JO
„]e poids de l’unité de volume du liquide, p-\-*h sera la pression génératrice par unité de surface. Pour évaluer cette pression totale en charge du même liquide, il faut observer que la pression unitaire p du piston peut être remplacée par une colonne de liquide agissant au-dessus de ce piston, et quiaurait l’unité de surface pour base. Soit h' la hauteur d’une telle colonne, elledevra être telle qu’on ait M = p\ d’où
ce qui est facile à calculer. Ainsi, l’écoulement actuel revient au cas où la charge au-dessus de l’orifice est h -f- h,', en sorte que la vitesse de sortie sera
pourvu que la vitesse en AB soit très-petite.
Nous pouvons vérifier la chose directement. Supposons que le piston . se mouvant parallèlement à lui-même, ou avec une vitesse constante pour tous les points de sa surface, descende en BB' en un très-petit temps, et qu’il s’écoule le volume abb’a pendant le même temps. II est évident que si le liquide est incompressible, les deux volumes ABDC et A'B'DC abb’d seront égaux , et qu’en retranchant de chacun leur partie commune A'B'DC, on aura ABB'A'= Ma. De ce que le mouvement du piston s’opère parallèlement , le volume ABB'A' sera exprimé , en nommant A la surface du piston , par le produit de A et du chemin AA’ parcouru par ses divers points. De même , si on admet que vers l’orifice ab, le mouvement s’opère parallèlement à lui-même , le volume abb’a sera un prisme et aura pour valeur le produit de a et du chemin aa', a représentant Taire de la section ab. Ainsi, tant que le mouvement du liquide s’effectuera par tranches parallèles dans la section AB et dans la section ab, et quel que soit d’ailleurs le mouvement opéré dans les sections intermédiaires, on aura
A X AA' = a X aa'.
bailleurs, les chemins AA' et aa', parcourus simultanément dans un temps tres-pelit par le piston et parle fluide sur la section ab, seront proportionnels
aux vitesses v et V qui ont lieu à la section AB et à la section ah: d’où l’on tire
SX. • V = U . T •
-Maintenant on doit faire attention que l’accroissement de la force vive de toute la masse du liquide, comprise entre les sections AB et ah pendant un temps très-petit , doit équivaloir au double du travail produit par le piston et 6 Celiu de Ia P es anteur de toute la masse pendant le même petit temps. : °us allons chercher ces trois valeurs successivement.
L accroissement de la force vive de tout le fluide compris entre les sections - • et aè est facile à obtenir. En effet, quand le piston était en AB, la force 3 mc PARTIE. an
i3 £ troisième partie.
Vive était celle que possède ABB'A' plus celle de A'B'DC. Le mouvement restant permanent, la force vive de cette dernière partie demeure la meme lorsque le piston passe en A'B', et dans cette position la force vive totale est égale à la force vive de A’B'DC plus celle de abb'a'. Donc, l’accroissement de force vive acquis par toute la masse fluide pendant le petit temps qu’on considère , est égal à la différence des forces vives de abb'a' et de ABB'A . Ces deux masses
étant égales, si nous nommons g leurs poids, leurs forces vives seront-! V
et Ainsi , l’accroissement cherché sera
Le travail du piston pendant le même petit temps est égal à A X P X AA'. Quant au travail de la pesanteur de la masse fluide totale , si G est son centre de gravité , quand elle occupe la position ABDC, et * son centre de gravite quand elle occupe la position A'B'DCa£Z>V, le travail produit pendant Imtervalle de ces deux positions équivaut au produit du poids tola par GG , ou à la différence du moment de A'B'DCab&V pris par rapport a AB et du moment de ABDC pris aussi par rapport à ce plan supérieur. Or, le premier moment est égal au moment de la partie commune A'B'DC plus le produit de * tranche abb'a' et de sa distance au plan AB. De même , le moment de ABDC se compose du moment de la partie commune A'B'DC augmenté du produit de la tranche ABB’A', multiplié par sa distance au plan AB Donc enfin , le travail cherché de la pesanteur est égal au produit du poids g de la tranche ABB'A', on abb’a', multiplié par la distance h qui sépare ces deux tranches. Ce travail sera donc g h. On aura ainsi, en appliquant le principe des forces
vives ,
1 (V 2 — V*) = 2A .p X AA' -}-2g . h ,
ou
(- • A XAA' + h ).
