F. QR' r I

128. Equilibre de la 'poulie fixe. — Nous pouvons maintenant déterminer les condilions d’équilibre entre une puissance et une résistance, lorsqu’elles sont appliquées à une poulie fixe dont la surface extérieure est creusée en gorge et reçoit une corde aux extrémités de laquelle ces deux forces sont censees tirer. La résistance sera, par exemple, un poids Q (fig. 204) qu’il s agit de soulever. Lorsque la poulie est fixe , ses deux tourillons font corps avec elle et tournent pendant le mouvement, chacun sur un œil pratiqué dans une chape immobile. On a soin de renfler la poulie vers ses épaulements , afin que , dans le cas où elle serait poussée parallèlement à son axe , la surface frottante de ces épaulements soit diminuée le plus possible. La puissance F n aura pas seulement à vaincre la résistance Q ; elle aura encore à surmonter celles de la roideur de la corde, et du frottement sur le tourillon. Remarquez d’ailleurs que cette roideur ne résiste que du côté B où la corde s’enroule sur la poulie, et nullement du côté où elle se déroule ; il y a plus, c est que si la corde était élastique , elle favoriserait la puissance vers ce dernier côté. Ainsi, la résistance de la corde est en B. Quand les cordes ont de très-gros diamètres, on peut regarder que la puissance et la résistance agissent sur leur ligne milieu ; ainsi, les deux forces ont leurs

directions tangentes à une circonférence dont le rayon est égal à celai de la poulie augmenté de celui de la corde. ^

Xous raisonnerons donc comme au n° 126 , afin de parvenir à l’équilibre des forces F et Q. On aura d’abord F = Q , en faisant abstraction de toute résistance. Appelons N, la résultante des deux forces égales à Q et appliquées au centre C de la poulie parallèlement à la direction des deux forces données ; N, sera d’abord considéré comme une première valeur de la pression sur l’axe du mouvement; sera le frottement, et /AV son moment. Quant à la résistance de la roideur de la corde qu’il faut ajouter à la résistance Q, son expression (2 e partie, 125) est égale à , Ket I étant

les coefficients relatifs l’un à la tension naturelle, et l’autre à la tension du poids Q , et R étant le rayon de la poulie augmenté comme il a été dit. On aura, par conséquent , en vertu du principe des moments,

Divisant par R , on trouvera

IQ

. / . N 1 = Fj.

Mais cette valeur F t est trop faible pour la puissance, parce que dans l’estimation de la pression nous avions suppose cette puissance simplement égale à Q. Toutefois F, étant déjà plus grand que Q , il est évident que si nous prenons pour pression la résultante N 2 de deux forces égales à F, et appliquées en C , la nouvelle valeur

K + IQ r 2R

sera à son tour trop forte. On voit donc clairement que comme d’ailleurs la véritable puissance ne diffère que de très-peu des quantités obtenues F, et F, , elle sera suffisamment exprimée par la moyenne

K-f IQ

Ü+JL

11 arrive fréquemment dans la pratique que les deux forces , puissance et résistance . tirent les deux branches de la corde (fig. 205) selon des directions parallèles et verticales. Telle est , par exemple , la circonstance de l’homme qui tire de l’eau d’un puits. Aon-seulement il tire verticalement sur une poulie , mais il en est de même à l’égard du sceau qui apporte l’eau. Dans ce cas il y a une simplification notable , en ce que la pression N exercee sur les tourillons de la poulie , et qui est la résultante des forces parallèles F et Q , devient ici égale à leur somme F -f- Q. Si d’ailleurs la poulie est très-pesante , ou que, les deux forces étant peu considérables , le poids»

de cette poulie lenr devienne comparable , ce sera nne troisième force qu’il faudra comprendre dans les deux autres pour l'évaluation de la pression sur le tourillon. On aura donc

W = F -f Q -f- m , ou îî = F -L. Q — m ,

selon que les cordons seront tirés l’an et l’autre de haut en bas ou de bas en haut. Il en serait de même du cas plus général où les deux forces F et Q ne seraient plus parallèles , et où l’on aurait à tenir compte du poids de la poulie ; la pression N, à laquelle le frottement sur le tourillon est toujours proportionnel , serait encore la résultante des trois forces F , Q et m que l’on combinerait deux à deux à l’aide du principe du parallélogramme.

Pour mieux faire apprécier l’influence du frottement , et de la roideur des cordes dans la poulie, nous appliquerons un exemple au cas particulier d’une poulie à deux cordons parallèles. On aura alors

el F = Q + K4ÿQ + / . (F+Q+( , j) r

Supposons Q = 1000 Lilogr. , R ou le rayon de la circonférence à laquelle les deux forces sont tangentes = 0,20, r ou le rayon du tourillon = 0 m ,02, /le coefficient du frottement = -i pour du fer sur du cuivre sans graissage, et enfin imaginons que la corde soit une corde blanche secbe dont le diamètre soit de 2 centimètres. Des trois termes de la valeur de F , le premier Q est la résistance 1000 kilog. qui serait aussi celle de la

puissance F, abstraction faite des autres résistances. Le deuxième ^ I?

est relatif à la roideur de la corde ; les valeurs de K et de I , d’après le tableau n° 1 du paragraphe 123 , sont pour la corde de 2 centimètres , 0 k ,-l2o et Ok, 00974. On a d’ailleurs R=0“20. Donc, on aura, pour expression numérique de la roideur de la corde ,

0,2223 -f- 0^009 74 x iQQQk 9k, 9623 99k, 623

= 24k, 906 —s 2gk environ.

Quant à la résistance du frottement /(F + « + Q) J, nous prendrons

pour F la valeur approchée 1000k , qu’elle aurait sans le frottement , et pour m 20 qu on suppose être le poids de la poulie; et nous aurons

2 me

/(F-f w -fQ)-^ = |(1000-f 20-f-1000J

= g X 2020 X -Jq = ~ 25 k , 25 .