ON X AM Ë
Remarquons que EM est moyen proportionnel aux deux segments du diamètre du cercle décrit par le pendule ou à EB , et 2AB — EB ou 2r — EB,
et qu’il est égal à ]/ 2r . EB — EB 2 = [/ tr . EB , à cause que EB est négligeable ou l’hypothèse de la petite amplitude de l’oscillation. Donc , on aura
QN X AM QN X r QN 1/ r
MN = — — — — - ■ v — s
j/2rX EB f/2rXEB ]/ % . BE
Sur BD comme diamètre, décrivons la demi-circonférence DwB , et par les points M , N , extrémités de MN ou s , tirez les horizontales Wm et N» , coupant cette demi-circonférence aux points m et n. Joignons le point m au centre 0 de la demi-circonférence; enfin, menons la verticale nq, On remarquera d’abord que »jE , moyen proportionnel entre les deux segments du diamètre BD , est tel que l’on a
î»E 2 ==BE X DE = BE X DM = BE X y- Remplaçant ce dernier produit par cette nouvelle valeur dans celle de i 5 , celle-ci deviendrait
,, QN 3 X r r /QN \ 2
ig . mE 2 -4 g \mEj '
Les deux triangles semblables MOE et mqn donnant
on aura enfin
QN qm mn
»*E mE> mO *
et , par suite ,
Telle est la valeur du petit temps employé à parcourir le petit arc MN , et elle est proportionnelle au petit élément mn de la demi-circonférence DmB,
u DEUXIÈME PARTIE.
à même hauteur que le premier Mit. Si l’on déterminait tous les petits temps employés à décrire les petits ares élémentaires de l’arc BC et quon en prît
la somme, on aurait le temps J d’une demi-oscillation entière, et ce temps
sera lisiblement égal au facteur commun X multiplié parla
somme de tous les éléments tels que mn de la demi-circonference Br-iD , ou par cette demi-circonférence , ou enfin par xfflO (% étant le rapport 3,1416 de la circonférence au diamètre. Donc , on aura
r w îî- . mO
et , par suite , T
pour la durée d’une oscillation complète.
D’après la formule ci-dessus on voit que cette durée est indépendante de l’amplitude de l’oscillation , pourvu que celle-ci n’excède pas une certaine limite. Ainsi , en abandonnant à lui-même un pendule dévié d’une faible quantité hors de la verticale, les oscillations qu’il fera seront de même durée ou isochrones , et si on compte le nombre de celles qui auront eu lieu pendant un temps mesuré avec une bonne montre, pendant 10' ou S0 , par exemple , on obtiendra la durée de chacune d’elles en divisant le temps de l’observation par le nombre des battements.
L’expérience ayant appris que le pendule qui à Paris bat les secondes a une longueur de 0 m ,994 ; veut-on connaître celle du pendule qui indique dans cette même ville une demi-seconde ? on posera la proportion
i" : (|)" :: j/o m ,994 \\Z~x, ou , en élevant au carré ,
d’où
Sachant qu’à Paris la valeur de la gravité g est 9 m , 808795 , on trouvera celle de Metz en y faisant osciller le pendule qui, à Paris, bat les secondes, et en estimant le temps de chaque oscillation ainsi qu’on vient de l’indiquer. Soient T' ce temps évalué en secondes et g' la valeur de la gravité à Metz ; on aura
d’où
Enfin , connaissant la longueur r du pendule qui bat les secondes à
Metz, sur les bords de la Moselle , on trouvera encore la valeur de la gravité à la hauteur de cette rivière , au moyen de la relation ci-
dessus ,
en élevant au carré ,
Supposez qu’on s’élève sur le mont Saint-Quentin avec le même pendule et qu’on y estime par l’observation le temps T' de chaque oscillation , la relation
9 qv2
donnera la valeur de la gravité sur le sommet de cette montagne.
77. Pendule composé. — Les pendules ordinaires dont on se sert dans la pratique consistent , comme nous l’avons dit , en une tige et un corps pesant dont le système oscille autour d’un axe horizontal A ; et comme ce cas est le même que celui d’un corps solide quelconque MNQ (fig. 10-i) qui a un mouvement oscillatoire autour d’un axe horizontal A, nous allons chercher comment la question , pour ce dernier mouvement plus général, est ramenée à celle d’un pendule simple. Appelons P et M le poids et la masse de ce corps , V t la vitesse angulaire acquise par ce corps dans 1 intervalle où son centre de gravité passe de la position initiale G où il était en repos, à la position quelconque G’, D la distance AG de ce pointa l’axe A , et y la hauteur PG' dont il est descendu quand il est arrivé à la position que l’on considère. Soit enfin I le moment d’inertie du corps par rapport à l’axe horizontal A : il est évident (2 e partie , 60) que I X sera la force vive acquise par le corps au bout de l’intervalle GG' et que P Xj'i ou M g X y , mesurera la quantité de travail de la pesanteur pendant ce même intervalle. On aura doua
I X Vf = 2% . y.