Or, on a, en représentant par .la densité du liquide sous le piston , ou le poids de l’unité de volume ; on a, dis-je,
g = *■ X -A X AA ,
P X AX^f
et, par suite, ~ "*
Faisant cette substitution dans l’égalité précédente, on trouvera
Y 2 — rr — lg ^ + A j 5
et si r , vitesse du piston , est assez petite pour être négligée, on retombe sur l’égalité précédente
DES MACHINES ET DES MOTEURS
Si, outre !a pression atmosphérique, l’extérieur de la sectiou ah avait été pressé en sens contraire du mouvement par une pression^/ pour l’unité de
surface, il faudrait diminuer h de — ou p de p. On peut s’en rendre compte
par un raisonnement simple, en observant que la pression extérieure qui agit sur la section ah, contrairement au mouvement, est p' X 0 5 que son travail pendant le petit temps dans lequel ah s’est rendu en a’h' est égal à
p'X s X aa • Mms comme le poids de ahh'a’ est égal à ç, ainsi que celui de ABB'A', et que ce poids est aussi égal àvX ffl X aa \ on trouve ....
a X o,à ' = — . Donc , le travail de cette pression contraire est— X P - II
faudra, dans l’égalité ci-dessus , le diviser par q, ce qui donnera — à retran-
cher de ; de sorte que , dans ce dernier cas , la vitesse de sortie devient
On doit maintenant bien concevoir comment on agirait dans tous les cas semblables, et nos raisonnements resteraient d’ailleurs les mêmes si le piston se mouvait horizontalemènt. h sera alors la charge verticale du fluide depuis le point supérieur jusqu’au centre de l’orifice d’écoulement. Si la vitesse v du piston était appréciable , il faudrait s’y prendre autrement pour avoir la vitesse de sortieV.
Nous avons vu ci-dessus qu’on avait Au = oV; donc
d’où
u = et
Soit
P osé 1 *2 = K,
on aura
*J,ouV =
E est la valeur précédente de V, mais divisée par \/ K ; cette nouvelle
'aleur sera donc plus grande. Lorsque a =—^~ A , 1 — -^-ou K ne diffère
de 1 unité que de , et on prendra V comme ci-dessus. Nous terminerons paragraphe en observant que l’effort du piston peut être remplacé par
TROISIÈME PARTIE, une pression quelconque agissant sur la surface AB du niveau supérieur, et que pendant que ce dernier descend en A'B', le vide ABB A est une masse d’eau affluente égale à celle qui s’écoule, de telle sorte que la charge du fluide h est toujours constante.
104. Écoulement des gaz ou vapeur, dans le cas où ta pression intérieure ne surpasse que de peu la pression extérieure. — Ce qui précédé suppose 1° que le volume du fluide écoulé par l’oriGce égale celui qui passe par la tranche supérieure; 2» que la densité reste la même dans tous les points du réservoir. Cela est très-sensiblement vrai pour les liquides peu compressibles, tels que l’eau, mais non plus pour les gaz. La pression étant plus forte dans le réservoir près du piston que près de l’orifice où elle se réduit a celle de 1 atmosphère, le fluide est aussi plus dense, c’est-à-dire qu’a poids égal il occupe un plus petit volume auprès du piston qu’auprès de l’oriGce. Neanmoins, quand la pression intérieure ou la pression totale supérieure que le fluide éprouve à la fois de la part de l’atmosphère et du piston ne surpasse pas la
pression extérieure de^-ou de 0 k ,10 par centimètre carré, cequiest le cas
de beaucoup d’applications pratiques, on peut négliger la différence des densités , ou la différence qui existe entre les volumes ABB'A' et abl'a ', et admettre que le fluide s’écoule sous la densité qu’il a dans 1 intérieur du réservoir; on aura donc encore pour la vitesse de sortie en désignant par p la pression intérieure par unité de surface, par p' la pression extérieure qui s’oppose au mouvement, par „ la densité du fluide dans le réservoir, et par h la hauteur de sa charge ,
v — \/ 2s ( e S#- ft V
On suppose, d’ailleurs, que la vitesse v de la tranche supérieure ou du piston est fort petite; la dépense est égale encore à oV ; son volume est suppose donné sous la pression p intérieure du réservoir ; et si on nomme h' la hauteur en centimètres d’une colonne de mercure représentant la pression intérieure du réservoir, n le nombre de degrés centigrades de sa température ; la densité *, ou le poids du mètre cube du fluide dont aV est le volume, sera
donnée (Coursde la l re année, § 211) (1) par la relation *■ — j i 0,003voT»»
Lorsque le fluide est de la vapeur, on suppose qu’il n’y a point de condensation. Enfin, le poids du volume du fluide écoulé par seconde sera a\ • Sl le poids du fluide est très-petit , on si h est négligeable par rapport a
(i) Le Coursde la t re année, auquel l’auteur renvoie ses lecteurs dans ce chapitre et dans les chapitres subséquents , a été publié sous le titre de Mécanique Industrielle , expo sont les différentes méthodes pour déterminer et mesurer les forces motrices ; Bruxelles , i $3f>, un volume in-S*.
