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]00 troisième partie.

pression N demeure constante dans tous les points de contact de deux dents à développantes. Voilà pourquoi le frottement qu’elles exercent l'une eoutre l'autre est toujours le même. Cependant il n’en résulte pas que les dents s’useront régulièrement , comme il a été dit à tort pour la première fois dans le cours de mécanique de l’École d’application, et comme d’autres auteurs font répété depuis. Car les dents qui auraient la propriété de s user également dans tous leurs points sont celles pour lesquelles le travail du frottement serait constant, et il faudrait que les arcs de glissement fussent égaux pour l’une et l’autre de celles qui engrènent ensemble. Or, il arrive qu’à !a racine les arcs ou chemins parcourus sont plus petits qu’à la pointe. Donc les dents à développantes tendent aussi davantage à s'user à la racine qu’à la pointe. Toutefois, comme la pression est constante sur ce genre de roues, elle est nécessairement moindre que la plus grande des pressions variables exercées sur les autres espèces de dents , cette plus grande pression aura nécessairement lieu , d’après ce qui précède , toujours à la pointe , et c’est un inconvénient d’autant plus réel qu’à cet endroit il y a plus de chances à la rupture.

Pour trouver la limite des creux des dents, il faut considérer deux dents sur la ligne des centres CC', parce qu’en cet endroit les dents se croisent le plus possible. Les saillies des dents de la roue conductrice et de la roue conduite, sont déterminées par les intersections m et m! (fig. 392) de la normale invariable commune avec la dent antérieure et la dent postérieure de la roue qui conduit. Toutefois ces dents prendront toujours avant la ligne des centres et d’autant plus en avant que la normale commune est plus inclinée par rapport à cette dernière ligne. Si on voulait que les dents de la roue C ne prissent celle de la roue C’ que sur la ligne des centres , il faudrait arrêter la saillie de ces dernières à la circonférence primitive C' à laquelle elles appartiennent, et ce serait la roue C qui conduirait la roue C'.

68. Engrenage des roues d'angle. — Passons aux engrenages coniques ou des roues d’angle; toute la difficulté consiste à transporter dans l’espace ce que nous avons dit pour le cas du plan. La position des axes (3 e partie, 26) CS et C'S (fig. 393) étant fixée, nous avons dit (3 e partie, 26) qu’il fallait diviser l’angle CSC' compris entre eux en deux autres CST, C'ST par une droite ST. telle que les perpendiculaires TC et TC' soient réciproquement comme les vitesses de rotation à imprimer à ces axes. En faisant tourner ces angles autour desaxes respectifs qui leur correspondent, on a vu qu’on obtenait ainsi les cônes primitifs se touchant suivant Taréte commune ST. Cela posé, tout ce que nous avons pu dire pour le cas des roues comprises dans un plan, sera applicable à l’espace, pourvu qu’on remplace les lignes dont il a été question par des plans passant par le sommet S des cônes primitifs, et les lignes courbes par des cônes ayant ce même point pour sommet. On remarquera que les couronnes ou jantes ABBT etBTFG, qui portent des dents ou fuseaux,

DES MACHINES ET DES MOTEURS

sont et doivent être en général terminées, du côté opposé au sommets T cônes, par d’autres surfaces coniques DEHT et TGKI . dont les sommets S . S,' sont sur les axes SC et SC' des roues, et dont les arêtes S t T et S 'T c ‘ prises dans le plan de ces axes, sont perpendiculaires à l’aréte de contact ST des cônes primitifs, en sorte qu’elles forment le prolongement de l’une et 1 autre, et sont comprises dans le plan perpendiculaire à ST et tancent à l fois aux cônes S et S/ : c’est sur la surface de ces cônes qu’on applique les

panneaux des dents et qu’on vérifie le tracé général de l’engrenai Or ie remarque que, vu le peu d’étendue qu’occupe sur ces cônes, le profil de a courbe d une dent et de celle qui la conduit, on peut , sans erreur sensible pour la pratique, regarder les petites portions des surfaces coniques S S ' correspondantes à ces dents, comme se confondant avec le plan tangent STS )

