r s f(t t -MJ

ce qui donnera t. au moven de t, ou de t . , La poulie n° B donne lieu à cette autre relation

Enfin , de la poulie n° -4 , en remarquant que t. n’est autre chose que la puissance cherchée E , on obtient

R. = + K ta ' R . + r ‘ n ‘‘ + F) ;

de sorte qu’en dernière analyse on arrive à la puissance F au moyen de t 1 qu’on ne connaît pas. Mais faisons attention que tous les cordons sont parallèles, et que les tensions , t s et , qui supportent le poids R ,

peuvent être regardées comme des composantes de cette résistance , et cette dernière comme égale à leur somme. On aura donc

Cette méthode ne laisse pas que d’être assez pénible ; mais on peut la simplifier par une considération suffisamment exacte. En effet , si les tensions * t , t s et t i servent à soutenir le poids R, y compris celui des chapes et des poulies, il est évident que sans le frottement et la roideur des cordes, elles seraient égales entre elles. On prendra donc t 1 comme étant

égal à j, et l’on cheminera de poulie en poulie pour en déduire des valeurs correspondantes pour lesquelles seront plus grandes que t 1 ou

que ^ , en sorte que leur somme surpassera R. Mais , comme cela ne saurait être , on en conclut que ces tensions sont trop fortes.

Maintenant, si l’on suppose que les véritables tensions soient proportionnelles à celles qui viennent d’être obtenues et dont la somme est R' > R , on aura de nouvelles valeurs approchées des premières en partageant leur véritable somme qui est R en parties proportionnelles aux deuxièmes ; ce a

quoi l’on parviendra en multipliant celles-ci par — ; la valeur ue t, , qui en

résultera , sera jX|ou^î puis on recommencera les calculs que l’on

poursuivra jusqu’à t 4 ; enfin, à l’aide de cette dernière considérée comme résistance sur la poulie n° 4, on tirera une valeur plus approchée de a puissance F.

Pour mieux faire comprendre l’esprit de cette méthode , nous app iq rons à un exemple particulier. Les rayons des poulies n° 1 , 2 , § et 4, c à-dire R, , R 2 , R s et R 4 , sont de 0»,08, 0»,» , 0“,16 et 0%20. Les rayons f i 5 r sî de * eurs boulons , sont tous de 0 m ,02. La corde , qui p

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 14 g

dans les gorges des poulies , est une corde blanche sèche et à 0",02 de diamètre , de sorte que les coefficients K et I relatifs à sa roideur sont encore, comme au n° 128, 0 k ,2225 et 0 k , 00974. Enfin , nous supposerons que le coefficient est | ou celui du frottement de fer sur cuivre sans graissage , et que le poids à soulever , 7 compris celui des poulies , est 1200 kilogr. , ou

JOQQk

que R = 1200 kilogr. Sans le frottement on aurait t t = — X — (parce que

le nombre des cordons qui supportent ensemble le fardeau est de 4 ) , ou = 300 k . Faisant cette hypothèse dans la relation de la poulie n° I ,

t IL -J"* Il . r ,/ . .

— 1 TTf/'^ ‘ ’ et imaginant que la valeur de

qui entre dans le terme du frottement est égale d’abord à 800 k comme t, , on aura = 339^. Passant à la deuxième poulie et considérant la résistance t 3 comme égale à 839 k , ou trouvera t, = 868 k . Passant encore à la troisième poulie, on tirera de la valeur de t z — 568 celle de = 39 l k . La somme t,-}-/. -{- t 3 t f , ou I398 k , est évidemment plus forte que le poids total 1200 k . Pour avoir des valeurs plus approchées , on

multipliera chaque tension précédente par le rapport . ou par 0 , 86 ;

ce qui donnera

pour ,

ou 258 k

Afin d avoir la valeur de F ou de la puissance , on posera l’équation

et on substituera à la valeur 336 kilogr. 5 ce qui donnera v o. Pk j 0,2225 -f 0,00974 . 336 . 0,02 1

r 836 + — TT03 — + <ÿr • 5 < m + **«>

= 336 k 9 k 8 k environ = 353 k .

Or , san» les frottements et la roideur des cordes la puissance n’eût été que de 300 kilogr. ■ ces dernières résistances l’augmentent donc de 53

kiiogr. ou de — environ ; et , comme la quantité de travail de la puissance

est proportionnelle à son intensité , on voit que le moteur doit dépenser pour vaincre la roideur et le frottement un sixième de travail en sus de ce quil lui faudrait si ces résistances n’existaient pas.