DES MACHINES ET DES MOTEURS
, on prendra
c’est la règle proposée par Daniel Bernouilli, mais elle est fautive lorsque p surpasse p' de plus de ~ de p’ .
103. Écoulement des gaz quand la pression intérieure est sensiblement plus grande que la pression extérieure. — Pour trouver la formule vraie dans le cas où la pression intérieure dans le réservoir surpasse sensiblement celle qui s’oppose à la sortie du fluide, on négligera à fortiori la charge A toujours très-petite, ou 1 action de la gravité , ainsi que la vitesse v de la tranche supérieure, en sorte que la force vive acquise pendant le très-petit
temps de l’écoulement du volume ABB'A, (fig. 469) se réduira à-^-V 2 • q re -
présente encore le poids de ABB'A', ou est égal à*. ABB'A'. Quant au volume sorti abb'a', il ne peut plus être égal au volume ABB'A'; mais il doit être avec ce dernier, d’après la loi de Mariotte, dans le rapport inverse des pressions extérieure et intérieure p' et p. On aura donc
volume ABB'A' : volume abb'a' ' [p". p;
volume abb’a = ABB'A' X
Ainsi , pendant le petit temps où la force vive X.V 2 s’acquiert, il faut, outre
les quantités de travail produites par chaque pression intérieure et extérieure p et p’, considérer le travail favorable au mouvement du fluide et restitué par la dilatation du volume ABB'A' qui devient abb a'. j^a quantité de travail de la pression p sur la tranche AB est
P X A X AA' = p X volume ABB'A'.
Quant à celle dep sur 1 orifice ab = a , laquelle s’oppose au mouvement elle sera
P X « X aa ' = p' X abb'a'.
La différence de ces quantités de travail étant évidemment nulle à cause de
p X ABB' A' —p X abb'a ,
a force vive-}- - V 2 est donc uniquement due au travail communiqué par la
atation du % olume ABB A du gaz qui passe de la pression p à la pression p'. travail est évidemment proportionnel au volume primitif du gaz; car il , a triple, etc., selon que le volume primitif sera lui-méme
ble ou triple. Si donc je nomme T le travail dû à la dilatation du même rp. 6n ^ Ue S ° n vo - utne primitif soit un mètre cube , le travaille dû à la ation du \ olume primitif ABB'A' qui s’écoulera pendant le petit temps
qu'on considère, sera représenté par ABB'A X T - >Iais P UISl I U0na 2 == *• ABB’A', on tire ABB'A' = et , par suite , T pour la quantité de travail
produite par la dilatation du gaz. D’où nous conclurons , en vertu du principe des forces vives.
Reste enfin à trouver T. Pour plus de simplicité , nous supposerons que le craz dont le volume primitif est l’unité, est renfermé dans un tuyau dont la section aurait pour aire l’unité de surface , de manière qu’a 1 état primitif ou sous la pression p , sa hauteur serait aussi égale à l’unité de longueur. Lorsque la pression est réduite à p, le volume est dilaté ; et comme les volumes ou les hauteurs , parce que ces volumes sont censés avoir toujours la meme base, sont en raison inverse des pressions , la hauteur du volume dilaté est
devenue Donc le chemin total parcouru en vertu de la dilatation est la
différence des deux hauteurs extrêmes , c’est-à-dire —, — 1 ou —
Partageons maintenant cet intervalle en deux parties égales ; il est évident qu’au milieu de l’intervalle dont il s’agit , la longueur du fluide sera
ou pJrP - et qu’en nommant y la pression correspondante,
on aura la proportion
2 pp’ .
