avec le rayon mené au centre de la roue le même angle que les dents de la roue avec les rayons semblables.
L'axe du balancier est muni de deux doigts rectîlignes dont nous ferons connaître l'objet un peu plus loin.
Lorsque la roue d'échappement est immobile, une de ses dents vient s'appuyer contre le repos ; mais, quand le balancier tourne de la droite vers la gauche, un des doigts du balancier finit par rencontrer l'extrémité de la lame, la soulève en entraînant avec elle lar bascule dans un mouvement de gauche à droite autour de son pivot; bientôt la dent considérée se dégage du repos, et pour que le doigt abandonne la lame élastique, on s'arrange de manière que, avant que la bascule ne soit revenue dans sa position naturelle sous l'action du spiral, l'une des dents de la roue d'échappement vienne choquer le second doigt du balancier pour s'en dégager presque inunédiatement. Il résulte de ce choc une communication de force vive au balancier pour neutraliser, ou à très-peu près, les effets des résistances passives. Il faut que la bascule arrive à son état de repos en temps voulu pour arrêter au passage de la dent qui précède immédiatement celle qui vient de passer. Lorsque le balancier revient sur lui-même ou de la gauche vers la droite, le premier doigt abaisse légèrement la lame, et s'en dégage ensuite, sans modifier l'état de repos de la bascule. On voit ainsi que la roue d'échappement ne tourne que de l'intervalle d'une dent pour chaque oscillation com* plète du balancier.
L'échappement est libre^ parce que la dent qui a frappé le second doigt s'en dégage immédiatement, et que l'action de la force motrice ne peut, dans un temps aussi court, modifier la loi du mouvement du balancier.
Si un chronomètre muni d'un pareil échappement s'est arrêté^ il ne peut de lui-même se remettre en marche après le
remontage: il faut lui imprimer une secousse capable de dé> gager la dent du repos contre lequel elle s'appuie.
177. Du tirage. — Mais cette faculté^ que possède l'échappement» peut devenir un inconvénient et engendrer des irrégularités dans la marche du chronomètre à la suite de secousses accidentelles que Ton ne peut pas toujours éviter: c'est pourquoi Von a donné une inclinaison du repos sur le rayon de la roue pour produire du tirage, et c'est ce dont nous allons maintenant chercher à nous rendre compte.
Soient [Jig. 211)
Fig. an.
0, 0' les pivots de la roue d'échappement et de la bascule;
r le repos;
e l'inclinaison dont il s'agit;
yi le moment par rapport au point 0 de la force équivalente à la force motrice et aux frottements, tangente à la circonférence de la roue d'échappement;
N la pression normale exercée sur le repos par la dent g;
/le coefficient de frottement qui en résulte lorsque le dégagement de la dent se produit ou tend à se produire;
R le rayon rO.
Le moment des forces N et N/ par rapport à 0 devant être égal à fA, on a
R(cos&— /sine)
DES £ghappements. 49^
Les composantes de ces mêmes forces suivant la direction de R et celle qui lui est perpendiculaire ont respectivement pour valeurs
N sms -h N/cose = & ^- — ^)
•^ Ri~/tang«
Ncose — N/sine = g-
MX
La distance d du point 0' à la première de ces composantes ne variera pas d'une manière appréciable pendant toute la durée du dégagement de la dent; il n'en sera pas de même des distances des points d'application de N et N/ à la perpendiculaire abaissée du point 0' sur R^ au-dessus de laquelle est situé ce point; cette distance, quoique toujours très-petite, peut varier relativement d'une manière appréciable, suivant les relations des positions adoptées, et nous y substituerons sa valeur moyenne d\ Les forces N et N/ donneront donc lieu, par rapport au point 0', à un moment résistant ou qui s'opposera au seul déplacement possible de la bascule, ayant pour expression
R i--/tange
ou approximativement, en remarquant que /> e -7 sont de petites fractions,
Si l'on fait abstraction du terme en -r qui est indépendant de l'angle e, l'expression ci-dessus devient
^(tangs-H/), et son rapport à ce qu'il serait si e était nul
Ce rapport ayant pour valeur 3,23 dans le cas usuel de e = 12®,
49^ QUàTRIÈMB partis. — CHAPITRE YI.
f=z Ofi, on voit rinfluence que peut avoir une faible inclinaison de douze des dents, relativement à la stabilité de l'échappement.
178. Du tracé de l'échappement et des relations entre ses éléments linéaires et angulaires , — Supposons {Jig> 212) que l'on se donne la position des centres 0 et 0'^ de la roue
Fig. 213.
d'échappement et du balancier, dont nous prendrons la distance pour uni té, et que la bascule soit au repos; on détermine l'extrémité k de la dent qui doit frapper le second doigt du balancier par l'intersection de deux droites Ofr, O^k partant des points 0 et 0* et faisant respectivement avecO^O les angles donnés a et p. La naissance h de la même dent résultera de la rencontre de deux droites, l'une 0"A faisant avec O^k l'angle y, l'autre kh faisant avec O/r l'angle £. On reconnaît très-facilement que l'on a
Ok
sin?