Lquilibre des roues en général. — Les conditions d'équilibre n’offrent pas

DEUXIÈME PARTIE, plus de difficultés à l'égard des roues quelconques montées sur un même arbre qui repose lui-même sur deux tourillons ; ce qu’il importe c’est que les forces soient appliquées dans le plan de ces roues ou dans des plans perpendiculaires à Taxe ; autrement les composantes de ces forces , parallèles à Taxe, pousseraient celui-ci contre les épaulements des coussinets et y produiraient un frottement (2 e partie, 120) dont le bras de levier peut être considérable.

Toutefois il y a des cas où la décomposition est nécessaire ; cette circonstance arrive pour les roues d’angles. On cherchera alors l’effort qui pousse dans la longueur de l'arbre , ainsi que le travail des frottements qui s’exercent aux épaulements, et ce travail sera compris parmi ceux que doit vaincre le travail de la puissance. Si la résistance utile est un poids Q (fig. 208) suspendu à une corde qui s’enroule autour de l’arbre, la puissance F appliquée tangen bellement à la roue tirera de bas en haut et de haut en bas , selon que son point d’application sera , par rapport au treuil , du même côté ou d’un côté différent que le point d’application de la résistance. Quelquefois la puissance agit au bout d’un levier , comme dans ces mécanismes appelés hoquets, à l’aide desquels on charge les tonneaux de vin sur ies voitures. Tantôt encore la puissance agit sur des roues à chevilles, sur des roues à marcher, sur des cabestans, sur des roues dentées , sur des roues à cordes sans fin , etc. ; le tour prend toutes sortes de dispositions différentes, mais qui rentrent les unes dans ies autres, quant aux conditions de l’équilibre.

Quoiqu’il en soit, la force F étant appliquée tangentiellement à un cercle de rayon R (fig. 208), son plan perpendiculaire à l’axe du tour coupera 3’arbre suivant un autre cercle égal à celui qui correspond à la section du plan qui contient la résistance Q. Si E est le point d’application de cette résistance , nous pouvons imaginer par ce point et par l’axe un nouveau plan qui rencontre le petit cercle contenu dans le plan de la force F, en un point E' situé de l’autre côté du treuil et symétrique par rapport au point E. Appliquons au point E’ deux forces Q' et Q , , égales et parallèles à Q , et qui soient directement opposées. Ces deux forces qui s’entre-détruisent ne fatigueront pas la roue , et ne sauront en rien altérer le mouvement. De plus, la force Q t et la force Q se composeront en une seule S, égale au double de l’une d’elles ou à 2Q et qui passera par l’axe, en sorte qu’elle ne pourra faire aucun travail. L’équilibre est donc réduit à celui des deux forces F et Q', égale à Q, qui sont ainsi ramenées dans un seul plan perpendiculaire à l’axe du tour. En suivant la marche du numéro 127 , on verra que , sans la considération du frottement , les travaux de ces forces doivent être égaux , ou qu’en appelant s, le petit arc décrit par le tour à l’unité de distance, et R , R' les distances des forces F et Q' ou Q à l’axe , on a FRs, = QR's t , ou FR = QR'.

L 'équilibre exigeant que la résultante des forces F et Q' ou Q passe par l’axe ou que l’on reproduise ces forces en C (fig. 209) , on aura alors les forces F , Q et S , toutes trois appliquées à l’axe , et qui pourront être , chacune, décomposées en deux forces parallèles appliquées aux centres des tourillons A et B. De cette manière on aura deux groupes de forces dont les unes concourent au premier tourillon et les autres au second. Appelons N, la résultante des unes et ïï. la résultante des autres,/. N, sera le frottement exercé sur le tourillon A, et/. N, le frottement exercé sur le tourillon B. Leurs quantités de travail seront d’ailleurs rs,/. N, et rs, /X et devront être vaincues par le travail de la puissance F , en outre du travail de la résistance Q. Donc , on a

FRsj = QR's, -{- rs, /X, -f- rs, / . N 2 , ou , en divisant par s,,

FR = QR'-f r/N,-f t/J 2 .

Ces calculs de la décomposition des forces F , Q' et S ou 2Q , en couples de composantes parallèles appliquées aux tourillons A et B , prouvent que lorsque ceux-ci ont des rayons égaux r , le résultat est le même que celui qui est relatif à un seul tourillon pressé par la résultante de toutes les forces extérieures données , et transportées en un même point ; on comprendra d’ailleurs parmi ces forces le poids de tout le système du tour , et , en désignant par N cette résultante totale , on aura

F • R = QR' -f- r . / . N.