lorsqu’elles se poussent en T, où a lieu leur contact mutuel ' ‘

Développons donc les deux surfaces de cônes DETH et TGKI sur le plan tangent dont il s’agit. Ce développement n’offre aucune difficulté, puisqu’on a la longueur des arêtes S[ T et S t H pour l’une, et celle des arêtes TS , et IS ' pour 1 autre. On connaît aussi le périmètre des bases DT et GT. On observera d ailleurs que, dans ce développement, les longueurs dans le sens des arêtes et les largeurs dans le sens des cercles méridiens concentriques aux sommets, ne sont nullement altérées. De cette manière on ramènera de suite le problème des engrenages coniques à celui des engrenages cylindriques ou sur un plan, caries cercles primitifs DT et TG sur la surface des cônes seront devenus des arcs de cercle TMet TNsur le développement, tangentsentre eux etqu’on pourra regarder comme les cercles primitifs de deux roues planesà tracer par es méthodes d-dessus, selon le genre d’engrenage que l’on désire adopter, n aura aussi obtenu tous les panneaux nécessaires pour tracer les dents sur la surface des cônes limites S, et S,'; d’après quoi l’on exécutera facilement les c entstout entières. Ces dernières ayant une certaine saillie au delà des cercles primitifs du développement, on portera cette saillie de D en P pour l’un des cônes primitifs et de G en Q pour l’autre, les couronnes premières devront ainsi elre terminéespar les profils EPS, et R'QK, afin qu’il devienne possible y entai er es dents entières de chaque roue d’angle. On pourra d’ailleurs préparer un nouveau panneau développé pour les surfaces coniques U, et U,', qui terminent intérieurement les couronnes du côté du sommet S; ces cônes

eurs arêtes parallèles à celles des premiers cônes limites, et donnent pour es ents des profils ou figures exactement semblables , en sorte qu’il

, com me 1 indique la figure 393, de réduire les premiers panneaux dans le rapport de ST à SB.

xêcution des engrenages. Lorsque les dents des deux roues d’en grenage se prennent avant la ligne des centres, ou quand leurs divisions, eurs ormes ont été tracées par des ouvriers inhabiles, il peut se produire es arcs-boutements, et par suite des ruptures , si ces dents ne sont pas sus-

PAKTIE.

cepûbles de rés>sler aux efforts que les deux roues exercent lune contre l’autre. Pour obvier aux inconvénients de l’arc-boutement, les anciens praticiens ont cherché à faire en sorte que les dents ne puissent jamais se prendre que sur la ligne des centres, ou même après, et ils ont eu 1 idee d agrandir un peu le rayon de la roue qui conduit, sans augmenter pour cela le nombre des dents qui convient à son rayon primitif. De cette manière il n y avait qu’une seule dent de cette roue en prise avec une dent de la roue conduite , tant que la première poussait la seconde, toutes les autres dents de la roue conductrice demeuraient en arrière des autres dents de la seconde roue. Les deux dents se quittant seulement après la ligne des centres et au moment où la dent consécutive de la roue conduite avait son flanc inferieur dans cette e ? ce n’était aussi qu’au delà de cette ligne que deux nouvelles dents pouvaient se saisir. Mais il arrivait que le mouvement de la roue qui conduisait l’autre s’accélérait et parcourait un certain intervalle qui la tenait en arrière de celle qu’elle devait saisir, et qui est à peu près égal à la différence des pas de dent des roues. On voit ainsi que cette accélération produisait un choc ou que chaque dent conductrice arrivait sur chaque dent conduite avec une vitesse acquise; mais c’était remplacer l’inconvénient de l’arc-boutement

par un autre pour le moins aussi grave.

Un second moyen consistaità monter sur leurs tourillons les roues dentees, à les faire engrener entre elles, et à corriger avec la lime les endroits défectueux ; ce ne serait plus alors la peine de porter tant de soin au tracé des engrenages pour le déformer ensuite d’une manière si arbitraire.

