AO’ BO

deuxième cis. — Si le corps n’a qu’un mouvement de translation , les deux

points d’application quelconques A et B (fig. §53) , pris, sur la direction de la force P , décrivent des chemins ka et B b qui sont égaux et parallèles. Par conséquent leurs projections ka - Bù , sur la direction de P, sont égalés, ainsi que les deux quantités de travail P X Aa' et P X B&'.

tboisième CAS. — Le mouvement étant quelconque, supposons que la droite AP d’une force quelconque ait pris , en vertu de ce mouvement, la position A t Bj, et que deux points quelconques A et B de la direction de la force se soient transportés en a et b , sur la droite A,B, (fig. 39). Ce mouvement peut être regardé comme décomposé : 1° en un mouvement de rotation autour d’un point quelconque 0, centre d’un cercle tangent aux deux positions infiniment voisines de la droite; 2° en un mouvement de translation qui s’opère sur la deuxième position. Ainsi , Aa et Bù étant les véritables chemins des deux points d’application quelconques A et B , ces chemins seront encore les véritables espaces décrits si ces deux points parcourent d’abord les petits arcs concentriques AA , et BB, autour de 0, et si les mêmes points A et B se transportent ensuite en a et b par un mouvement commun de translation. Projetons ces divers mouvements sur la direction AP de la force. P X Aa' sera sa quantité de travail d’après le mouvement Aa du point d’application A, et P X B&' celui de la même force estimé d’après le mouvement du point B. Or, on a

Aa' = A/a' — A/A, et W — B/ù' — B/B.

En multipliant la force P par A/a' ou par B t 'b', les travaux élémentaires seraient ceux qui auraient lieu s’il n’y avait eu qu’un simple mouvement de translation dans le sens de AB, et nous avons démontré par le deuxième cas qu’ils seraient égaux. Donc , on a

De même , les produits P X A/ A et P X B/B sont égaux , attendu qu’ils mesurent les quantités de travail dues au mouvement de A et B dans l’hypothèse où la droite AB aurait un simple mouvement de rotation autour de 0. D’où l’on tire

et , par suite. A/a' — A'A — B/ — B/B ,

on A a' = Bù', ou enfin P X Aa' = P X B b’.

Ainsi , la relation qui a lieu entre la quantité de travail de la résultante et le travail total des composantes subsiste dans tous les cas , quels que soient

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. jg

les points d’application de ces forces et la nature de leurs mouvements.

18. Cas où le moment de la résultante est nul. — Nous avons fait voir (2 e partie, 14) que, r, jo, q étant les bras de levier de la résultante R et de ses deux composantes P , Q , on avait Rr = Pp ± Qq (fig. §5). On remarquera d’abord que le moment de la résultante R/- ne peut être nul sans que les moments des composantes P p et ne soient égaux et de signes contraires. Or, le produit Rr devient 0, ouR=0, ou pourr = 0. Dans le premier cas la résultante est nulle, et il est évident que l’équilibre du corps subsiste de lui-même. Dans le deuxième cas, la perpendiculaire r , abaissée du centre de rotation sur la direction de la résultante, étant réduite à zéro, cela indique que la direction de cette dernière passe par le point de rotation ou par le point fixe. D’un autre côté , l’égalité des moments des composantes revenant à l’égalité des quantités de travail de ces forces, et ces quantités s’entre-détruisant puisqu’elles sont de signe contraire, on voit que le corps est en équilibre , autour d’un point fixe , sous l’action de deux forces, lorsque leur résultante passe par ce point.

forces parallèles.

19. Analogie entre deux forces concourantes et deux forces 'parallèles. — Les principes qui ont été exposés sur la combinaison de deux forces concourantes P et Q agissant contre un corps de forme quelconque nous ont appris, 1° que leur résultante R concourt au point 0 (fig. 40) d’intersection des deux composantes ; 2° que le moment de la résultante pris par rapport à un point K quelconque, situé dans le plan des forces, est égal au moment total des composantes, c’est-à-dire à la somme ou à la différence de leurs moments, selon qu’elles tendent à faire tourner le corps autour d’un point R. dans le même sens ou dans des sens différents. Les propriétés indépendantes du point de l’éloignement du point commun d’application 0 ne cessent point d’avoir lieu lorsque ce point de convergence est placé à une trèsgrande distance, ou lorsque les forces deviennent sensiblement parallèles. On peut meme regarder ces forces comme telles dès que leur point de concours est suffisamment éloigné. On sait, par exemple, que l’action de la gravité converge vers le centre de la terre et que trois corps pesants liés entre eux par des barres rigides sont soumis à des forces analogues à des forces précédentes P, Q , R; toutefois on regarde ces forces de pesanteur comme parallèles, et alors nos théorèmes leur deviennent applicables. Ainsi, la résultante de deux forces parallèles est située dans leur plan et leur est parallèle; son moment par rapport à un point quelconque de leur plan est égal au moment total des deux composantes.

