AL ~ UL "" CL
tRR'
Ainsi le point J reste à une distance consunte du centre 0% et, pour l'obtenir. Il suffit de projeter sur 00' le point d'Intersection de la circonférence (S') avec une demi-circonférence décrite sur O^L comme diamètre.
Soient 8 le sommet de l'arceau considéré ; M, N les points de rencontre des circonférences de centre 0' et de rayons O'J, O' A avec la droite O'S. Décrivons sur AJ comme diamètre une circonférence qui évidemment passera par le point C ; on a
rfi AI <7> ^RR' (^ AOm\ R' „.
arcC'J = AJ X C'AJ = -= — 57I 1 = -^ — ^ arcNA,
arcMJ '--^ 0 J X liO^Ï = K^^.. = -J
d'où
arcG'J = arcMJ.
Il suit de là que le Heu des points G' ou la développée de l'épicycloTde est elle-même une épicycloTde résultant du roulement de la circonférence AJ sur la circonférence O'J, et dont les sommets et les points de rebroussement correspondent respeclivement aux points de rebroussement et aux sommets de l'épicycIoTde proposée.
Lorsque la circonférence mobile est intérieure à la circonférence fixe, l'enveloppe est une épicycloïde intérieure ou hypocyclolde qui jouit des mêmes propriétés que la courbe que nous venons d'étudier.
L'enveloppe devient une cyclotde si R' est infini, c'est-à-dire si la circonférence (S') est remplacée par une ligne droite.
/ (6). Enveloppe d'une épicycloïde. — Soient (Jig. 29)
P le centre d'une circonférence tangente en A extérieurement à (S') et Intérieurement à (S);
TRANSFORMATION DU X0UYBHB5T CIRGULAIRB CONTINU, BTG* 27
m Al 9 mÀ', rhypocycloïde et Tépicycloïde décrites par un point m de cette circonférence roulant respectivement
sur (S) et (SO;
Fîg. 29.
Ài4 A', les positions correspondantes du point décrivant sur les deux circonférences.
Il est clair que
arcÂÂi = arcA/w = arcAA'i,
et, comme la normale en m passe par le point A, on a ce théorème:
L'enveloppe d'une épicyclolde est Vhypocyclotde décrite par un point du même cercle générateur roulant dans l'intérieur de la circonférence mobile, et inversement,
(c). Enveloppe d'un rayon. — Soient {fig. 3o)
OAi, dans une position quelconque, le rayon dont on veut
terminer Tenveloppe; A\ le point de la circonférence (S^) correspondant au point Ai
de S; A le point de contact actuel des deux circonférences; m le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur OAi, et qui
est le point de l'enveloppe correspondant à la disposition
de la figure.
Le point m se trouve sur la circonférence décrite sur OA
28 QUATRiinB PAETIE. CHAPITRE III.
comme diamètre ayant son centre en P; mais on a
AP/w = 2AO/W, d'où AP/w.P/n = AO/w.aPm = AOw.OA. II suit de là que Tare A m est égal à Tare AAi et, par suite, à
Fig. 3o.
Tare AA', : donc le lieu cherché est Vépicycloïde engendrée par un point d'une circonférence décrite sur un rayon de la circonférence mobile.
On déduit de là et du théorème énoncé à l'article précédent que V hypocyclotde décrite par un point de la circonférence d'un diamètre moitié de celui de la circonférence mobile est un rayon de cette dernière; car le rayon OAj, enveloppe des positions deTépicycloïde A\ m, n'est autre chose que l'hypocycloïde engendrée par le point m de la circonférence P roulant dans rintérieur de (S). Il est facile d'ailleurs de démontrer directement cette propriété (*).
Si le rayon OA est infini ou si la circonférence 0 devient une droite, la normale A m est tangente en A à ( S' ), et, comme
(*) C'est sur cette même propriété qu'est basé le mécanisme connu sous le nom ôHengrenage de Delahire, qui a pour objet de transformer un mouvement de rotation continu en mouvement rectiligne alternatif. Les deux circonférences correspondant à deux roues dentées engrènent Tune dans l'autre, dont l'une est fixe et l'autre mobile. L'axe de cette dernière est maintenue dans un coussinet engagé dans une manivelle tournant autour de l'axe de figure de la roue
TRANSFORMATION OU MOUTEMBNT GIRGULÀIRB CONTINU, BTC. 29
elle est égale à ÂA'^» Tenveloppe est la développante de la circonférence 0'.
((/). Enveloppe d'une circonférence. — Proposons-nous de déterminer l'enveloppe d'une circonférence ayant son centre Al {^ff.3i) sur lepérinaètre de (S), que nous suppose-
Fig. 3i.
rons extérieure (S'), comme l'indique la Qgure; on verra sans peine que les raisonnements qui suivent et les conséquences qu'on en déduit s'appliquent sans aucune restriction au cas où l'inverse aurait lieu. On obtiendra deux points m de l'enveloppe par l'intersection de la droite AAi avec la circonférence enveloppe, et, par suite, on construira cette enveloppe, en augmentant ou diminuant du rayon de la circonférence génératrice la normale de l'épicycloïde décrite par son centre, et dont A\ est un point de rebroussement.