Aujourd’hui on procède avec plus de rigueur. Les modèles ou moules dans lesquels les roues en fonte sont coulées, donnent d’abord à celles-ci des dents un peu plus épaisses. Quand les roues sont revenues de la fonderie, on les monte sur un arbre bien concentriquement , ce dont on s’assure au moyen d’une pointe fixe qui, touchant l’extrémité d’une première dent, doit ensuite toucher celles de toutes les autres. La roue étant bien posée et bien établie, on la fait tourner avec son axe, pour en dresser le plat autour. Après quoi on marque sur ce plat la circonférence primitive. C’est sur cette dermere quon opère avec précision la division dont les points représentent les lignes milieux des dents. Ces points milieux servent de repères à un patron métallique qm porte plusieurs dents d’une forme parfaitement régulière et qu’on présente a la roue de telle manière que les milieux des dents du patron coïncident av les divisions de la circonférence primitive. Enfin, on trace sur le plat, a une pointe d’acier qui suit les contours du patron, et on enlève soit au cisea soit à la lime les parties excédantes, selon qu’elles sont plus ou moins considérables. En général, dans les modèles qui servent au coulage des roue», o

laisse environ une ligne de gras aux dents.

Ce qui précède concerne les roues entièrement métalliques ; mais sou ^ l’anneau seul des roues est en fonte , et leurs dents sont en lois. Cet anneau

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est percé de mortaises (fig. 393); e t si elles sont bien faites on y me t en place les dents découpées à l’avance. La dent traverse toute la jante de fonteles deux faces de la mortaise parallèles à l’axe convergent vers le centre : les deux autres demeurent parallèles au plan de la roue et sont munies d’un épaulement qui empêche la dent de descendre. Ces dents se nomment peignes ou aluchons et sont retenues au-dessous de la jante par une clef qui les traverse un peu de biais. Lorsque les roues sont très-petites ou qu'elles ont beaucoup de courbure, les dents, après avoir traversé la jante, laissent entre leurs extrémités inférieures un intervalle dans lequel on chasse un coin avec force au-dessous de la jante (fig. 894); ce coin ne peut évidemment tendre à tomber. Enfin, parlons encore d’une disposition moins assujettissante que la première de toutes , et qui consiste à remplacer la mortaise prismatique par une autre qui renferme un évidement dans lequel la dent de bois plus épaisse, après avoir été chassée avec force, se renfle par suite de la compression qu’elle éprouve au dehors de la jante.

70. Epaisseur des dents. — Autrefois on avait coutume de donner aux dents une très-forte épaisseur et une largeur dans le sens de Taxe de la roue qui ne dépassait pas le double de leur épaisseur. Le pas de ces engrenages était grand et s’élevait de quatre à six pouces ; l’épaisseur des dents était de dix-huit lignes à quatre pouces, c est-a-dire de 4 à 8 centimètres. Aujourd’hui on les fait plus minces et en même temps plus larges, de façon à ce quelles aient la même force pour résistera la rupture. Les dents ont actuellement six centimètres d 'épaisseur et jusqu’à 25 à 30 centimètres delargeur dans les plus fortes machines ou dans celles de quarante à cinquante chevaux , pour les machines médiocres ou de la force de dix à douze chevaux, les dents se réduisent à 2 et S centimètres d’épaisseur sur 12 à 16 centimètres de largeur ordinaire. Enfin , on fait les dents de bois, d’épaisseur égale à celle des dents de fonte seulement pour plus de commodité. Ces dimensions sont établies plutôt par 1 usage que par des règles certaines ; leur emploi est néanmoins très-avantageux, afin de diminuer les résistances des frottements des engrenages; car les dents, par cela seul qu’elles ont moins d’épaisseur, deviennent, à rayon égal de roue, plus multipliés. On a vu (2 e partie, 135 ) que la résistance du frottement de deux dents l’une contre l’autre pouvait être représentée par une force tangentielle à Tune ou l’autre des circonférences primitives , et égale à

