M (V' 2 — V 5 ) =2PH

ou V' 2 — Y 2 = 2 ÿ H, et V = / V' 2 — %H.

Ainsi , la vitesse est diminuée par la gravité pendant l’ascension du corps ; mais comme, pendant sa descente , cette force restitue ensuite les quantités de travail qu’elle avait d’abord absorbées , on voit que la vitesse redevient

la même dans les points situés à même hauteur ; qu’elle est la plus petite ou la plus grande possible au point le plus haut et au point le plus bas, et qu’enfîn à chaque révolution , les variations de cette vitesse sont périodiques.

73. Force centrifuge d’un corps qui décrit une courbe quelconque, supplication à la trajectoire de la bombe. — Quand un corps , en vertu des forces motrices qui le sollicitent, décrit une certaine courbe dans l’espace, c’est comme s’il parcourait successivement les petits arcs osculateurs dont celle-ci est composée , ou ceux qui appartiennent à des cercles dont la courbure se rapproche le pins possible de celle de la courbe en chaque point. Si l’on connaissait les centres c, c', c" (fig. 98) de ces arcs successifs, ainsique leurs rayons respectifs Ac, AV, Al'c", la courbe serait immédiatement donnée par la suite des arcs AA', A' A", À"Â'", décrits de ces centres et terminés de part et d’autre aux extrémités des rayons. Cela posé, il est facile de voir que la considération de la force centrifuge, jointe à celle des forces motrices, suffit pour obtënir 3a position des centres et la grandeur des rayons des arcs osculateurs , et par conséquent pour en déduire le traeé et la forme de la trajectoire que le mobile doit parcourir. En effet , appelons P la résultante AP des forces motrices qui agissent sur le corps au point A , 31 la masse de ce corps, V la vitesse qu’il possède en ce point et qui est dirigée suivant la tangente AT. Puisque le corps est censé parcourir lare de cercle AA' très-petit, non seulement il conservera sur eet arc la même vitesse V , mais encore la force centrifuge F, qui tendrait à l’éloigner du centre C , sera égale à

M X V 3 = 31 X X 2 Ac r

Mais comme le mobile, en décrivant la courbe , n’abandonne pas le petit arc AA', il faut qu’il y soit retenu par une force égale et immédiatement opposée à F , ou que ta force motrice AP étant décomposée en deux autres, l’une A q tangentielie à l’are, et l’autre A p perpendiculaire à la tangente AT, cette dernière composante soit précisément égale à F. On aura donc

d’où r= ixjr

Telle sera la grandeur du rayon Ac de l’arc initial AA'. Son centre sera sur la perpendiculaire à la tangente AT. L’arc AA' étant décrit par un petit temps donné #, ou pour un dixième de seconde, par exemple, on cherchera la quantité de travail produite dans cet intervalle par la force motrice A p supposée constante, de A en A'. Appelant R' cette quantité de travail , et V' la vitesse que le corps possède en A 7 et sur la tangente A'T 7 , on aura , en vertu du principe des forces vives ,

d’où.

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. ÿf

La loi de la force motrice étant donnée, on connaîtra la force motrice P' en

A.', et sa composante perpendiculaire à la tangente A'T' devra être égale à

,, , M X V' ! Égalant enfin ces deux dernières entre-

la force centrifuge T' ou a pp »

elles , on tirera la valeur de r' , c’est-à-dire le rayon AV du deuxième arc A' A". Du point c' comme centre , on décrira À'A" égal au produit de Y' de t ; puis , au moyen de l’équation

et

ou

on aura Y" ou la vitesse en A"; ici K" représente la quantité de travail produite par la force P' supposée constante, depuis A' jusqu’à A". Soit P" la valeur de la force motrice en A', déduite d’après la loi de cette force ; elle donnera la valeur de sa composante perpendiculaire à la tangente A" T".

Mais cette dernière composante est égale à la force centrifuge — — .

Donc on aura r", c’est-à-dire le rayon A" C" du troisième arc A" A'" ....

Nous reproduirons ici pour exemple , la trajectoire de la bombe , en supposant que l’on tienne compte de la résistance de l’air. Il faut , dans cette courbe , distinguer : 1° la partie la plus voisine de l’origine du mouvement, qui se confond sensiblement avec la tagente initiale ; 2° les parties ascendantes et descendantes voisines du sommet; §° le reste de la branche descendante. Soit AB ( fig. 99 ) la direction de la vitesse initiale Y de la bombe, P et il le poids et la masse de cette bombe. Puisque celle-ci se meut d’abord pendant quelque temps sur cette tangente, la résistance de l’air sera la seule force motrice qui d’abord la sollicitera selon cette direction AB. Au moyen des tables qui donnent les résistances correspondantes à une vitesse quelconque et au calibre du projectile , on obtiendra la valeur de cette force motrice en A ; on en calculera le petit degré de vitesse enlevé par cette force au mobile au bout d’un petit temps t , et par conséquent aussi la valeur de la vitesse qu il conserve au bout de ce temps et toujours sur la direction de AB. On cherchera dans la table la résistance qui correspond à cette nouvelle vitesse ; puis on déduira le petit degré de vitesse que cette deuxième résistance enlève au bout d’un deuxième petit temps t égal au premier , ainsi que la vitesse conservée par la bombe au bout de cet instant. Cette nouvelle vitesse conservée donnera lieu à une nouvelle résistance, de sorte que sur la direction AB , on aura toutes les vitesses acquises , et par conséquent les espaces parcourus au bout d’un temps quelconque. Mais remarquons que jusqu’alors on a fait abstraction de la pesanteur. Si le temps

écoulé T pendant le passage du mobile, de A en B', par exemple, devient

assez long pour que l’espace B 'A' qu’il décrirait pendant ce même temps en vertu de la pesanteur devienne sensible , on abaissera du point B une

verticale B'A' égale à cet espace calculé-^-, et le point A sera un point

de la courbe qui n’appartiendra plus à la tangente initiale AB. Maintenant , à partir du point A', on se servira de la considération de la force centrifuge. A cet effet on supposera que la vitesse en A' est la même que celle qui avait été acquise en B' par la bombe sur la direction de AB, parce que cette dernière est beaucoup plus grande que celle qui est imprimée par la pesanteur dans le sens de B A’ au bout du temps T. Soit "S ' cette vitesse en i> ou