AV

On décrira l’arc A' A" avec ce rayon et on le prendra égal à Y' X t , t étant le petit temps élémentaire que l’on choisit et qui sera un dixième de seconde. Yeut-on avoir la vitesse en A'? appelons f la résistance de Pair en kilogrammes qui correspond à ia vitesse Y'. Désignons par u la vitesse que conservait la bombe en arrivant en A", si la résistance de l’air demeurait constante pendant que A' A" est parcouru. Piemarquons , d’ailleurs, que la composante tangentieile q du poids est la seule force qui travaille, et qu’elle s’ajoute à la résistance de l’air pour détruire la vitesse. On aura donc, en vertu du principe des forces vives ,

M x Y'- -MX* ! = 2 A' A" (f+q), ou u- = Y« jj— (/4- q).

Si la nouvelle vitesse u est beaucoup plus petite que V', il est évident que la résistance de l’air aura diminué pendant l’intervalle dont il s’agit, et qu’amsi la vitesse u est elle-même trop faible. Cherchant dans les tables la

résistance f qui correspond à u , on supposera que la résistance de Pair a une action égale à cette résistance pendant l’intervalle A' A" , et au moyen de l’équation

on aura alors pour A" une -vitesse u' , qui sera au contraire trop forte.

Donc la vitesse véritable Y" sera comprise entre u et u' , et pourra être

u — '' — ea ~ - .

considérée comme leur moyenne — . Connaissant de cette maniéré

Y", on se servira de cette vitesse pour la faire entrer dans la force centrifuge qui se développe en A" ; on déterminera en ce point la composante du

poids normal à la courbe , et on l’égalera à la force centrifuge - —

ce qui donnera le rayon r".

Quand à la composante iangentielle du poids , elle sera ajoutée à la résistance de l’air qui correspond à Y" , pour établir l’équation des forces vives à l’aide de laquelle on aura , comme précédemment , la vitesse conservée à l’extrémité supérieur du nouvel arc qui a r", pour rayon, etc. En continuant de proche en proche, on arrivera au point L le plus élevé, où la composante tangentielle du poids est nulle , puis ensuite à la branche descendante où cette composante devient favorable au mouvement : il y a donc entre les deux branches cette différence , que dans la branche ascendante , la force motrice qui retarde le mouvement est la somme de la résistance de l’air , et de la composante tangentielle de la pesanteur , et que c’est au contraire leur différence dans la branche descendante qui y produit une accélération. Cette accélération finit même par être si grande , que le mobile tend de plus en plus en une direction verticale.

YIII.

PESDCLE.

74, Définition du pendule. Idée générale de son mouvement. — Un pendule est en général un fil à plomb attaché par une de ses extrémités à un point fixe, et dont l’extrémité inférieure supporte un corps pesant. Lorsque le pendule se trouve dans la position où son centre de gravité G et son point de suspension A (fig. 100 ) sont dans la même verticale , le pendule est à l’état d’équilibre stable (2 e partie, 51) ; mais aussitôt qu’il en est dérangé et abandonné ensuite à lui-même , il prend autour de la position verticale un mouvement oscillatoire que la résistance de l’air affaiblit continuellement. C’est afin de diminuer l’influence de cette résistance , que

l’on donne au corps pesant la forme d’une lentille dont l’arête circulaire est tout entière dans le plan du mouvement du centre de gravité. Nous réduirons d’abord le pendule à l’état d’un point matériel pesant suspendu à l’extrémité d’un fil sans pesanteur; et nous ferons voir , plus loin, comment on ramène à ce cas tous les pendules ordinaires. Ainsi AC (fig. 101)

étant la longueur du fil fixé en A et qui supporte le point matériel, on conçoit

que ce point décrira un cercle de rayon AC autour de A, et que si , après avoir amené ce point pesant en C , en le lâche ensuite, .1 descendra vers 3a position B d’équilibre. Appelant H la hauteur BD du point de départ C au-dessus du point le plus bas B, et U la vitesse acquise en ce dernier point, on aura , d’après le principe des forces vives , U 2 =2 cjH. Mais , en vertu de la vitesse U que le point pesant a acquise , au lieu de s’arrêter en B , il continuera sa marche de l’autre côté et remontera jusqu’au point C' du cercle où cette vitesse TJ aura été éteinte et qui sera à même hauteur que C. Puis le mouvement recommencera en sens contraire à partir de C'. La pesanteur aura restitué en B la vitesse perdue en G' , et cette même vitesse s’éteindra de nouveau en C ; de telle sorte que les mêmes oscillations se continueraient indéfiniment, si, comme nous l’avons dit , la résistance ne diminuait par eile-mème les petits degrés de vitesse éteints ou communiqués à chaque instant.