ou à /. Q .*■

Dans cette expression, f est le coefficient du frottement dépendant de la nature des substances des roues et donné par l’un des tableaux du n° 106, 2' partie ; Q est 1 effort ou la réaction des deux roues Tune contre l’autre ; *• exprime le rapport 3,1416 de la circonférence au diamètre, et m et m ’ sont les nombies des dents dont les deux roues sont armées à leur circonférence. Si je nomme 4 le chemin que parcourt dans une seconde un point de lacircon-

férence primitive d’une roue, c’est-à-dire sa vitesse à la distance de son rayon primitif, le produit du frottement des dents par V sera le travail absorbé par ce frottement dans une seconde , lequel aura pour expression

ou

f.« (- + — ,)XQV.

Je remarque que, dans ce dernier résultat, QV ou le produit de la puissance motrice de la roue par le chemin que parcourt son point d’application dans l’unité de temps, n’est autre chose que le travail transmis à cette roue, travail qui est indépendant du diamètre de cette roue , et qui est donné une fois pour toutes.Mais,pour un même travail , il est visible que plus Y est considérable, plus Q est petit. Or , la vitesse à la circonférence d’une roue qui doit parcourir un certain nombre de révolutions pendant un temps déterminé , augmente proportionnellement avec son rayon. Ainsi , en augmentant le rayon, on diminue, on rend plus faible la puissance Q qui réagit contre la roue à travail égal. Revenant maintenant à l’intensité de la résistance du frottement

d’un engrenage , ou à /. Q . * (1 ) , on a deux manières de la diminuer,

soit en augmentant les nombres de dents m et m qui entrent en dénominateurs dans cette expression, soit encore en affaiblissant Q. Or, on peut rendre plus grand le nombre des dents en réduisant leur épaisseur, et on peut rendre Q plus faible , en agrandissant le rayon delà roue. Remarquez que cet agrandissement est toujours possible dans les engrenages, pourvu que les rayons de l’une et l’autre roue soient augmentés tous deux de manière à conserver le rapport suivant lequel leurs deux axes doivent se transmettre la vitesse angulaire. Il y a donc avantage à diminuer l’épaisseur des dents , et à augmenter la grandeur des rayons des roues ; il ne faut pas oublier que si, le travail demeurant constant, les bras de levier des puissances et desrésistances sont agrandis, les frottements produits sur les tourillons , et qui sont proportionnels à la résultante de ces forces, deviennent eux-mémes moins considérables.

Les pièces d’une machine, ou les engrenages, ont, comme on sait (S e partie, 4 et 6 ) , pour objet de transmettre de proche en proche le travail du moteur jusqu’à l’outil destiné à fabriquer l’ouvrage ; que chacune d’elles absorbe par ses résistances passives , par ses frottements , une portion de travail qui peut être le quart ou le cinquième du travail qu’elle communique à la pièce du côté dé l’outil. Si donc on connaît à priori ce dernier travail, oumêmeencore celui qui est dépensé par le moteur , il est facile de conclure celui qui fait mouvoir chaque pièce séparément, soit en diminuant d’un quart ou d’un cinquième le travail qui fait mouvoir la pièce qui la précède du côté du récepteur, soit en augmentant dans le même rapport environ celui qu’elle doit laisser à la piece du côté de l’outil. Cette quantité de travail ainsi obtenue pour chaque piece ou roue d’engrenage est précisément ce que représente le produit Qô ; etsl nous le divisons par V ou par la vitesse de la circonférence, nous aurons Q,

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c’est-à-dire la pression motrice qui réagit sur cette pièce. C’est d’après la connaissance de cet effort que les Anglais règlentles dimensions des dents des engrenages. Voici le tableau donné à cet égard par Tredgold, dans son Traité des machines à vapeur-.

TABLEAU des dimensions des dents des engrenages.

PRESSION

en kilogrammes.