16 deuxième partie.

20. Résultante de deux forces parallèles, croissant par rapport à un point.

Passant ainsi à la limite de deux forces concourantes, considérons deux forces parallèles P et Q appliquées aux point A et B d’un corps (fig. 41). Soit pris sur leur plan un point arbitraire K, et une perpendiculaire à K abaissée de ce point sur ces forces. Enfin R est supposée être leur résistance. On aura

RXKc = PXK«e + QX^

parce que les deux forces P et Q tendent à faire toürner le corps du même côté autour du point K. Ce résultat étant indépendant de la position de K, imaginons qu'il soit placé en a. On a

K« = 0, K = ac et K b = ab,

l’expression précédente devient R X ac= Q X °b- S* I e point K est transporté en b, on a Kc = bc, Eu = ab et K b = 0. Cette substitution étant faite dans l'égalité générale des moments, on a R X bc — P X a b- Ajoutant à cette dernière l’égalité particulière R X ac = Q X «fi> on trouve R yac -fbc)— P+ Q) «6, ou R = P+Q à cause de ac-\- cb= ab. Donc la résultante de deux forces parallèles agissant dans le même sens est égale à leur somme. Supposons que le point K soit placé au point c ; les forces P et Q tendront à faire tourner le corps en sens contraire autour. Les moments de P et Q seront alors de signes différents, et leur égalité générale deviendra

RX Kc = P X Es — QX Efi* D’ailleurs, dans la position du point K en c, on a Kc = 0, ou R X Ec — 0, Ea = ac et K b = bc. Faisant ces substitutions dans l’égalité générale , on trouve P X «c = Q X fie," ce qui nous apprend que la résultante partage l’intervalle des points d’application des composantes en parties réciproquement proportionnelles à ces forces lorsque ces points sont situés sur une droite perpendiculaire à leur direction. Si les deux forces P et Q, au lieu d’être dirigées dans le même sens, sont dirigées dans des sens opposés, le moment de la résultante devient ici égal à la différence des moments des composantes, et en passant par une série d’opérations analogues aux précédentes, on trouve que la résultante R est égale à I* — Q, c’est-à-dire à la différence des composantes, et qu’elle agit dans le sens de la plus grande.

21. Extension des propriétés des forces parallèles, leurs points d'application étant quelconques. — Ces théorèmes ne sont encore démontrés que lorsque les points d’application des forces P, Q, R appartiennent à une même droite Kb, perpendiculaire à leur direction ; mais les deux composantes P et Q appliquées à un corps ont le plus généralement leurs points d’application sur une droite rigide AB, oblique par rapport à la direction de ces forces. Soit pris un point quelconque K’ (fig. 42) sur cette droite, et abaissons une perpendiculaire K'B" à ces forces. Les points A", B", C" des composantes et de la résultante R satisferont aux relations précédentes , et comme les par-

ries K/C", K'A" et K'B" sont proportionnelles aux parties obliques K'C, K' A et K'B, on aura encore

Quant au point d’application de la résultante sur le corps, après l’avoir déterminé en C sur la droite AB, on pourra supposer que la résultante est appliquée en c, à l’extérieur du corps. On remarquera que, dans l’égalité

R X K'C = p X K'A -f- Q X S/B* i! ne s’ag» 1 plus seulement des perpendiculaires abaissées d’un même point sur les composantes parallèles et sur leur résultante ; elles sont ici remplacées par les simples distances de leurs points respectifs d’application à un point quelconque K', situé comme eux sur une même ligne quelconque.

22. Moment de deux forces parallèles par rapport à une droite. — Lorsque deux forces sont parallèles, on ne prend pas seulement leurs moments par rapport à un point et on emploie souvent leurs moments par rapport à une droite. De tels moments sont le produit de chaque force et de la perpendiculaire abaissée de son point d’application sur la droite ou axe des moments. Ainsi, A, B (fig. -4S) étant les points d’application des forces PQ et de leur résultante R, LK' l’axe des moments qui rencontre en K' la droite AB de leurs points d’application, on a

ou

Soient AA', BB' et CC' les perpendiculaires abaissées de ces points sur LK', on voit que ces perpendiculaires sont proportionnelles à K'A, K'B, K'C, et que l’on a