CALCUL DES BOUES ET DE LEUBS RÉSISTANCES

1 26. Roue plane , sollicitée par deux forces situées dans son plan , et à égales distances du centre de rotation. — Une roulette plane (fig. 202) tournant autour de son tourillon, peut être tirée en sens contraire par deux forces F et Q, situées dans son plan et tangentes à sa circonférence, et elle donne lieu à des conditions d équilibre qu’il importe de connaître pour la pratique. Les circonstances seront d'ailleurs les mêmes lorsque ces forces ne seraient pas tangentes à cette circonférence : il suffit que leurs directions soient l’une et l’autre à des distances égales du centre : car on peut toujours se représenter le cercle tangent à ces deux droites, et raisonner sur ce nouveau cercle comme sur la roulette. Cela posé , ces deux forces appartenant à un même plan perpendiculaire à l’axe du mouvement, il faudra, pour l’équilibre, que la force F ou la puissance détruise à chaque instant l’effet de la résistance Q ou que les quantités de travail élémentaires qu’elles développent soient égales. Or , les points d’application A et B de ces forces appartenant à un même cercle, les chemins qu’ils décrivent simultanément seront égaux ; et puisque les produits de ces chemins par les forces F et Q doivent être aussi égaux, il en sera de même de ces forces. Donc on aura F = Q.

Il y aura effectivement équilibre dans le cas de l’égalité des deux forces, si l’on faisait abstraction du frottement produit par le tourillon de la roulette sur sa crapaudine. Ce frottement existant , la puissance F n’aura pas seulement à vaincre le travail de la résistance Q ; elle aura encore à surmonter le travail occasionné par l’autre résistance. D’après cela , on voit que la roulette est soumise à trois forces , qui sont la puissance , la résistance et le frottement , et qu elle doit-être en équilibre sur sa crapaudine; ce qui ne peut avoir lieu (2 e partie , 99) qu’autant que la résultante de ces trois forces passe par le tourillon et à son point de contact avec la crapaudine. Or, déjà la force du frottement s’y trouve naturellement appliquée ; il devra donc en être de même à 1 égard de la résultante des deux forces F et Q. Cette dernière , que nous nommerons N , n’est autre chose que la pression sur 1 appui, et elle y produit le frottement^ 1 . N dont le bras de levier r est le rayon du tourillon. En appelant R le rayon delà roulette, F. R, Q. R et/ 1 . N. r seront évidemment les moments de la puissance , de la résistance et du frottement , dont le premier , favorable au mouvement , est égal à la somme des deux autres qui lui sont contraires. On aura , par conséquent ,

Ayant le moment F . R , on divisera par R , et on en conclura l’effort F de la puissance ; mais cela suppose que l’on connaisse la pression N , laquelle

est la résultante de la résistance donnée Q et de la force F qu’on ne connaît pas encore. Il peut arriver deux cas : ou que le rayon du tourillon r soit très-petit par rapport à R , ou qu’il lui soit comparable. Dans le premier cas , on remarquera que , dans la relation F.R = Q.R-i- r -/.A T , l’erreur serait fort petite en ne déterminant qu’approximativement la valeur de N, et , par suite , de/ N. Car , en la multipliant par r , l’erreur à laquelle le produit r . f X donnera lieu sera très-minime , comparativement à F . R. et à Q , R, vu la petite dimension du rayon du tourillon r.

Reste maintenant à expliquer comment on aura cette valeur approchée. Si l’on fait d’abord abstraction du frottement, on a F = Q. Prolongeons ces deux forces jusqu’à ce qu’elles se rencontrent en M , et faisons attention que la résultante X de deux forces égales est la diagonale Mc du losange II acb dont les côtés Ma et M b sont égaux à Q. Cette diagonale devra d ailleurs passer par le centre C du cercle. Joignez les rayons AC, BC et la corde AB; observez que les diagonales Mc et ab du losange sont perpendiculaires entre

elles , que Md est la moitié de la diagonale ou — Tï. Les triangles ACD et aMd sont d’ailleurs semblables : car ils ont chacun un angle droit, 1 un en D et l’autre en d. Enfin, l’angle CAD ayant ses côtés perpendiculaires à ceux de l’angle aMd, ces deux angles sont égaux. On aura donc la proportion

ou

Md : Ma .* ; AD Ma X AD

Md =

AC