III. 3i
48a quâteièhb partib. — chapitrb yi.
par suite
Lorsque la dent est sur le point de quitter la lèvre» ^'— ^'» est égal à l'angle de levée A, et si /|, (ù\ sont à cet instant les valeurs de / et gi>% nous avons pour les déterminer
Si nous posons maintenant Ar' = ^ 9 nous aurons pour Tare complémentaire
en négligeant le frottement sur le repos, qui, à la période de levée près, n'altère pas l'isochronisme. En plaçant l'origine du temps à l'instant où cette période commence, on a
0^ = A, -^ = w, pour / = o,
d'où
^f = XcosA^r 4- i (w;co8A''f, -+-X-'P'sinA'fj8inAf,
j -^ï- =— XsinX-f H- T («'«cosA'/, -t-X'P'sinA^'/JcosAf.
Si l'on désigne par tt la valeur de t pour laquelle la vitesse gulaire -^^tt-- est nulle, la durée de la demi-oscillation sera
an...„... -^^
mais comme, en restant dans ces généralités, on ne voit pas nettement l'influence de la force motrice, nous allons procéder par approximation, en négligeant les termes du second ordre
en p' et c = — r: — • .
En posdnt
DBS fiCHÀPPBMBNTS.
sinXY, = — r»
la première des équations (8) donne
Si la force motrice n'agissait pas sur l'échappement/ kx serait égal, à -• Posons donc
:r étant de Tordre de 6 et ^'; nous aurons
V ft>o' «^0
et par suite
TT
T = — r — « arc 8in -T -+-
On voit ainsi que TinQuence de la force motrice sur le mou-
FIg. 3o3.
vement du pendule sera d'autant plus grande que la vitesse u», et par suite Tamplitude, sera plus faible.
484 QUATEIftMB PARTIE. — CHAPITRE YI.
Tout ce qui précède s'applique, moyennant quelques modlficationSy à l'échappement de Graham appliqué aux horloges et dans lequel les repos se trouvent sur une même circonférence passant par le centre de la roue d'échappement {Jig. 2o3 ).
173. Échappement à recul de Berthoud, — Dans cet échappement les repos sont remplacés par des arcs de cercle ou . reculs tracés de telle manière qu'ils déterminent un déplacement rétrograde plus ou moins sensible de la roue d'échappement et par suite de tout le mécanisme. Comme le recul n'a pour objet que d'empêcher le pendule de s'arrêter, par suite d'arc-boutements dans les rouages, l'application de cet échappement n'a sa raison que dans les pièces d'un travail peu soigné.
La construction à laquelle Berthoud a été conduit par la pratique est la suivante :
Traçons en pointillé {Jig. 204) les repos auxquels on doit
Fig. 204.
substituer les reculs; à partir de l'extrémité n® o de chacun d'eux portons trois ouvertures de compas successives (0,1), (i,a), (2,3) égales à l'épaisseur e de l'ancre mesurée sur le rayon qui joint le point 0' au n® o. Au delà ou en deçà du point n' 3, selon qu'il s'agit de l'entrée ou de la sortie, portons sur le rayon (0',3) une longueur égale à e. Nous obtiendrons ainsi deux points n® 4 V^^ chacun desquels et par le point correspondant n® o nous ferons passer un arc de cercle d'un rayon égal à celui du repos, et le tracé des reculs se trouvera effectué. La seule condition imposée dans ce tracé est d'avoir un angle de levée égal à 5 degrés.
Berthoud a donné à cet échappement le nom d'isochrone, sans s'expliquer sur les causes perturbatrices qu'il a eu 1 en
vue de faire disparaître. II semble qu'il a supposé qu'en créant sur le balancier, par le recul, un moment résistant, il devait éliminer l'influence de la pression continue des dents sur la roue, et compenser le défaut d'isochronîsme résultant d'un li^op grand écart du pendule. La question ainsi posée pourrait se résoudre en déterminant la forme qu'il convient de donner aux reculs pour qu'ils satisfassent aux conditions exigées. On n'aurait pour cela qu'à suivre une marche analogue a celle du numéro précédent; mais, comme nous n'avons pas ici d'angles qu'il soit permis de considérer comme très-petits, on serait arrêté par l'élimination des angles auxiliaires que l'on devrait faire entrer dans les formules. Dans tous les cas, il y a tout lieu de croire que la règle de Berthoud est trop absolue pour satisfaire aux conditions que nous venons d'énoncer.