Ah =
0*/' siny
sina
sin(a sina sin7
sin(a H- p — Ê — 7) sin (a -t- p — s — 7) sin (a -+- (5)
Pour trouver le rayon 0 A de la circonférence intérieure de la roue, il suffit de résoudre le triangle O^A, dont on connaît
DBS éghàppbmbnts. 497
deux côtés Ok eihh et Tangle compris e; mais, comme cet angle est généralement petit, on peut prendre tout simplement
0A = OA'—^Acos8.
M. Martens suppose douze dents à la roue; il s'arrange de manière que les dents soient symétriquement situées par rapport à 0"0 lors du repos, et Ton a par suite a = 12®. Il prend en outre p = d =.- aS', e = 12®, y = 5", et en vertu des formules ci-dessus on trouve
On choisit la troisième des dents qui suit la dent A*A, de manière qu'elle s'appuie sur le repos ; l'angle formé par OO'^ avec le rayon mené à la naissance de cette dent est égal à 60 degrés. Le repos se trouve à peu près à égale distance du pivot et de l'extrémité libre de la bascule. L'étendue du repos correspond à un angle de 3 degrés, ayant son sommet au point 0'.
179. Du jeu de l'échappement en ayant égard à rélasticîté de la lame de levée. — L'encastrement de la lame élant trèsvoisin de l'axe de rotation de la bascule, on peut, sans erreur appréciable et en vue de simplifier les formules, supposer qu'il coïncide avec le point 0'; d'ailleurs, la fibre moyenne de la lame à l'état naturel peut êire considérée comme se confondant avec la direction deO'O".
SoienX {Jig. 21 3)
Fig, 2i3.
6« le point d'appui de la bascule sur la lame à l'état naturel;
O'bx la position de la tangente à l'encastrement lorsque la bascule tourne d'un petit angle a:O'O" = 0 dont nous ne conserverons que la première puissance, b étant la nouvelle position du point de la bascule primitivement en 60, qui en est la projection sur Ox;
49B QUATRIÈME PAITIE. — CHAPITIB TI.
c le point de contact du doigt de détente avec la lame, dont la position sur la lame varie très-peu avec 9, de sorte que l'on peut considérer la distance cb = 'k comme constante;
e„ c. les projections de c sur O'x et O'O";
/ la longueur 0' c = 0' c, = 0' Ci ;
Pf q les réactions, très-sensiblement perpendiculaires à O'x, du doigt de détente et de la bascule sur la lame;
c la longueur ee, ;
IX le moment d'élasticité de la lame;
y l'ordonnée par rapport à Taxe O'x d'un point quelconque de la lame dont Tabscisse est x.
On a, pour Véquation différentielle de la courbe bc.
On intégrera cette équation en exprimant que la courbe passe par les points c et b, et négligeant le carré de la petite fraction j^ puis on déterminera Tinclinaison de la tangente en ç sur O'Xf qui sera donnée par {a) tanga = j^.
Pour la courbe O'b, on a
Si Ton intègre cette équation, que Ton exprime que la courbe passe par le point C, qu'elle est tangente en ce point à O'x, et enfin qu'elle passe par le point b^ on trouve les deux relations
(b) f* langa = - ^p^ q^i^ ^ j J,
enfin des équations (a), {b), (c) on tire
DBS éghàppbmbnts. 499
3 X Mais, comme - ^ est encore une irès-petite fraction, nous pour-
rons nous borner à prendre
Soient maintenant r'^ le rayon 0''e« que nous pouvons considérer comme égal
z, Zi les ordonnées des points c, c, par rapport à O'C;
I, F les moments d'inertie de la bascule et du balancier par
rapport à leurs axes respectifs; T le moment résistant par rapport au point 0' dû au tirage; - 6" l'angle supposé très-petit que forme 0''c avec CO'; k'^O" le moment dû à l'action du spiral réglant sur le balancier.
Le déplacement de l'extrémité intérieure du ressort spiral plat placé en 0' étant très-petit, le moment du couple auquel il donne lieu est de la forme kO, quoique le spiral ne soit pas isocbrone.
Si nous remarquons que l'on a c = z ~ Z|, et si nous posons
nous aurons
puis, pour les équations du mouvement de l'échappement et du balancier,
fP^' h
mais nous avons et par suite
5oO QUATRIÈME PAETIB. — CHAPITRE TI. — DES ÉCHAPPEMENTS.
On intégrera facilement ces deux équations en déterminant les constantes par les conditions que, pour/ = o, on a z = o,
z, = 0, etque-T-> --i-î ont des valeurs donnéesiv,^,; mais nous
ne croyons pas devoir nous arrêter à ce calcul, qui ne conduit pas à des résultats bien saillants.
