F X AC = I X J

car I est le moment d’inertie du corps Q , et I X y est ( 2 e partie, 63 ) la somme des moments de l’inertie de ses diverses parties : d'où l’on tire

F 1 X » i AC X

Egalant entre elles les valeurs de F que nous obtenons sur l’un et l’autre corps, on trouvera

ou enfin

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 7 j

AC X *» X ® = I X ®i-

Appelons e', ®", v'" , .... les petits degrés de vitesse perdue par le corps P pendant un deuxième, un troisième, un quatrième petit temps constant t, et v ", v"', .... les petits degrés de vitesse imprimée au corps Q pendant la même suite de petits instants égaux à t, on aurait

AC X ™ X »' = ï X AC X m X v " — I X r r ". . . .

Ajoutant toutes ces égalités , on trouve

AC X m ( ® v ' 4" v " “r • • • • ) = I X ( ~r v { -j - v \ "4" • • • • )•

Or . les sommes v -j- v — [— v — j— . ■ ■ • et — j— v ^ — j— v ^ r -4— .... sont celfes des petits degrés de vitesse perdue ou gagnée , respectivement par les deux corps, c’est-à-dire les vitesses totales perdues ou gagnées pendant le temps plus ou moins long écoulé depuis l’instant où les corps se sont trouvés en contact. Appelant u la vitesse perdue par le corps P , et Y, la vitesse angulaire gagnée par le corps Q, on aura enfin

AC X m X u — V,.

Mais il convient de considérer les effets du choc depuis l’instant où les corps se sont mis en contact jusqu’à celui où le corps P a perdu son excès de vitesse sur Q. Car une fois que le corps P aura pris la vitesse angulaire de l’autre autour de l’axe A , les deux corps ne réagiront plus , et tourneront autour de A comme s’ils ne faisaient qu’un même corps. Cette circonstance est évidemment celle où les deux corps sont mous et non élastiques. Or, la vitesse angulaire de Q autour de A étant supposée Y t après le choc, celle du corps P deviendra alors AC X V,. en sorte que la vitesse u que celui-ci

aura perdue sera égale à V — AC X Substituons à u cette valeur dans l’égalité précédente, nous aurons

AC X « ( V - AC X Vj =IXT„

ou y — AC X mY

l — *(AC)»-f 1’

formule qui donne la vitesse angulaire du corps choqué après le choc au moyen de son moment d’inertie et de la vitesse que possédait avant le clioc le corps choquant.

81. Application au pendule balistique. — On a déterminé dans l’artillerie les vitesses initiales des projectiles en ayant recours à l’emploi du pendule balistique, ou d’un bloc de bois suspendu à un axe qui porte sur des couteaux ( fig. 110 ). Ce bloc est garni de frettes perpendiculaires au plan de son mouvement; quant à la face contre laquelle le canon est dirigé , et qui est aussi perpendiculaire au plan du mouvement, elle est garnie de plomb afin qu elle soit tout-à-fait dénuée d’élasticité. De cette manière le boulet

lancé par la piece contre le pendule peut s’y loger, sans que le bluc soit fendu et sans qu’il y ait rejaillissement dans le sens opposé au mouvement du bloc. Soient donc V la vitesse initiale du boulet , m sa masse , Y, la vitesse du pendule balistique après le choc , et I et 31 son moment d’inertie et sa masse. Soit d’ailleurs r la distance du centre d’oscillation 0 du pendule à l’axe de rotation A , il conviendra que le boulet soit dirigé vers ce centre, et perpendiculairement à AO, afin (2 e partie , 79) qu’il n’y ait aucun choc sur l’axe A. De la relation donnée ci-dessus ( 2 e partie , 80 ), on déduit

r . m . V 1 mr' 1 -L I '

On connaîtra donc la vitesse Y quand la vitesse angulaire V, du pendule sera déterminée. — Appelons H la hauteur à laquelle le centre de gravité du pendule a été élevé en vertu de la vitesse Y, -, on aura , en vertu du principe des forces vives et en remarquant que le moment d’inertie du boulet

pet ojir-

ou