BO R
en désignant par R le rayon BO du cercle et en se rappelant que BU' vient dêtre reconnu égal à la vitesse primitive V. D’ailleurs, le côté BC du poly-
ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. ni
gone sera décrit par le corps pendant le petit temps t , et avec la vitesse V , et sa longueur doit être Y X f donc, on aura
YB r = ÿ — , et, par suite,
^ H x V 2 x t MX V 2
* ~ ■ ' iXfi R
Telle est l’expression de la force centrifuge. Son numérateur M X Y 2 étant le produit de la masse du corps et du carré de sa vitesse , c’est-à-dire sa force vive, on voit que la force centrifuge d’un corps de petites dimensions comparativement à sa distance au centre autour duquel il tourne , est égale à la force vive imprimée à ce corps divisée par le rayon du cercle que décrit son centre de gravité. Supposons que le poids du corps soit de 100 kilogr. et qu’il décrive un cercle de l m de rayon avec une vitesse de 4 m comptée sur cette circonférence, on posera R — i m , P = 100 kilogrammes,
M = — == j—, V = 4 m , Y 2 == 16 , et l’on conclura g y, SI
X 18 = 180 kilogr. environ.
Donc, le corps tend à tirer un effort de 160 kilogr. la barre rigide qui le retient dans son mouvement circulaire.
69. Force centrifuge des corpsà grandes dimensions . — Considérons maintenant une tranche fort mince ABCD (fig. 89) , tournant autour d’un poids O situé dans son plan, ou autour d’un axe perpendiculaire à ce plan, avec une vitesse angulaire Y v la vitesse angulaire d’une petite masse m de cette tranche sera r V t (2 e partie , 60) , r étant sa distance au point O. La force vive de cette même masse sera mr 2 .Vf. Quantàsa force centrifuge, elle sera . . , mr~V-
egale a — , ou mr Vf , et de plus elle sera dirigée selon le rayon 0 m
du cercle que cette masse décrit autour du centre commun de rotation. Tirons par ce dernier point deux droites arbitraires et rectangulaires Ox et O y] puis décomposant la formule centrifuge mrVf en deux autres X et Y, dirigées suivant ces deux droites ; ces composantes et leur résultante étant proportionnelles aux côtés , et la diagonale du rectangle 0 qmp , on aura la proportion
0 m : O p ; ; MrV* : X ;
ou
^ mrVf
Om
mOp , à cause de Om — r. On aura
egalement
Om : O q ;; mrVf : Y = Vfm . oq.
Pour une autre petite masse m . sa force centrifuge , et les composantes X
et Y' de cette force selon les droites Ox et 0 y, seraient m r'Vf , V, a . m' .
Op, et Y[ 2 . m'. O q, etc De celte manière toutes les forces centrifuges
sont réduites à deux groupes de forces respectivement situés sur î es droites Ox et 0 y et qui ont chacune pour résultante Y t 2 ( m X Op -}~
m ' X O/ J ) , et V, 2 («XOî + b'XO}' -• ) Remarquons que
m X 0 p -j- ni X Op' -j- .... est la somme des moments de chaque masse par rapport à l’axe O y , et que cette somme est égale au produit de la masse totale M multipliée par la distance O p ou x { du centre de gravité G
à cet axe. Il en est de même à l’égard de m X O m' X, Oq’ ,
somme qui est égale à M X Vi > Ui représentant la distance QO du centre de gravité à l’axe Ox. Ainsi les forces centrifuges se réduisent aux deux forces Y, 2 Mx t et , perpendiculaires entre elles et dont la résultante
unique est égale à
/VMX + Ï. 4 ! * ÿl r = MV t * J/V + y,*
= «V / ÔF -f ÔQ 2 = MY, 2 /OG 2 = MVj 2 X OG.
Donc la force centrifuge d’une tranche très-mince tournant autour d’un point situé dans son plan est égale au carré de la vitesse angulaire multiplié par le produit de sa masse et de la distance de son centre de gravité au point de rotation.
On voit également que cette force est appliquée au centre de gravité de la tranche , car elle agit suivant la direction OG.
Supposons encore un corps quelconque ABC ( fîg. 90 ) , tournant autour de l’axe LM. Décomposons ce corps en tranches très-minces perpendiculaires a cette ligne. Elles donneront lieu à autant de forces centrifuges appliquées aux centres de gravité G , G’, G",.... de chaque tranche , et égales au carré de la vitesse angulaire du corps , multiplié par le produit de chaque masse et de la distance de son centre de gravité à l’axe. Toutes ces forces seront perpendiculaires à LM, sans être généralement parallèles entre elles. Tantôt elles auront une résultante unique; tantôt elles se réduiront à deux forces; tantôt enfin leur résultante sera nulle , et dans ce dernier cas ces forces n exerceraient aucun effort , aucune pression sur l’axe de rotation.