Ce qu’il est essentiel de retenir des raisonnements qui viennent detre exposés , c est que dans le calcul on peut agir comme si les forces étaient dans un seul plan , quelle que soit la distance de ceux qui les contiennent en réalité , et calculer le frottement comme s’il n’y avait qu'un seul tourillon. Quand l’axe des roues est vertical , le poids P de ces roues porte sur le pivot inferieur qui fait fonction de tourillon , et produit sur le fond de la crapaudine un frottement/P dont le bras de levier est (2 e partie , 120) deux tiers du rayon de ce pivot que j’appellerai r. Ou comprendra donc parmi

les moments des résistances le moment ~ /TV. Le reste rentrera dans le

cas général que nous avons détaillé.

132. Roues combinées. — Les roues dans les machines sont souvent combinées entre elles de manière à se transmettre le mouvement selon des conditions données. On connaît trois moyens principaux pour ces combinaisons dans le cas de deux roues à axes parallèles : 1» l’emploi de cordes , de courroies ou de chaînes sans fin ; 2° le contact naturel et le oulement des couronnes ou tambours de ces roues ; 3° l’engrenage de dent» ou de co orbes en saillies fixées aux couronnes. Dans ces circons-

tances les puissances , en transmettant leur action d’une pièce à l’autre , font naître des frottements qu’il est utile de connaître , parce qu’ils ne sauraient être toujours négligeables.

133. Résistances dues aux tensions des courroies. — Lorsque deux tours se communiquent entre eux par une corde ou courroie sans fin (fig. 210) , la puissance F est appliquée à l’un d’eux ; son action se transmet par une des branches de la corde à l’autre tour sur lequel la résistance opère. En désignant par T la tension de la branche de corde qui tire sur le deuxième tour et par t la tension de l’autre branche qui cède , et en considérant ce qui se passe sur ce dernier tour , on reconnaît qu'il ne tourne qu’en vertu de la différence T — ■ t des tensions , et qu’il est ainsi sollicité d’une part par la puissance T t — et de l’autre par la résistance Q. Faisant d’abord abstraction du frottement , on trouvera cette différence T — t par l’égalité de sa quantité de travail à celle de Q. De cette manière on n’obtient, et d’une manière approchée , que la différence des tensions , et non les tensions individuelles sur chaque branche.

On remarquera toutefois que quand le système est en mouvement, la branche qui entraîne le tour auquel la résistance est appliquée, est plus tendue que celle qui cède, et que les tensions sont les mêmes quand le système est au repos; de sorte qu’il est permis de supposer que l’une s’augmente de ce dont l’autre diminue , ou que la première a sur la tension primitive un excès précisément égal à celui de la tension primitive sur la seconde. Donc , la différence entre les tensions T et t est double de cet excès, et si l’on appelle celui-ci K, la différence approchée T— t déjà obtenue précédemment pourra être représentée par 2K. Si nous désignons par T’ la tension avec laquelle la corde ou la courroie a été primitivement bandée, nous aurons

T = T' + K, et # = T' — K.

D’après cela, on voit que si l’on connaissait T', on en déduirait T et#; puis regardant la pression exercée comme la résultante N des trois forces T , f et Q , on égalerait de nouveau le travail de T — t à celui de Q augmenté du travail absorbé par le frottement du deuxième tour sur son tourillon proportionnel à la pression ainsi calculée.

On considérerait de même le travail de T — t ainsi obtenu comme le travail à vaincre sur le premier tour par la puissance F , laquelle aurait également à vaincre le travail consommé par le frottement autour de son tourillon ; ce frottement serait d’ailleurs lui-même proportionnel à la résultante des forces F , T et#; et l’on verra enfin que le travail de cette puissance est égal au travail de Q augmenté des quantités de travail absorbées par les frottements sur l’un et l’autre tourillon. Mais cette connaissance dépend évidemment de celle de la tension primitive TL Or, cette tension

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. j , g

est arbitraire ; il suffit quelle soit seulement capable d’entraîner "f deuxieme tour dans le mouvement imprimé par le premier à la cord 6 Il est vrai qu en augmentant outre mesure cette tension primitive ce serai auss. augmenter le frottement des tourillons qui croit avec cette dernière In general, la tension primitive de la courroie doit être telle nue lé deuxieme tour ne puisse glisser sous l’action de la résistance Q ou nue cette dernière soit moindre que le frottement de la corde ou courroie sur ce meme tour. Soit R' le rayon de l’arbre sur lequel la résistance Q a <nt et R, le rayon du tambour qu’embrasse la corde et qui est monté “sur

cet arbre; sera la force qui, appliquée au rayon R/, devra produire

le même effet que Q, et cette force devra être au p , us égale au frottement de la courroie pour qu il n y ait pas glissement. Remarquons que la cour ro.e est sollicitée par une résistance T'-E et par une puissance T -U K

On devra donc avoir l’égalité