%pp’
si maintenant on observe que les trois pressions consécutives sont p , et p', et que le chemin constant parcouru dans l’intervalle qui séparé les instants où elles ont lieu successivement est ? ^ , P - , on voit que 1 estima-
tjon du travail total T est facile au moyen du théorème de Thomas Simpson, et qu’il est égal à
Par conséquent, nous aurons ici, pour la vitesse de sortie,
„ . /2y„ /9ip—P)L , 8 PP ,J rP'\
On remarquera, d’ailleurs, que la densité * qui entre sous le radical est celle qui a lieu sous la pression p dans l’intérieur du réservoir, et que celle
DES MACHINES ET DES MOTEURS. î63
du gaz au moment où il sort est celle qui correspond à la pression extérieure p'.
Cette dernière densité sera visiblement * . p . p ar conséquent, le poids de
gaz écoulé dans une seconde aura pour expression a . V*. , £- , sau f j es corrections dues à la contraction dont il sera parlé plus loin. ^
108. Applications numériques à T écoulement par un orifice très-petit pratiqué dans une paroi mince. — Nous allons offrir trois exemples numériques sur la recherche de la vitesse de sortie par un orifice très-petit pratiqué à paroi mince, soit que le fluide soit un liquide ou qu’il soit un gaz.
P Supposons que de l’eau à sa surface supérieure soit pressée par un piston ou de toute autre manière indépendamment de la pression atmosphérique, avec une pression de 0 k ,20 par centimètre carré de surface ; que la hauteur du niveau supérieur de 1 eau au-dessus du centre de l’orifice soit de 4 ra * il s’agit de trouver la vitesse V à l’orifice; et on aura recours à la formule du n° 103,
Si la pression du piston est de 0 k ,20 par centimètre carré, la pression totale au-dessus du niveau de l’eau p sera égale à la pression atmosphérique augmentée de 0 k ,20. Mais la pression de p' qui s’oppose à la sortie du liquide est aussi une pression atmosphérique. Ainsi, la prsesion résultante sera de 0^,20 par centimètre carré ou de 2000 k pour un mètre carré de surface, ou 10 000 centimètres carrés. On fera doncp — - p' = 2000 k . Quant à la densité*, elle
est de 1000 k , poids du mètre cube d’eau. D’où — ~ — '200^ ’ jy
avons dit que la hauteur h du niveau au-dessus du centre de l’orifice était de 4 m ; d ou h = -4 m , et g — 9 m ,809. Faisant ces substitutions, on trouve
n voit que la vitesse de sortie est due à 6 mètres de hauteur. Pour avoir cette vitesse que les tables donneraient immédiatement, on remplacera, sous
e radical, g par 9 m ,809 ; puis, extrayant la racine carrée du produit, on aura
V = [/ 2 X 9,809 X 6 = 10“,84; telle sera la vitesse de sortie.
2 Supposons que l’air soit chassé par un piston qui le presse avec une
esurée par la pression de — atmosphère. Ici nous ne parlons plus
de la hauteur de la charge du gaz , parce qu’on doit en faire abstraction, omme nous lavons dit. La formule se réduit alors à
Pour trouver la densité =■, nous imaginerons que la température soit de 10 degrés centigrades. Si la pression du piston est de ^y 6 atmosphère , la
pression totale p de l’air dans l'intérieur du réservoir, qui se compose de la
précédente et de la pression atmosphérique supérieure, sera égale à — d atmosphère. La hauteur en centimètres d'une colonne de mercure qui représente la pression atmosphérique, est de 76; donc la colonne qui représente 1 2 76
celle de — d’atmosphère = 76 -{- yy 83 centimètres. Faisant, dans la
relation =■ = — , h' — 83, et«= 10°. on aura , pour le
poids du mètre cube de l’air dans l'intérieur du réservoir,
— - -=-i — — — l k ,3/ environ.