Si tous les centres de gravité G, G' , G",. . . . sont une même droite AB (%• 91) » parallèle à l’axe de rotation , les distances de ces centres à l’axe LM sont les mêmes et égales à R. Les forces centrifuges deviennent parallèles et sont toutes situées dans un même plan passant par AB et par LM ; leur résultante passe par le centre de gravité de la masse entière et est égale
à la somme YfR ( M 4 . M' -f M" + ....). Or , M -f M' -f M"-j
es * précisément cette masse totale : donc pour un corps dont toutes les tranches perpendiculaires à l’axe de rotation ont leur centre de gravité sur une
même parallèle à cet axe, la force centrifuge est la même que si toute la masse du corps était concentrée à son centre de gravité. Cette simplification est particulièrement applicable à la sphère, au cylindre, aux surfaces de révolution dont les axes sont parallèles à celui de rotation. Leur force centrifuge se réduit à celle de leur centre de gravité , en y concentrant leurs masses respectives.
70. Exemple de la force centrifuge. — - La considération de la force centrifuge explique une foule de faits rapportés dans le Cours de Mécanique de M. Dupin. Quand on fait faire le manège à un cheval, l’instructeur, placé au centre C (fîg. 92) du cercle décrit par l’animai, retient ce dernier au moyen d’une longue attachée au bridon , afin de détruire autant que possible l’action de la force centrifuge. Elle est, comme on l’a vu (2 e partie, 68), proportionnelle au poids du cheval et au carré de sa vitesse. L’effort du cheval sur sa longe devient ainsi quatre fois, neuf fois plus grand pour une vitesse double, triple. Cette même force exerce sur le cheval un effort horizontal qui tend à le renverser en dehors du cercle. C’est afin de résister à cette action qu’il incline son corps en dedans. Cette inclinaison est telle que sa direction doit se confondre avec la résultante du poids du cheval et de la force centrifuge et passer au milieu de l’intervalle de ses pieds. Si donc , sur la verticale et l’horizontale du centre de gravité G du cheval, on prend des parties GF et GP proportionnelles à la force centrifuge et au poids du cheval, et que l’on construise le rectangle EGPR , la diagonale GR donnera l’inclinaison cherchée. V et R exprimant la vitesse du cheval et le rayon du cercle, la force eentrifuge
Par conséquent, la pression GR ou
/cF + re^py/ 1
Enfin, pour que le cheval ne paisse glisser en travers du chemin qu’il parcourt, il faut que l’inclinaison AB de ce dernier soit perpendiculaire à la direction GO de la pression totale.
Les écuyers qui se tiennent debout sur un cheval courant au galop penchent leur corps de manière que la résultante de leur poids et de leur force centrifuge passe entre les points où leurs pieds sont appuyés sur le cheval.
Quant une voiture tourne sur une route ( fig. 93 ) , son mouvement circulaire produit une force qui tend à la renverser du dedans au- dehors; et le risque qu’elle ne soit renversée croît avec son poids et avec ±e carré de sa vitesse , tandis qu’il diminue à mesure que le rayon du tournant devient plus considérable. Voilà pourquoi il y a de ■ avantage à faire des raccordements dont les rayons soient très-grands , et 2 mc partie. 7
g4 DEUXIÈME PARTIE.
il convient pour que les vitesses de la voiture ne prennent pas trop d’accélération , que les pentes longitudinales soient très-douces. On déterminera comme précédemment, la pression totale ou la résultante du poids de la voiture et de la force centrifuge déduite de la vitesse moyenne que l’on peut supposer. Quant à la pente à donner du dehors au dedans a 1 inclinaison transversale du tournant , elle doit être perpendiculaire a cette résultante. En France on a coutume de terminer les chaussées de route par une surfasse bombée. Cette forme est éminemment dangereuse dans les raccordements pour une voiture qui en rencontre une autre et qui est obligée de Circuler sur le versant extérieur. La fronde , la hache et. la masse a armes , exercent sur la main quand on les fait mouvoir circulairement un effort de traction égal à la force centrifuge. II s’obtient en divisant la force vive due à la vitesse imprimée, par le rayon du cercle que décrit la fronde, ou par la longueur du manche, soit de la hache, soit de la masse d’armes. Une grande roue de volant se compose de plusieurs jantes partielles réunies par des bras à un moyeu commun (fig. 84). L’effort avec lequel la force centrifuge agit pour tirer les bras hors du moyeu et pour détacher chaque jante partielle se calcule au moyen de la masse de la jante, de son rayon et de la vitesse que possède le volant. Cette même force arrache encore les clous qni fixent les bandes de fer contre les roues de voitures lorsque celles-ci prennent une grande vitesse. Et c’est afin d’éviter un pareil inconvénient, qu’on a le soin de traverser les extrémités de chaque bande et la jante par un boulon qu’un écrou arrête contre la face intérieure de cette dernière.