L'enveloppe se composera ainsi de deux courbes, l'une intérieure, qui seule nous servira plus loin, et l'autre extérieure. Ces courbes, étant toutes deux parallèles à l'épicycloïde Ai A',, auront la même développée que cette dernière.
fixe, et au moyen de laquelle on produit le mouvement. Si une tige verticale est articulée en un point de la circonférence de la roue mobile, elle obéira à un mouvement oscillatoire dont Tamplitude sera le diamètre de la circonférence fixe, et pourra être utilisée par exemple pour faire fonctionner des pompes.
Ces deux courbes auront chacune un point de rebroussement K situé sur la circonférence (S'), et qui sera déterminé par la condition que la normale Kn, abaissée de ce point sur répicycloïde, soit égale à Ai m. En supposant que la circonfé? rence mobile 0 se trouve en contact avec Tun des points K de la circonférence fixe 0% on voit que la corde de Tare Kn de la première circonférence est égale à Âi/n, et que par suite Tare KA', est égal à l'arc A.I de 0, dont la corde est égale au rayon A, m; de sorte que les deux points de rebroussement s'obtiendront en portant de part et d'autre de A', , sur la circonférence O'^es arcs égaux à l'arc AJ.
(e). Enveloppe d'une développante de cercle. — Soit mK {fig* 32) la développante d'un cercle OIK concentrique
Fig. 33. •
avec (S), et dont on se propose de trouver l'enveloppe. Le point de cette enveloppe est l'intersection m de la développée avec la tangente AI menée du point A à sa circonférence génératrice; mais cette droite est aussi tangente à une circonférence de centre 0', et dont le rayon a pour valeur
OT
OA
TRANSFORMATION DU UOUTEMBNT- CIRCULAIRE CONTINU, ETC. 3l
par suite, Tenveioppe cherchée n'est autre chose que la développée de cette même circonférence.
Il est facile de voir que Ton arriverait à un pareil résultat si, au lieu de se placer dans le cas de la figure, on supposait que les circonférences (S) et (S') fussent intérieures Tune à l'autre.
On sait d'ailleurs que, pour construire une développante de cercle, il suffit de tracer sur la circonférence des points équidistants o, i, 2^ 3,. . . , assez rapprochés pour que l'on puisse considérer les arcs interceptés comme rectilignes, puis des points I, 2, 3,... avec des rayons égaux à une fois, deux fois, trois fois,... l'équidistance, de décrire des arcs de cercle tangentiellement auxquels on tracera une courbe continue passant par le point o, et qui sera la courbe cherchée.
13. Généralités sur les engrenages, — Pour transformer un mouvement de rotation qui a lieu autour d'un axe en un autre autour d'un autre axe parallèle au premier, on s'arrange de manière que les deux corps (S) et (S'), qui tournent respectivement autour de ces axes, soient munis de saillies^ ou ' dents agissant de l'un de ces corps sur l'autre. Pour obtenir une stabilité convenable dans le mode d'action de (S) sur (S'), on donne à ces saillies une forme cylindrique dont les génératrices sont parallèles à la direction des axes, et l'on réalise ainsi ce qu'on appelle un engrenage cylindrique^ qui n'est autre chose qu'un couple de roues dentées.
Nous pourrons substituer, dans le raisonnement, aux corps (S) et (S') leurs sections faites par le plan de la figure, censé perpendiculaire aux axes, et considérées comme tournant autour des traces 0, 0' de ces axes.
On exige qu'un engrenage soit construit de telle manière que le rapport des vitesses angulaires &), &)' autour des points 0, 0' reste constant, et, pour qu'il en soit ainsi, il est évident qu'il doit exister entre les profils de deux dents correspondantes une relation que nous déterminerons un peu plus loin.
La roue menante est celle qui reçoit directement ou indirectement l'action de la force motrice, et qui engendre le mouve-
ment de la roue menées laquelle correspond à la résistance utile à vaincre.
Du profil des dents. — Les/ig. 33 et 34 sont respectivement relatives aux cas où les vitesses angulaires o), cù' sont de sens
contraire ou de même sens, en supposant, par exemple, que &> ait lieu de la droite vers la gauche.
Le raisonnement suivant s'appliquera simultanément aux
deux figures, dont les points correspondants sont représentés par les mêmes lettres.
Soient, à un instant quelconque, ma, ma' les profils des dents de (S), (S') en contact au point m; concevons que Ton imprime à ces deux figures invariables et autour de 0' une rotation égale et contraire à cù', de manière à ramener (S') au repos; le centre instantané de (S) dans le mouvement résultant se trouvera en un point A de la direction de la ligne des centres déterminée par la relation