Remarquons que , pendant que le centre de gravité G décrit l’arc GG' , il s’en décrit un autre semblable par le point situé à l’unité de distance de A sur AG , et que la hauteur y l dont ce nouveau point descend par rapport à sa position initiale est telle que l’on a
Substituons à y sa valeur dans la relation précédente de la force vive; nous aurons
I X V = m g . D . y, , d’où x
Désignant par Sj le petit arc décrit à l’unité de distance pendant le très-
petit temps t à partir de l’instant où la vitesse angulaire est devenue V fl on reconnaît sans peine que Ton peut raisonner sur les arcs décrits à cette distance comme sur ceux qui sont décrits à une distance quelconque, et que Ton aura
d’où
* = et 1*=^.
Il faut d’ailleurs faire attention que le temps t est aussi celui pendant lequel le corps passe d’une position quelconque à une position très-voisine.
Remplaçant V, 2 par sa valeur trouvée plus haut — — ^ — X ^99 \ ,
on trouve
et , par suite ,
MD
Si , comme dans le numéro précédent, nous considérons ce qui se passe à
l’unité de distance de A, que C (fîg. 103) soit la position initiale de l’arc
décrit CNB dont AM = r x est le rayon ou l’unité , et que MX soit le petit
arc s, , on démontrera encore que, PM n’étant autre chose que y x ,
Si 2 , , . r, I mn
d — sera égal a-r^X '
On aura donc
ou bien , à cause de r x = I ,
Enfin, en prenant la somme de tous les petits temps t employés à parcourir tout lare compris depuis la position initiale jusqu’à la position verticale , on trouvera , pour cette somme ,
Or, cette somme est la moitié de la durée T d’une oscillation entière ; donc, on aura enfin
Telle sera la duree d’une oscillation complète du corps autour de A , pourvu toutefois qu’elle soit très-petite.
78. Comparaison du pendule composé et du pendule simple. Centre d’oscillation. — Soit r la longueur du pendule simple dont la durée des oscillations est la même que celle des oscillations du corps MNQ ; on aura (2 e partie, 76). pour le pendule simple ,
et, par suite ,
d’où l’on tire
lx~D'
Observons que le moment d’inertie I du corps MNQ (fig. 104), en appelant I, le moment d’inertie de ce même corps par rapport à l’axe parallèle à Taxe A et qui passe par le centre de gravité G, est, d’après ce qui a été démontré ( 2 e partie , 64 ) , égal à I X D 2 -{- Par conséquent, on aura
X pi +l. , gD 4 .l
Prenant sur la ligne AG qui joint le centre de gravité G du corps à l’axe A,
une partie AO égale à r ou à D -J- ^ ^ , on obtiendra le point O qu’on
nomme centre d’oscillation du corps par rapport à l’axe A. Si , à son tour , le point 0 devenait le point de suspension , je dis que le point A deviendra au contraire le centre d’oscillation. En effet, r' (fig. 105) étant la distance du nouveau centre d’oscillation par rapport à O, et D' la distance OG du centre de gravité à ce dernier point , on aura alors
D’ailleurs D' ou
OG = AO — AG = r — D = h — :
ce qui donne lieu aux deux valeurs
D' = r — D , et
It
Si on les substitue à D' et à — - dans celle de r', on trouvera
Donc le centre d oscillation se confond avec le point A.
68 deuxième partie. «
CENTRE DE PERCUSSION. CHOC d’uN CORPS QUI TOURNE AUTOUR d’cN AXE.
79. Centre de percussion. — Lorsqu’un corps MNQ (ng. I Oo) reçoit un mouvement de rotation autour de l’axe A , que nous supposons ici perpendiculaire au plan du tableau, chaque petite masse m de ce corps développe des forces d’inertie partielles perpendiculaires aux distances respectives de chacune d’elles à leur axe, et dont l’intensité est mesurée par
m r ^ r étant la distance de cette partie quelconque à l’axe , et c, le
petit degré de vitesse angulaire imprimé au corps pendant le temps élémentaire t. On a vu de plus (2° partie, 63) que la somme des moments de toutes ces forces par rapport à l’axe, était égalé au produit du moment d inertie I
du corps multiplié par le quotient —, ou à I X En admettant que ia résultante F de toutes ces forces (1) est égale au produit de la masse totale M du corps multiplié par la distance D ou AG du centre de gravité à l’axe ,
et par le même quotient et que de plus la direction de cette résultante
(1) Si l’on décompose chaque force d’inertie partielle m . r — en deux , l’une horizon-
tale et l’autre verticale , et qu’on nomme x et y l’abscisse et l’ordonnée de m par rapport à un plan vertical et un plan horizontal passant par l’axe A ; la première composante sera évidemment
et la deuxième ,
mv x y
tv x mr — . t r
mv x x
En appelant æj et y x les coordonnées du centre de gravité , la somme des composantes horizontales sera
7 ( m y + *y + — ) , ou 4 Mÿ, ,
et celles des composantes verticales
i(“-f «V + •...), ou 31 ^
D’où il suit que la résultante générale a pour valeur
7 M[/ 4 + Vi — 7 I X D ;
et qu elle fait avec 1 axe horizontal et l’axe vertical des angles dont les cosinus sont res- V\ x \
pectivement — et —, en sorte qu’elle est perpendiculaire à la distance D du centre de gravité à l’axe.
ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. (jft
naitra que, si O est son point d’application sur AG, F X AO ou H X B X — X AO n’est autre chose que le moment de eette résultante , lequel doit être éo-al à la somme des moments des forces d’inertie partielles ou à
I V \ Donc , on aura
AOXMX»X|=ï X y,
on