174. Échappement libre des montres, — - Les échappements à ancre des montres offrent la plus grande analogie avec ceux des pendules. La seule différence essentielle consiste en ce que la fourchette se trouve dans le même plan que l'ancre. On s'arrange de manière que le centre de gravité de l'ancre se trouve sur l'axe de rotation.
La longue branche de la fourchette est terminée par des cornes, à la naissance desquelles est ménagée une encoche destinée à recevoir un doigt fixé à un plateau faisant corps avec l'arbre du balancier. Immédiatement après la chute, le doigt reçoit une impulsion par contre-coup, se dégage presque instantanémentde la fourchette, et le balancier, soustrait à l'action de la force motrice, continue sa demi-oscillation uniquement sous l'action du spiral. A la fin de la demi-oscillation suivante, le doigt s'engage de nouveau dans l'encoche, entraîne avec lui la fourchette qui reçoit une nouvelle impulsion, et ainsi de suite. Les dents de la roue d'échappement sont pointues ou ont la forme indiquée dansles^îg'.soS et 206, qui représentent les dispositions le plus fréquemment adoptées. Deux goupilles limitent latéralement la course de la fourchette. Il y a aussi le coin de renversement et autres détails dont il nous paraît inutile de parler.
486 QCATRItMI PAITIB. — GBÀPITBB TI.
Chaque repos est remplacé par un recul rectilîgne qui a pour objet de donner de la stabiUlé à l'ancre, c'est-à-dire de ne pas lui permettre de se déplacer, sousl'influence de ceTtaines secousses, par suite de l'obliquité de l'action de la roue
sur les plans inclinés ainsi déterminés ; c'est ce qui donne lieu à ce que les horlogers appellent du tirage.
Il existe une seule différence entre la théorie de cet échappement et celle de l'échappement des pendules, c'est dans
DBS ÉCHAPPEMENTS. 4^7
lé calcul de la vitesse angulaire de la roue et du balancier après le choc ; car nous avons ici deux chocs simultanés, Tun entre la roue d'échappement et l'ancre, l'autre entre la fourchette qui termine l'ancre avec le balancier.
Fîg. 206.
Reprenons les notations du n®173, en supposant que les lettres affectées d'un seul accent se rapportent uniquement à l'ancre; soient
0" le centre du balancier ;
F son moment d'inertie;
(ù\j (ù\ sa vitesse angulaire avant et après le choc ;
a, p'^ les distances du point de contact de l'ancre et du balan-
cler aux centres 0, 0 N'ia réaction du balancier sur la fourchette.
Il est facile de voir que l'on a
488 QCATBlftMK PAftnB. — GHAPITRB YI.
En exprimant que les composantes normales des vitesses au point de contact sont les mêmes après le choc pour les deux couples de corps choquants^^on a
P = ^iP-
En éliminant les impulsions entre les équations (i), H nous restera trois relations entre les inconnues &>', gi>\, ui qui seront par suite déterminées.
Nous n'avons plus à nous occuper maintenant que du tirage. Pour qu'il fût le même à l'entrée et à la sortie» il sufQ> rait que les inclinaisons des reculs sur les rayons de la roue, menés au point de contact des tangentes, passent par le point (/; mais on peut se demander quelle est la relation qui doit exister entre ces deux inclinaisons pour que le recul soit le même de part et d'autre, en prenant pour la plus faible une valeur reconnue sufGsante par la pratique.
Soient (Jig. 207 )
Fig. 207.
a, a' les naissances des reculs de sortie et d'entrée;
ab^ a' 6' leur partie utile correspondant à l'angle au centre
ar=frO'a = i^^'; iy V les inclinaisons respectives de abj a! h' sur les prolongements des rayons correspondants de la roue;
e l'angle de recul «06= a' 06' ; /~0a = 0a', r' = 0'a = OV.
Les triangles aO' b, aOb donnent
, r'sina , rsins
ao = --: r y OÙ = —. — — r )
COS^^-Ha) Sln(^ — e)
d'où
— tangatangi
tang e =
I — tang a tang/ -4- - tanga
On trouverait de même
-tanga tang/'
Ungf = -p j