78. Lois de mouvement du pendule simple. — li est indispensable de connaître la durée des oscillations du pendule ; nous verrons en effet qu’à l’aide de cette détermination , le pendule devient un instrument commode pour mesurer le temps ainsi que la valeur g de la vitesse que dans les divers lieux de la terre la pesanteur imprime au bout de la première seconde. Considérons l’instant où le pendule est arrivé en M après être parti du point C (fig. 102) ; appelons Y la vitesse acquise au point 31 , et y la hauteur P3I dont le mobile est descendu ; on aura toujours V 2 = 2 g . y. Si l’on suppose qu’à partir de l’instant de la position 31 , le pendule décrive l’arc BIS ou s dans un temps très-petit t, on pourra regarder le mouvement comme uniforme , pendant cette courte durée, et cet arc MIT comme ayant été parcouru avec la même vitesse Y. Donc on aura

M5=YX«, et V=^- = -î

et , par suite , t —

Élevee au carré, cette égalité devient t 2 = , ou, à cause de Y 2 = 2 gy,

-gy

Représentons-nous un deuxième pendule d’une longueur différente du premier, mais semblablement écarté et tel que l’angle B'A'C' soit égal à BAC, Soit

d’ailleurs sur ce nouveau pendule une position intermédiaire M' semblable à celle de H, et pour laquelle l’angle M'A'C' est égal à l’angle MAC. Appelons Y' la vitesse du deuxième pendule à l’instant de la position M', et f le petit temps employé à parcourir l’arc M'N ou s' semblable à l’arc MN. Enfin, nous supposerons que les deux pendules ne soient pas dans le même lieu de la terre , ou que la gravité étant g pour l’un , elle soit g' pour l’autre. On aura visiblement

Y ' 2 = %/ . y’ et #' 2

Si maintenant on compare entre eux les temps t et t ' , employés à décrire les petits arcs semblables s et s' , on aura

Or , ces arcs sont proportionnels à leurs rayons AC et A'C' , ou r et r' , et ils donnent la proportion

Tout étant semblable dans l’une et l’autre figure , on a

PM : P'M' I AC : A'C' , ou y: y' ” r: r'.

Divisons ces deux proportions terme à terme , on trouvera

On aura donc enfin

et , par suite ,

ou

Ainsi , lorsque deux pendules ont été dérangés de leur verticale dans une position semblable et qu’ensuite on les abandonne à eux-mêmes, les temps élémentaires employés par chacun d’eux pour décrire des petits arcs semblables sont toujours dans un rapport constant. Or, les arcs CB et C'B' , décrits dans les descentes totales , se composent d’un même nombre de

petits arcs semblables , et les temps respectifs et — , qui expriment les

Ji %

durées de ces descentes 2 ms PARTIE.

se composent en pareil nombre , des petits temps

élémentaires qui correspondent aux petits arcs semblables, et dont le rapport ne cesse pas d’être y/ ^ X y/ £ Donc ce dernier rapport est aussi

commun aux temps ^ et ^ des demi-oscillations complétés , et 1 on aura À

Cette dernière relation apprend que , pour deux pendules semblables ou dont l’étendue des oscillations mesure des angles égaux, les temps de ces oscillations en deux endroits différents de la terre sont entre eux comme les produits des racines carrées du rapport de leurs longueurs et du rapport inverse des valeurs de la gravité à ces deux endroits.

Si les deux pendules sont au même lieu , on a

Donc, dans un même lieu, les durées des oscillations sont entre elles comme les racines carrées de leurs longueurs.

Si les longueurs des deux pendules sont les mêmes et qu’ils soient placés en deux lieux différents , on fera r = /; d’où

c’est-à-dire que , dans deux endroits quelconques de la terre , les durées de l’oscillation de deux pendules égaux et d’une même amplitude sont réciproquement entre elles comme les racines carrées des valeurs de la gravité dans ces deux lieux.

/6. Durée de l'oscillation d’un pendule dont l'écart est fort petit. — A l’aide des conséquences précédentes, il serait possible de déduire, de la longueur d’un pendule qui bat les secondes, celle du pendule qui oscillerait dans un quart de seconde ou dans une minute au même lieu, ou de trouver, avec deux pendules égaux en longueur et d’égale amplitude , la valeur de la gravité d un endroit , quand on connaîtrait celle qui correspond à un autre lieu de la terre. Toutefois cela suppose dans l’une et l’autre circonstance que les deux pendules s’écartent de la même quantité à partir de la verticale , au bout de leur oscillation. Mais on arrive plus directement à ces deux solutions en ne faisant faire à ces deux pendules que de très-petites oscillations, parce que leur durée est indépendante de leur amplitude : c’est ce qu’il est facile de démontrer. Rappeions-nous que M ( fig. 10g ) étant un point quelconque de l’arc parcouru pa: un pendule , nous avons représenté par y la hauteur PM dont il es* escendu à partir de C , par H la hauteur de chute BD au bout d’une deihi-oscillation BC , et par V la vitesse acquise au point M-

Soit MN un petit arc décrit pendant un temps t à partir de l’instant où le

pendule a acquis la vitesse V en M, ou a à la fois Y 2 = %y, * =~

s e t par suite, fi == ^ — . Les deux triangles semblables MQN et

j/2 Jy ’ i9y

MEA donnent la proportion