D’ailleurs , p étant — d’atmosphère, et la pression p r contraire au mouvement étant celle d’une atmosphère, p — p' sera de d’atmosphère. Une
pression atmosphérique se mesure par l k . 033 pour un centimètre carré de surface ou par 10 330 k pourun mètre carré. Le onzième de cette quantité
ou — — = 939 k ,10. Nous ferons donc, dans la formule, p — p , '=939*,10,
et * = 1,37. On aura, par conséquent,
m environ.
3°Silapressionintérieure excède la pression extérieure deplusde jÿ et
que ce soit de — d’atmosphère, on verra que la densité «■ est de l t ,50
en supposant toujours la température de 10°. On aura alors recours à ta for-
mule
dans laquelle on fera - = 1,50, p X 10 330 = 12 396 k , p'= 10 330, et g = 9,81 ; ce qui donne
Il est bon de remarquer que l’excès de pression intérieure p sur la pression extérieure p' s’obtient tout d’un coup par un manomètre à siphon efg (fig- 470 ) contenant de l’eau ou du mercure , et ouvert à ses extrémités e et g.
DES MACHINES ET DES MOTEURS. j 63
La différence de hauteur du liquide dans les deux branches de h sur i est la colonne de pression résultante, de laquelle on déduit facilement p — p , par suite, p et p, en observant que la pression d’une colonne d’eau , sur le mètre carré de surface, ayant un mètre de hauteur, est de 1000 kilogr et que celle d’une pareille colonne de mercure est de 13 598 kilogr.
107. Dépense hypothétique par une paroi mince , et dépense effective —La détermination de la vitesse de sortie par l’orifice d’un réservoir conduit à la solution d’une question intéressante ; c’est celle qui a pour objet de trouver le volume ou le poids du fluide écoulé dans un temps donné, dans 1" par exemple ; c’est ce qu’on nomme la dépense. Ce calcul serait facile si on’con naissait la longueur AA' ( fig. 471) parcourue par la tranche supérieure AB pendant le temps qu’on considère, c’est-à-dire le volume ABB' A'. Mais on ne peut pas toujours mesurer cette longueur. Or , nous pouvons trouver ce volume par la vitesse du liquide V à sa sortie à l’orifice ah; car , cette vitesse étant supposée constante ou uniforme, les molécules de fluide qui sont en ab au commencement du temps pendant lequel on veut évaluer la dépense seront en ah' au bout d’une seconde, et à une distance IV = V , si on fait ' comme on le doit, abstraction de la gravité. Donc, le volume de fluide alh’ a' écoulé pendant l’unité de temps, est celui d’un prisme qui a pour mesuré le produit de V multiplié par la surface de la section ah de l’orifice , et si je nomme a l ame de cet orifice, nous aurons D=aXV. Cette dépense ainsi estimée, qu’on nomme dépense hypothétique, est elle d’accord avec celle qu’on obtient par l’expérience et qu’on nomme dépense effective ? on peut prévoir déjà que ces deux dépenses doivent différer entre elles en examinant les hypothèses sur lesquelles reposent nos calculs. Dans ces calculs , on suppose :
1° Que l’orifice ab est très-petit par rapport aux sections AB d’arrivée du ui e dans le vase, sans quoi les vitesses ne seraient pas les mêmes aux divers points de la veine à la sortie de ab , surtout lorsque cet orifice est pratique dans une paroi verticale, et la vitesse d’arrivée v ne serait pas négligeable; 1 &
2° Qu il n’y a dans le vase et au dehors ni obstacles , ni rétrécissement qui g nent 1 écoulement, de façon que le mouvement est continu partout ;
v . .°. Qui1 ny a aucun Sottement de l’eau contre les parois du vase; à la vente, il est toujours très-faible, comme on le verra plus bas, quand la 1 ^ sse dans ,e vase n’est pas très-grande ;
4 ” ’ que le fluide arri ve à la surface du vase par filets parallèles
. ne m ^ rae vitesse v , et que les filets sont également animés d’une ême vitesse parallèle V à l’orifice.
CUe -jj fquera que la dépense effective s’obtient par expérience en re- S lm vase leau qui s écoule dans une ou trois minutes , et en
quantité par le nombre de secondes contenues dans le temps 3 "" partie. n V