71. Variations de la force centrifuge à la surface de la terre. Explication de V applatissement de cette dernière. — • On sait que la terre tourne autour de son axe en vingt-quatre heures et que tous les parallèles , c’est-à-dire les cercles perpendiculaires à cet axe , ont des vitesses qui vont en diminuant depuis l’équater jusqu’aux pôles. Imaginons que cet axe soit perpendiculaire au plan du tableau, de façon que ces cercles s’y projettent de grandeur naturelle selon des circonférences concentriques.
Soit un corps A (fig. 9o) de masse quelconque M , placé à la surface de la terre et dans un plan parallèle quelconque dont R est le rayon. Ce corps, emporté dans le mouvement terrestre, éprouvera une force centrifuge mesurée par MR . étant la vitesse angulaire de la terre; ce qui nous
apprend que cette force varie à la surface de cette dernière proportionnellement à la grandeur des rayons des parallèles. Elle est la plus grande possible à l’équateur , et nulle vers les pôles. Enfin , comme elle tend à diminuer l’action de la gravité, celle-ci est par conséquent la plus grande possible aux pôles et diminue dans les parallèles qui se rapprochent de l’équateur, où elle est réduite à son minimum. La terre n’est point tout à fait sphérique, et les observations s’accordent à démontrer qu’elle est ren-
fiée à l’équateur et aplatie vers ses pôles. On conçoit en effet que si elle a été primitivement couverte d’eau , les parties du liquide comprises sous l’équateur et cédant à l’action centrifuge se sont élevées au-dessus de l’axe de rotation, et qu’au contraire les parties du liquide voisines des pôles ont dû abandonner les pôles pour remplacer les premières vers l’équateur. C’est au reste ce que confirme le mouvement de rotation qu’on imprime à un vase contenant de l’eau à une certaine hauteur, et composé de quatre tubes fermés en croix qui se communiquent (fig. 96). Le mouvement ayant lieu autour de deux de ces tubes maintenus horizontalement, on aperçoit l’eau gagner les parties les plus éloignées de l’axe dans les deux tubes verticaux , et s’écarter des tourillons dans les deux autres.
72. Mouvement dhm corps dans un canal circulaire. — Il peut arriver qu’un corps , au lieu d’être retenu autour d’un point fixe par une verge rigide, soit forcé de marcher dans un canal circulaire. Mais il n’en a pas
moins une force centrifuge égale à M X -g-, M et R étant la masse du corps
et le rayon du cercle qu’il décrit, et Y la vitesse de ce corps, parce que dans le mouvement qu’on lui imprime, il est contraint par la résistance du canal, de rester toujours à la même distance du centre G (fig. 97). Si ce canal est horizontal, la vitesse demeure constante, et la pression du corps contre les parois est uniquement égale à la force centrifuge. Mais si le canal occupe une position verticale, la pesanteur exerce alors de I’nfluence; non-seulement elle altère la vitesse du corps, mais encore le poids P du corps se décompose en deux autres forces, l’une tangentielle, et l’autre perpendiculaire au mouvement. Celle-ci a lieu tantôt dans le même sens que la force centrifuge, tantôt en sens contraire, de sorte que la pression totale devient plus grande ou moindre qne la force centrifuge, selon ces deux circonstances. Il est facile de trouver toutes les vitesses du corps quand on connaît l’une d’entre elles, et cela au moyen du principe des forces vives. Si, par exemple, cette dernière est la vitesse Y' qui correspond au point le plus bas , et que l’on veuille avoir la vitesse V qui a lieu dans une position élevée de la hauteur H, au-dessus de ce point, ïï . Y' 2 — M . V 5 sera ici la perte de force vive, et cette perte sera égale au double de la quantité de travail que la pesanteur absorbe, dans l’intervalle dont il s’agit, c’est-à-dire à 2PH. On aura, par conséquent ,
