AR'= AP — R'P

et comme

R'P' = r'P = AQ',

et , par suite ,

AR X A a — AP' X Aa — AQ' X Aa.

C’est ici le lieu d’observer que la composante AP' de P est dirigée dans le sens du mouvement Aa, tandis que la composante AQ' de Q est dirigée en sens contraire, de sorte que le travail effectif de ces forces ou leur travail total doit être ici la différence des travaux de chacune de ces deux forces. Ce même travail en eût été la somme si les composantes des deux forces P et Q, sur la direction du mouvement Aa, eussent été dirigées l’une sur l'autre dans le sens de ce mouvement. Quoi qu’il en soit , nous voyons que le traxail élémentaire de la résultante de deux forces est égal au travail des deux composantes, et ce dernier travail est la somme ou la différence des travaux que produisent chacune d’elles selon qu’elles agissent dans le même sens ou dans des sens opposés.

14. Moment de la résultante de deux forces. — Le petit espace ka peut être décrit de diverses manières. Si l’on suppose , par exemple, que le point a soit appliqué à une barre de manège AO (%. 83), qui tourne autour dun point 0 pris arbitrairement sur le plan des deux forces , l’espace élémentaire Aa devient un petit arc de cercle qu’il est permis de regarder comme une petite ligne droite perpendiculaire à AO. Les petits chemins estimés kb, kde, A c, sur les directions des forces P, Q, et de leur résultante R, sont donnés par les pieds des perpendiculaires abaissées sur chaque force, de 1 extrémité a du petit chemin décrit; et les quantités élémentaires de»

m deuxième partie.

travail qui sont aussi mesurées par le produit de la force et du petit chemin estimé sur sa direction , sont respectivement pour P, Q, R,

P X AA, Q X Ad, et R X Ac.

On nomme bras de levier des forces P, Q, R, les perpendiculaires, telles que Op, O q, Or, abaissées du centre de rotation O sur leurs directions. En examinant ce qui est relatif à la force P, on reconnaît que les deux triangles KOp et A ah sont semblables , attendu qu’ils sont rectangles en p et en A et que l’angle Okp de l’un est égal à l’angle A ab de l’autre. Ce qui. donne la proportion

AA : Aa :: Op : ao ;

d’où

Ab = OpX Jq-

Ainsi, la quantité de travail de la force P , ou P X Ai , devient P X A a

Op X 77 ,- On trouverait de même pour celle de Q, Q X

ka Aa

O? X t ttî et pour celte de R, R X O'* X — • Mais nous avons fait AO AO

voir (2° partie, 13 ) que la dernière était égale à la somme ou à la différence des deux premières , selon que les forces P, Q agissaient dans le même sens ou en sens contraires. On aura donc

RX0rX 'îïï i =( P XOfX^)±(QX0 s x^)

ou bien , supprimant le facteur commun — — et en désignant par r,p. q, les

bras de levier des forces R, P, Q,

Rr = Pp ± Qq.

On nomme moment d’une force le produit de cette force par son bras de levier. Ainsi, le moment de la résultante de deux forces qui concourent en un même point est égal à la somme ou à la différence des moments des deux composantes, selon que ces dernières agissent sur leur point commun d’application dans le même sens ou dans des sens différents.

lo. Deux points d’application de deux forces peuvent être ramenés à un seul. — Jusqu’ici on a supposé que les deux forces étaient appliquées à un seul et même point, et cependant deux forces P et Q agissent pour l’ordinaire sur un même corps en deux points différents, tels que B et C (fi-. 36). Quelle que soit leur action sur le corps , il est évident qu’elle ne sera pas changée si l’on traverse celui-ci par deux barres rigides AB et AC, situées dans les directions respectives des deux forces données. Ces deux barres iront concourir en un point A, et celui-ci leur étant invariablement lié , ainsi qu’au corps lui-même, il sera permis de regarder les forces P et Q comme appliquées à cepointA. La résultante AR s’obtiendra alors au moyen

de la diagonale du parallélogramme APRQ , où elle rencontrera la surface du corps au point D que l’on considérera ensuite comme le point d’application de la résultante R. Maintenant, si le corps tend à se mouvoir autour d’un point quelconque 0, le point A, qui est le point commun d’application des deux forces PQ et de la résultante R, décrit un petit arc de courbe que l’on considérera comme une droite sur laquelle toutes ces forces pourront être projetées , et l’on sera amené à conclure encore que le travail de la résultante est égal au travail total des composantes. Pareillement on déduirait que le moment de la résultante R par rapport au point 0 équivaut au moment total des deux composantes P et Q par rapport au même point.

16. Extension du théorème des moments. — Les relations précédentes que nous venons d’établir, soit entre les quantités de travail , soit entre les moments des forces et de leur résultante, ont lieu de quelque manière que le point de rotation 0 ait été choisi dans le plan des forces; mais elles sont particulières au mouvement des points de concours de leurs directions considéré comme leur point d’application. Ces relations subsisteront-elles en ayant égard au mouvement des véritables points B, C et D , où les forces P, Q, R sont appliquées sur le corps. Remarquez que chaque moment respectif ne dépend que de l’intensité de la force et de la grandeur de la perpendiculaire abaissée du point O sur sa direction. Le moment de la force P, par exemple, sera le même, soit qu’on la suppose appliquée au point extérieur A , soit qu’on la suppose appliquée au point B , où sa direction rencontre la surface du corps. Par conséquent , le théorème des mouvements est vrai , lors même que les deux composantes P et Q ont des points d application différents.

17. Extension du théorème des quantités de travail. — Si l’on parvient à démontrer que la quantité de travail d’une force est la même , que! que soit le point qu’on choisisse sur sa direction pour point d’application , il est évident que le théorème des quantités de travail évaluées d’après le mouvement du point de concours commun à deux forces et à leur résultante est également applicable lorsque les quantités de travail de ces forces sont mesurées d’après le mouvement de leur point respectif d’application : or , il peut arriver trois cas, selon que le corps a un mouvement de rotation , ou un mouvement de translation, ou un mouvement quelconque.

premier cas. — Le corps et par conséquent la direction AP d’une force quelconque étant supposé avoir un mouvement de rotation autour d’an point 0 (fig. 37) , deux points quelconques A et B de cette droite décrivent

autour de ce point des angles égaux et tels que les petits arcs ha, B b sont

A a Bù

proportionnels à leurs rayons respectifs AO et BO. On aura donc .

Or la quantité de travail de P , estimée par le mouvement de son point

d’application supposé en À, a pour mesure P X ^ X Op. Estimée d’après

2 !n ® PARTIE.

le mouvement d’an antre point B d’application, elle a pour mesure PX 5^- X Op; et ces deux quantités de travail sont égales , puisque leurs

expressions se composent des mêmes facteurs P , Op et des facteurs égaux Aa Bù